几何画板与动态型中考题的整合研究.doc

几何画板与动态型中考题的整合研究
中文摘要
随着几何画板在数学解题上的广泛应用，学生在理解动态型题目过程中能轻松将抽象的数学语言转化为具体图像表达，但学生只是看到教师的演示，缺少自己动手操作的过程。本文以全国各省市近三年典型动态型中考试题为例，把题目主要分为旋转、翻折、平移三大类。借助几何画板制作出相应的解题课件，师生能亲自动手操作，从而更好地分析这三类变换的解题特点。本文结合几何画板课件，展现完整的探究过程，让师生在动态中体验这三类变换的变与不变，获得清晰的解题思路。并记录了详细的课件制作步骤，图文并茂，可作为简易教程供教师参考。

关键词 ：旋转，平移，翻折，几何画板，中考题，动态展示，简易教程

ABSTRACT

With the Geometer's Sketchpad in mathematics problem solving on a wide range of applications, the students can easily translate the abstract mathematical language into specific image expression in order to understand the dynamic subject process. But the students just to see the teacher's demonstration with the lack of their own operation process. In this paper as the various provinces and cities nationwide the typical dynamic type senior high school entrance examination questions in recent three years for example, the subject is mainly divided into rotation, folding, translation .Using geometric sketchpad to produce corresponding solving courseware, teachers and students can hands-on operation, thereby better analys these three kinds of transform exercises. In this paper the Geometer's Sketchpad courseware displays a full investigation process, making teachers and students experience the changed and unchanged of this three kind of transformations in a dynamic type and get a clear thinking. This paper record the details of the steps of making courseware illustrately. And it can be used as a simple tutorial for teachers.

Key words : rotation, translation, folding, the Geometer's Sketchpad, senior high school entrance examination problem, dynamic display, simple tutorial

目录
1．引言 4
2.翻折类问题 4
2.1 例1（2009年鄂州市） 4
2.1.1 动态体现 5
2.1.2 探究过程展现 5
2.1.3关键制作步骤： 7
2.1.4 满分解答 10
2.2 例2（2009年福州市） 12
2.2.1 动态体现 12
2.2.2 探究过程展现 13
2.2.3 关键制作步骤 17
2.2.4 满分解答 24
3旋转类问题 26
3.1 例3（2009年山东德州） 27
3.1.1动态体现 27
3.1.2 探究过程展现 27
3.1.3 课件制作步骤要点 30
3.1.4 满分解答 34
3.2 例4（2010湖南常德市） 35
3.2.1动态体现 35
3.2.2探究过程展现 35
3.2.3课件制作步骤要点 38
3.2.4 满分解答 42
4．平移类问题 44
4.1 例5(2010四川眉山) 44
4.1.1 动态体验 45
4.1.2 探究过程展现 45
4.1.3课件制作步骤要点 48
4.1.4 满分解答 51
4.2 例6（2009年浙江义乌）（平移与旋转结合） 52
4.2.1动态体现 52
4.2.2 探究过程展现 53
4.2.3 关键制作步骤 56
4.2.4 满分解答 63

1．引言
平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。这类实体的特点是：结论开放，研究目标不确定，注重考查学生的猜想、探索能力，因此时常使学生无从下手。
而几何画板具有动态演示交互、计算精确等特点，非常适合于解决平移、旋转和翻折这三大类动态型问题。本文结合几何画板课件，通过展现完整的探究过程，，轻松突破了以上难点。通过几何画板这个工具，一来能让我们直观地感知题目条件，快速清晰地理解题意；二来提供一个实验探究平台，利用它学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生对题目的理解和证明，使学生从过去的"听数学"转变为现在的"做数学"。
2.翻折类问题
翻折：翻折是指把一个图形按某一直线翻折180º后所形成的新的图形的变化。
翻折特征：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。
解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素。
2.1 例1（2009年鄂州市）
如图27所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO
(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由。
(2)令，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由。
(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式。
(4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。

2.1.1 动态体现
请打开几何画板文件名“翻折1”。

2.1.2 探究过程展现
该题的主要变量是矩形OABC的大小，主要不变量是△AOE的翻折。
（1）翻折的动态演示。点击“翻折”按钮，可观察到翻折的动态过程。点击“返回”按钮，可看到三角形返回的过程。同时下面设置了两个按钮，可随意改变矩形OABC的大小。

