混凝土损伤力学中的分形应用研究.pdf
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1、l 9 4 四川建筑科学研究 S i c hu a n Bu i l d i ng S c i e n c e 第 3 7卷第 1 期 2 0 1 1 年 2月 混凝土损伤力学中的分形应用研究 孙洪泉 , 张翔 , 王毅欣 , 丁 俊 ( 苏州科技学 院土木工程学 院 , 江苏 苏州2 1 5 0 1 1 ) 摘要: 利用分形几何的原理 , 通过对混凝土骨料进行研究得出骨料分维数和级配关系, 进而讨论了混凝土断面分形测量方 法的优缺点, 并给出了相关裂纹扩展的分形几何模型。 关键词: 分形几何; 混凝土; 骨料级配; 断裂面; 裂纹 中图分类号: T U 5 2 8 1 文献标识码: A 文章
2、编号: 1 0 0 81 9 3 3 ( 2 0 1 1 ) 0 11 9 4 0 3 Ap p l i c a t i o n o f da ma g e me c h a n i c s o f c o n c r e t e o n f r a c t a l s S UN Ho n g q u a n , Z HANG X i a n g , WANG Yi x i n, DI NG J u n ( S c h o o l o f C i v i l E n g i n e e r i n g , U S I S , S u z h o u 2 1 5 0 1 1 ,C h i n a
3、 ) Ab s t r a c t : Us i n g t h e t h e o r y o f f r a c t a l g e o me t r y ,b y s t u d y i n g o f c o n c r e t e a g g r e g a t e,t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a g g r e g a t e f r a c t a l d i me n s i o n a nd a g g r e g a t e r a t e i s o b t a i n e dTh e n t h e r e l
4、 a t i o ns h i p o f t h e a d v a n t a g e s a n d d i s a dv a nt ag e s o f f r a c t a l me a s u r e me t h o d o n c o n c r e t e s e c t i o n i s d i s c u s s e d T h e f r a c t a l g e o me t r y mod e l o f c r a c k p r o p a g a t i o n i s g i v e n Ke y wo r ds: f r a c t a l g e
5、o me t ry ; c o nc r e t e; agg r e g a t e r a t e; f r a c t u r e s u r f a c e; c r a c k s 0 前言 分形几何学是 由 Ma n d e l b o r t 在 1 9 7 3年创建的, 其为描述复杂问题提供了一个得力的方法 , 分形的 核心是 自相似性 , 分形 的特征量是分维数。分形 理论的主要价值在于在极端有序和真正混沌之间提 供了一种可能性, 使人们可以抛开复杂的表面现象 , 从中提取本质的、 规律性 的东西, 从而大大拉近 了人 们的认知 能力 与所研 究 问题 的复杂性 之 问 的距
6、 离 。 分形理论认为: 一个 曲折、 不光滑可以用 1 2 之间的分数来表示其位数 , 称为分维数。同样, 一个 粗糙不平的表面或一个千疮百孔的海绵可以用 2 3之间的维数来描述。分维数能够有效地反映研究 对象填充空间的程度。纯粹的分形要具有 自相似性 和标度不变性 , 但从简单严格的数学分形推广到 自 然界存在的大量复杂统计分形、 自防射分形 和多重 分形 , 不可避免地要遇到有限陛、 物理性和可变性等 问题 , 因此 , 针对某一具体研究对象 , 深入探讨其分 形体特征和分维数计算方法是应用分形理论的前提 和 关键 。 收稿 日期 : 2 0 0 9 - 0 8 1 0 作者简介: 孙洪