图2-1-2.1
(2)对于第一问：试比较EO、EC的大小，并说明理由。
这是翻折后的图形，此时可以观察到EO的长度≥EC的长度。如图2-1-2.2 。
点击“改变C”或者“改变A”按钮，改变点F在BC上的位置。再度观察EO与EC的长度。在这个过程中会发现：当点F越来越靠近点C时，CE与EO的长度会越来越接近。只有当点F与点C重合时，EO与EC的长度相等，其他情况EO的长度>EC的长度。如图2-1-2.3。

图2-1-2.2 图2-1-2.3

(3)对于第二问：令，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由。
用几何画板操作时，我发现题目有2个地方都出错了。第一处错得地方是该比值：，分母是四边形CNMN应改为四边形CNMO.
第二处错误的地方是：按照题目让CM＝｜CF—EO｜是不行的。算出来的m不是一个定值，它会随着矩形OABC的改变而改变。如图2-1-2.4与图2-1-2.5。

图2-1-2.4 图2-1-2.5

因此CM＝｜CF—EO｜肯定是不对的。那么CM到底等于多少呢？直觉告诉我，
CM=｜CE—EO｜.
果然，试验了一下成功了。任意改变矩形OABC的大小，m始终等于1。如图2-1-2.6 与 图2-1-2.7。

图2-1-2.6 图2-1-2.7

如果不是有了几何画板的探究，不管是学生还是老师，也许将耗费很多的时间在该题上依旧一无所获。所以用几何画板去探究题目，不仅直观，而且是检验题目的正确性的一个很好的工具。因此用几何画板解题是很有必要的。
(4)第三问、第四问，略。
2.1.3关键制作步骤：
（1）建立直角坐标系，分别在横轴与纵轴上取一段线段，再在上面分别取一点，分别命名为C和A。建立点C和点A的动画点。这样就能随意改变矩形ABCO的大小。成功构造出变量。如图2-1-3.1。

图2-1-3.1

（2）为了确定折痕的位置，如图2-1-3.2所示，设OE=x,BC=b，CO=a,则 解得 x=OE=。

图2-1-3.2

则以O为圆心，为半径作圆，交OC于点E.如图2-1-3.3
所示，找出折痕点E。

图2-1-3.3

（3）连接AE，连接EF，OF，则△AEF是△AEO沿着线段AE翻折得到的。如图2-1-3.4。

图2-1-3.4

（4）如图2-1-3.5，以OF的中点G为圆心，OG为半径作圆。在圆上取点I，连接EI,IA.分别作I移动到点O得动画，命名为“返回”。作I移动到F的动画，命名为“翻折”。此步骤是为了构造出翻折效果。而这一步的关键是找到一个大小适中的圆。

图2-1-3.5

（5）如图2-1-3.6，隐藏圆与线段OF，度量出CE与EO的长度。从而能使学生第一时间直观感知CE与EO的相对大小，可让学生从结论出发，思考解答思路。完成第一问。

图2-1-3.6
（6）制作第二问：计算出|CE-EO|的大小。且以C为原点，|CE-EO|的长度为半径作圆。作直线CF，交圆于点M。过M作CF的垂线交x轴于N。作正方形CFGH. 如图2-1-3.7。

图2-1-3.7

（7）构造四边形CMNO与四边形CFGH，度量出其面积比m,完成。如图2-1-3.8。

图2-1-3.8
2.1.4 满分解答
（1）EO＞EC，理由如下：
由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC， 故EO＞EC
（2）m为定值
∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)
S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO
∴
（3）∵CO=1， ∴EF=EO=
∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°，
∴
∴△EFQ为等边三角形，
作QI⊥EO于I，EI=，IQ=
∴IO= ∴Q点坐标为
∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)， Q ，m=1
∴可求得，c=1
∴抛物线解析式为
（4）由（3），
当时，＜AB
∴P点坐标为
∴BP=AO
方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：
①时，∴K点坐标为或
②时， ∴K点坐标为或
故直线KP与y轴交点T的坐标为

方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°
①当∠RTP=30°时，
②当∠RTP=60°时，
∴
2.2 例2（2009年福州市）
已知：如图12，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝5cm，CD＝6cm，∠DCB＝60°，∠ABC＝90°。等边三角形MPN（N为不动点）的边长为cm，边MN和直角梯形ABCD的底边BC都在直线上，NC＝8cm。将直角梯形ABCD向左翻折180°，翻折一次得到图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去。
（1）将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a≥2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？
（2）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积，这时等边三角形的边长a至少应为多少？
（3）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？

2.2.1 动态体现
请打开几何画板文件名“翻折2”。
2.2.2 探究过程展现
该题的主要变量是：等边三角形MNP的大小，主要不变量是：直角梯形ABCD的大小。

对于第一问：将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a≥2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？
（1）如图2-2-2.1，图2-2-2.2。在GH直线上.移动点H或选中H点按“左右键”，即可改变等边三角形PMN的边长，因为GH的长度就是等边三角形PMN的边长大小。同时可观察到当a>2cm时，重叠部分的面积不会改变。从而为学生解题提供结论性的帮助。

图2-2-2.1

图2-2-2.2

（2）如图2-2-2.3与 图2-2-2.4。可以发现当a=2时，三角形的边PM与梯形的斜边重合。因此a=2是一个临界点，当a<2时，重叠面积小于等边三角形的面积。因此题目要求a≥2cm就是这个原因。

图2-2-2.3

图2-2-2.4

对于第二问:将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积，这时等边三角形的边长a至少应为多少？

（3）移动点H，或选中点H按“左右键”，以改变等边三角形的大小，观察重叠部分的变化。
或者移动“目标点”按钮，会观察到临界点，此时读取a的值为10cm。如图2-2-2.5，图2-2-2.6，图2-2-2.7。

图2-2-2.5

图2-2-2.6

图2-2-2.7

对于第三问：将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？

（4）移动点H，或选中点H按“左右键”。可改变等边三角形的大小，直到重叠部分面积=梯形面积的一半，读取a的值。
容易发现当a=6.58cm时，重叠部分面积=梯形面积的一半。如图2-2-2.8。
当a<6.58时，重叠部分面积<梯形面积的一半。如图2-2-2.9。
当a>6.58时，重叠部分面积>梯形面积的一半。如图2-2-2.10。

图2-2-2.8

图2-2-2.9

图2-2-2.10

2.2.3 关键制作步骤
（1）建立平面直角坐标系，以C为原点，按题目要求画出直角梯形。如图2-2-3.1。

图2-2-3.1

（2）双击y轴，是y轴成为对称轴。作直角梯形ABCD的反射图形A’B’CD’。 如图2-2-3.2。

图2-2-3.2

（3）制作翻折效果。在y轴上找一点M，CM<CB.度量出CM与CB的坐标距离。以C为中心，CB为长轴、CM为短轴构造椭圆。先写出椭圆的解析式，.如图2-2-3.3。

图2-2-3.3

（4）在椭圆上找一点H，连接CH。过点H作HO垂直于CB且HO等于AB，且过点O作CH的平行线，且使OP=AD。连接CP。如图2-2-3.4。

图2-2-3.4
（5）隐藏椭圆，制作动画按钮。先制作隐藏直角梯形A’B’CD’按钮，再制作“H→B’”的按钮，然后制作显示直角梯形A’B’CD’按钮，最后先后选中它们，制作顺序3个动作。

图2-2-3.5

（6）将刚才的“顺序3个动作”更名为“翻折1”。同样方法制作“返回1”按钮。如图
2-2-3.6。.

图2-2-3.6

（7）用同样地方法，构造第二个椭圆。此时的椭圆的位置比之前的椭圆对比，应该向左移动5个单位。因此函数解析式为。接着制造会动的梯形。如图2-2-3.7。

图2-2-3.7

（8）按上述方法制作“翻折2”与“返回2”按钮。完成翻折效果图。如图2-2-3.8。

图2-2-3.8

（9）对于第一问：将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a≥2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？
构造线段GH,H点可在直线上运动从而改变GH的长度。使a=GH的长度，构造等边三角形。如图2-2-3.9。

图2-2-3.9

（10）构造三角形IC’N的内部，度量出它的面积。完成第一问。如图2-2-3.10。

图2-2-3.10

（11）对于第二问。构造出梯形ABCD第三次翻折得到的图。如图2-2-3.11。

图2-2-3.11
（12）移动点H，发现当GH≥10cm时，等边三角形包围了梯形。如图图2-2-3.12，图2-2-3.13。因此在直线GH上再找一个点M，移动M，使GM=10cm。制造“H→M”的按钮，更名为“目标”。隐藏点M。完成第二问。如图2-2-3.14。