7、泉 ( 1 9 5 4一) , 男, 江苏盐城 人, 教授 , 博士 , 主要从事 工程力学、 土木工程、 数学地质 、 分形理论 与应用的教学与研究。 E ma i l : h q s u n ma i l u s ts e d u c n 混凝土作为一种工程材料 , 无论在形成还是工 作过程 中均表现一系列的分形特征。首先是骨料级 配的分形效应 , 有质量分形、 体积分形等; 其次是其 在受荷破坏下裂缝 的形成及发 展都表现 出分形特 征, 尤其是混凝土宏观形式上所表现出来 的非确定 性、 模糊性 、 非线性等特征 , 充分反映了微观结构复 杂性 J 。正是 由于其 内部结构的极端复杂化
8、, 人们 一 直无法有效地对其进行分析。引人分形理论后 , 从各个方向分析混凝土相关 的各种分形效应, 都具 有实质性的意义。 1 分形原 理 维数是几何对象的一个重要特征量 , 按传统 的 描述 : 点是零维 , 直线是一维 , 平面是二维, 体积是三 维 。但在现实 中, 几 乎没有真正的直线 、 真正光 滑的物体存在。因此 , 传统分维数描述只是一个理 想化的描述 , 而分形维数却能定量地描述。 设有一条 曲线 , 用长度为 s的尺子去测量, 其长 度 ( 8 )为 : L= ( 占 ) ( 1 ) 1 ( )= ( 2 ) 式中 测量的码尺 ; N( ) 用码尺 8测量的次数 , 即盒
9、子数 ; d 拓扑维数。 孙洪泉 , 等: 混凝土损伤力学中的分形应用研究 1 9 5 将式( 2 )两边取对数 , 得拓扑维数关系式 : d: ( 3 ) l n 对 ( 3 ) 式取极限, 得 Ha u s d o r ff分维数的关系式 : D :l i m ( 4 ) l n 该公式的前提在于分维 D大于拓扑维 , 但小于 分形所在的空间维 , 该公式的提出, 为后面分析骨料 级配和裂纹的开展提供好 的依据。 2 混凝土骨料 的分形特征 由于混凝土是 由粗细不一、 级配不 同的骨料组 成的。首先 , 由于骨料本身形状 的不规则性 , 所 以, 骨料颗粒表面便构成了一种分形 ; 其次 ,
10、 当不同尺寸 的骨料混合后 , 代表骨料尺寸的粒径分布也 构成 了 一 种分形 ; 再次 , 由于粒径分布分形而导致的质量分 布函数 ( 通过率 ) 、 体积、 孔隙率等也构成 了多种分 形。由此可见 , 混凝土骨料存在着多种层次的分形。 2 1 混凝土骨料粒径级配分形 根据无穷破碎体分形原理 , 对混凝土骨料颗粒 进行研究 , 骨料的粒径尺寸分布函数 为: = = - D 毛 -D 骨料的质量级配分布函数式为: 附 = = 由此可见 , 骨料的质量级配也可近似地认为是 一 种分形 。当式中 r 表示筛子的孔径时 , ( 6 ) 式也表 明级配骨料的通过率。 2 2混凝土骨料的体积分形和孔隙分
11、形 由( 5 ) 式同样可以推导出骨料的体积分布函数 : ( r ) ,= = = p 可以看出, 骨料质量级配分布函数与体积分布 函数的表达式相同 , 当 r i 很小时 , 同样有 ( r ):( ) ( 8 ) 由体积分形得到孔隙分形分布函数为: ( r ) ( r ) , = 年= 一 P =V ( r ) ( 1一 ) ( 9 ) 由此可以看 出, 孔隙分形分布函数与体积分形 分布函数密切相关。在土木工程材料中, 1一 为 P 孑 L 隙比, 由式( 9 ) 可知 , 体积分形分布函数与孑 L 隙分 布函数 的比值为孔隙 比, 这也符合对土木工程材料 的一般认识 。 3 混凝土损伤的
12、分形效应 混凝土在受荷载或裂损压时, 在其断裂面、 磨蚀 面等损伤表面形成三维规则几何表面, 在统计意义 上遵循分形的基本规律 。近年来 , 围绕断裂现象 对混凝土强度和断裂能 的尺寸效应 、 裂缝尖端应力 场的奇异性、 裂纹状态及其扩展过程 和混凝土疲劳 损伤与开裂等的研究一直是工程 的热点, 而分形理 论的核心 内容为分维 。因此 , 如何求出混凝土损 伤表面的分维是非常重要的。 3 1 分形 几何在 混 凝土 断裂面 分析 中 的应 用 混凝 土内部裂纹扩散具有较明显 的分形特征 , 可以采用分形方法研究 , 并定 量描述研究 混凝土的 内部断裂行为。 目前 , 断面的分形测量方法主要有
13、 以下几种。 3 1 1 变步距 法 这是 E r w i n U n d e r w o o d研究断裂表面时所用 的 方法。使用这个方法, 必须得到垂直于断裂表面切 割而得到的剖面轮廓线。其缺陷在于 , 在测量过程 中, 不仅会对断裂面造成破坏 , 影响精度 , 而且 , 在一 定程度上表现出“ 笨拙” 的现象。 3 1 2小 岛法 小岛法也称周 长一面积 ( LA) 关 系方 法, 由 Ma n d e l b r o t 提出。该方法 由一 系列周长和面积数据 的双对数图上直线大斜率, 可以得到分形维数 D为 斜率的 2倍 。其缺陷在于 , 在测量过程中, 会对断裂 面造成破坏, 进而
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