图2-2-3.12 图2-2-3.13

图2-2-3.14

（13）度量出直角梯形ABCD的面积的一半。再度量出翻折3次后的梯形与等边三角形的面积。完成。如图2-2-3.15。

图2-2-3.15

2.2.4 满分解答
解：
（1）
图2-2-4.1
如图2-2-4.1。
因为CB=5，=10，CN=8所以=2
又因为∠DCB=60°且∠=60°
所以△为正三角形.
所以△的高为h=
所以=×2×=
（2）

图2-2-4.2

在直角梯形ABCD中
因为CD=6，∠DCB=60°
所以AB=3cm
当直角梯形在第三次翻折后，刚好跟等边三角形的PM边有一个交点时能满足重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积，设这个交点为K，如图2-2-4.2。

在Rt△中，tan30°=
=3×=3
所以MN=++=3+5+2=10 cm

（3）=×（2+5）×3=
当M与重合时，交于V .如图2-2-4.3。

图2-2-4.3

则=＞S梯形ABCD．

图2-2-4.4

所以MC’＜5，设MC’=x，则有h'=x，如图2-2-4.4。
所以令 =xx=
解得x=
因为=2
所以等边三角形MNP的边长a为（+2）cm
一平面图形经过翻折后成为空间图形,由于位置关系变了,有些元素在位置关系的变化中发生了变化,有些元素的数量关系并不改变。翻折类题型的解法的关键是要抓住这些变动着的量和保持不变的量之间的关系，搞清楚变化的量在翻折过程中的空间关系的位置变化。利用几何画板进行翻折类题型的动态展示，更清晰地看清平面图形翻折过程中的动态变化。变化的量在变化的过程中通过几何画板有一个很直观的动态展示，能更好地理解题目。
3旋转类问题
旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角。
旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角。
这是图形变换最基本的一种，我选取了比较有代表性的2009年山东德州中考第23题为例子，详解如下：

3.1 例3（2009年山东德州）
已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
F
B
A
D
C
E
G
第23题图②
F
B
A
D
C
E
G
第23题图①
F
B
A
C
E
第23题图③

3.1.1动态体现
请打开几何画板文件名“旋转1”。
3.1.2 探究过程展现
该题的主要变量是：△BEF的大小，主要不变量是：线段EG与线段GC的位置。
（1）对于第一问：求证：EG=CG；
点击“动点E”按钮，可改变线段BE的长度，从而改变△BEF的大小。如图3-1-2.1和图3-1-2.2。在这个过程中，EG与GC的长度虽然随时改变，但能清晰地观察到EG与GC的长度始终相等。从课件中让学生初步感知到“变”与“不变”。

图3-1-2.1

图3-1-2.2

（2）对于第二问：将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
点击“逆时针旋转”按钮，即能让学生看到△BEF整个旋转过程。如图3-1-2.3到图3-1-2.4。学生能全程看到线段EG和线段GC的长度始终不变，从而进一步思考原因。观察后按“三角形返回”按钮，使三角形恢复旋转前位置。

图3-1-2.3 图3-1-2.4

（3）除此之外，可点击“E点运动”按钮，随意改变线段BE的长度再行观察。如图3-1-2.5。

图3-1-2.5

（3）对于第三问：将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？
如图3-1-2.6至3-1-2.8。点击“任意角度旋转点E”按钮，即可对△BEF进行任意角度旋转，此时可随时观察到EG与GC各自的长度虽然改变，但始终相等。点击“三角形返回”即可恢复旋转前的位置。

图3-1-2.6 图3-1-2.7

图3-1-2.8

（4）跟前两问一样，点击“动点E”按钮，可随意改变线段BE的长度，进而改变
△BEF的大小，进行再次观察。

（5）当然，可以将三个小问整合在同一个图中展现出来。如图3-1-2.9。

图3-1-2.9

3.1.3 课件制作步骤要点
（1）画出正方形ABCD，与对角线BD，作BD的中点I，构造线段BI，在BI上作一个点E。然后隐藏点I。如图3-1-3.1。

图3-1-3.1

（2）制作点E的动画点。使点E在线段BI上来回运动。这样便构造会改变大小的△BEF.

图3-1-3.2

（3）按照题目的条件画出下图。但很快发现这样△BEF是不能够旋转的。

图3-1-3.3

（4）为使△BEF能够绕点B旋转，以点B为圆心，分别以BE与BF的长度为半径画圆。在小圆上作点N，过点N作BN的垂线，交大圆于O。如图3-1-3.4。

图3-1-3.4

（5）作点N移动到点E的操作按钮，命名为“三角形返回”。

图3-1-3.5

（6）作小圆与AB的交点P，作点N移动到点P的操作按钮，命名为“逆时针旋转”。

图3-1-3.6

（7）作点N的动画点，使点N能在小圆上逆时针旋转任意角度。将按钮更名为“任意角度旋转”。

图3-1-3.8

（8）隐藏该隐藏的，将点N，O更名为点E与点F。

图3-1-3.9
（9）连接FD，作FD的中点G，连接EG与GC。度量出EG与GC的长度。完成。
图3-1-3.10

3.1.4 满分解答
解：（1）证明：在Rt△FCD中，
∵G为DF的中点，∴ CG=FD
同理，在Rt△DEF中，
EG=FD
∴ CG=EG
（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG
证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．[来源:学#科#网Z#X#X#K]
F
B
A
D
C
E
G
M
N
N
图 ②（一）
在△DAG与△DCG中，
∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴ △DAG≌△DCG
∴ AG=CG
在△DMG与△FNG中，
∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴ △DMG≌△FNG．
∴ MG=NG
在矩形AENM中，AM=EN
在Rt△AMG 与Rt△ENG中，
∵ AM=EN， MG=NG，
∴ △AMG≌△ENG
∴ AG=EG
F
B
A
D
C
E
G
M
图 ②（二）

∴ EG=CG
证法二：延长CG至M,使MG=CG，
连接MF，ME，EC
在△DCG 与△FMG中，
∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，
∴△DCG ≌△FMG．
∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．
∴MF∥CD∥AB
∴
在Rt△MFE 与Rt△CBE中，
F
B
A
D
C
E
图③
G
∵ MF=CB，EF=BE，
∴△MFE ≌△CBE
∴
∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°
∴ △MEC为直角三角形．
∵ MG = CG，
∴ EG=MC．
∴
（3）（1）中的结论仍然成立，
即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG
3.2 例4（2010湖南常德市）
如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.
(1)当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
(2)当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.
①求证：AG⊥CH;
A
B
C
D
E
F
图10
G
A
D
图11
F
E
B
C
G
A
D
B
C
E
F
H
M
图12
②当AD=4，DG=时，求CH的长。

3.2.1动态体现
请打开几何画板文件名“旋转2”。
3.2.2探究过程展现
该题的主要变量是：正方形ABCD与正方形DEFG的大小,以及正方形DEFG的位置。主要不变量是：CE与AG的构造。
对于第一问：当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

（1）如图3-2-2.1 和图3-2-2.2。点击“转动”按钮，正方形DEFG会逆时针转动。再次按下按钮，即停止，此时可观察到AG与CE的长度虽然时刻在改变，但始终相等。

图3-2-2.1 图3-2-2.2

（2）也可以拉动点C或点P改变正方形ABCD与正方形DEFG的大小再行观察。线段PV的长度为正方形DEFG的边长。如下图。

图3-2-2.3 图3-2-2.4

对于第二问第①小题：当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.
①求证：AG⊥CH

（3）点击“移动到目标”按钮，则正方形移动到目标位置。停止后观察∠AHC大小。如图3-2-2.5，可观察到∠AHC=90°，即AG⊥CH。

图3-2-2.5

（4）对于第②小题：当AD=4，DG=时，求CH的长。
点击“第三问”按钮，会发现正方形ABCD与DGFE的大小发生改变，使AD=4，DG=。此时可观察HC的坐标距离为5.06. 如图3-2-2.6。

图3-2-2.6

3.2.3课件制作步骤要点

（1）建立平面直角坐标系，构造正方形ABCD。此时点A与点C能在轴上运动，改变正方形ABCD的大小。

图3-2-3.1

（2）在x轴上任意找一点V，过V点构造x轴的垂线，在垂线上找一点P，度量VP的坐标距离，以此为半径，点D为圆心构造圆，交AD于I。这样便能通过改变VP的程度，改变正方形EDFG的大小。

图3-2-3.2

（3）以ID为边构造正方形。

图3-2-3.3

（4）连接对角线DD’，以D为圆心，DD’为半径构造圆，交AD于J。在圆上找一点F，连接DF。

图3-2-3.4

（5）构造FD的中点L,过L作中垂线，以D为圆心，DI为半径构造圆，交中垂线于点G与点E。连接DG、GF、DE、EF。

图3-2-3.5

（6）隐藏该隐藏的，连接AG与CE，并度量出AG与CE的长度。完成第一问。

图3-2-3.6

（7）构造F→ J的按钮，命名为“移动到目标”。按下按钮，使F、J重合。构造直线CE，叫AD于M，交AG于H。构造线段EH，使之为虚线。度量出∠AHC的大小。完成第二问。

图3-2-3.7

（8）构造点Q（4,0）与R（11，）,则BR=4，RV=.构造按钮使C移动到Q，P移动到R。度量出CH的坐标距离。完成。

图3-2-3.8
3.2.4 满分解答
A
B
C
D
E
F
G
图11
解：（1）成立．
　　　　四边形、四边形是正方形，
　　　　　　∴
∠∠.
∴∠90°-∠∠
B
A
C
D
E
F
G
1
2
图12
H
P
M
　　　　　　∴△△.
∴.
（2）①类似（1）可得△△，
　　　　　 ∴∠1＝∠2
　 又∵∠＝∠.
　　　　　 ∴∠∠＝.
　　　　　 即
　　　　 　 ② 解法一: 过作于,
　　　　　 由题意有,
　　　　　　∴，则∠1＝.
　　　　　　而∠1＝∠2，∴∠2＝＝∠1＝.
　　　　　　∴　，即.
　　　　　　在Rt中，＝＝
　 而∽,∴,　 即　　
∴.　
再连接，显然有,
　　　　　 ∴
所求的长为
B
A
C
D
E
F
G
1
2
图12
H
P
M
解法二：研究四边形ACDG的面积
过作于,
　　　　 由题意有,
∴,
而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1,
,
∴4×1+4×4=×CH+4 ×1.
∴=
注：本题算法较多。
旋转不改变图形的形状与大小，只是位置发生变化，使图中的相关条件发生了新的联系，这类题型的解法的关键还是要抓住这些变动着的量和保持不变的量之间的关系，搞清楚变化的量在旋转过程中的平面关系的位置变化。利用几何画板可以更直观观察图形在旋转时发生变化的量的动态变化过程，变化的量发生了怎样的变化，能更清晰地理解题目。
4．平移类问题
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。“一定的方向”称为平移方向，“一定的距离”称为平移距离。
平移特征：图形平移时，图形中的每一点的平移方向都相同，平移距离都相等。
4.1 例5(2010四川眉山)
如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．

4.1.1 动态体验
请打开几何画板文件名“平移1”。
4.1.2 探究过程展现
该题的主要变量是：线段AD的大小。主要不变量是：Rt△CDE的形状、大小，抛物线的图像。
（1）对于第一问，根据题意可求出抛物线的解析式为。
（2）对于第二问，点击“向右平移”按钮，Rt△DCE向右平移，得到四边形ABCD为菱形。平移后可观察AB与DA的长度即可知，AB=DA。如图4-1-2.1和图4-1-2.2。

图4-1-2.1 图4-1-2.2

（3）点击“返回”按钮即可返回。这时两三角形重合。

图4-1-2.3
（4）观察右方C点的坐标，可发现当四边形ABCD为菱形时，把C点的横坐标代入函数的解析式，得到的数值刚好等于C点的纵坐标。从而得知C点落在抛物线上。这时D点同样也可知落在抛物线上。如图4-1-2.5，可与图4-1-2.4比较。

图4-1-2.4

图4-1-2.5

（4）对于第三问，点击“第三问”按钮，会显示出点M、N、动点V，与l与t之间的函数图像。可以得知是一段抛物线。如下图。

图4-1-2.6

（5）发现第三问是在第二问的条件下提出的（而题目并没有这么说）。因为如果不是在第二问的条件下提出则有两个变量。一个是点M的位置变化，一个是点D的变化（即Rt△CDE的位置变化）。那是前者还是后者呢？如果是后者，它的轨迹如图4-1-2.7。经过比较，得到变量应该是M的位置变化。

图4-1-2.7

（5）点击“移动M”按钮，或选中N点，上下拉动之，便可改变M点的位置，追踪轨迹。

图4-1-2.8

（6）发现当M点的横坐标为3.5时，MN的值最大，也就是l的值最大。如图4-1-2.9。可结合图4-1-2.10，图4-1-2.11对比之。

图4-1-2.9

图4-1-2.10

图4-1-2.11

4.1.3课件制作步骤要点
（1）根据题意，容易找出抛物线的解析式为： 并构造函数。画出Rt△