2021年辽宁省鞍山市中考数学试卷（解析版）.docx

2021年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的每小题3分，共24分）
1．（3分）（2021•鞍山）下列实数最小的是　　
A． B． C．0 D．1
2．（3分）（2021•鞍山）下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
3．（3分）（2021•鞍山）下列运算正确的是　　
A． B．
C． D．
4．（3分）（2021•鞍山）不等式的解集在数轴上表示正确的是　　
A．
B．
C．
D．
5．（3分）（2021•鞍山）如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
6．（3分）（2021•鞍山）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
时间
6
7
8
9
人数
2
18
14
6
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是　　
A．18，7.5 B．18，7 C．7，8 D．7，7.5
7．（3分）（2021•鞍山）如图，为的直径，，为上的两点，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
8．（3分）（2021•鞍山）如图，是等边三角形，，点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动，当点停止运动时，点也随之停止．过点作交于点，连接，，作关于直线对称的△，设运动时间为，△与重叠部分的面积为，则能表示与之间函数关系的大致图象为　　

A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2021•鞍山）第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为1411780000人．将1411780000用科学记数法可表示为 　　．
10．（3分）（2021•鞍山）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是 　　．

11．（3分）（2021•鞍山）如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为　　．

12．（3分）（2021•鞍山）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则符合题意的方程是 　　．
13．（3分）（2021•鞍山）如图，矩形中，，对角线，交于点，，垂足为点，若，则的长为 　　．

14．（3分）（2021•鞍山）如图，，定长为的线段端点，分别在射线，上运动（点，不与点重合），为的中点，作关于直线对称的△，交于点，当是等腰三角形时，的度数为 　　．

15．（3分）（2021•鞍山）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴负半轴上，轴，，分别交轴于点，．若，，则　　．

16．（3分）（2021•鞍山）如图，在正方形中，对角线，相交于点，是线段上的动点（点不与点，重合），连接，过点作分别交，于点，，连接交于点，作交于点，交于点．有下列结论：①当时，；②；③当时，；④．其中正确的是 　　（填序号即可）．

三、解答题（每小题8分，共16分）
17．（8分）（2021•鞍山）先化简，再求值：，其中．
18．（8分）（2021•鞍山）如图，在中，为边上一点，，延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点．求证：四边形是菱形．

四、解答题（每小题10分，共20分）
19．（10分）（2021•鞍山）为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
．防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到海报的概率是 　　．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到海报的概率．
20．（10分）（2021•鞍山）为庆祝建党100周年，某校开展“学党史颂党恩”的作品征集活动，征集的作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请根据以上信息解答下列问题：
（1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？
（2）补全条形统计图．
（3）本次活动共征集作品1200件，估计绘画作品有多少件．
五、解答题（每小题10分，共20分）
21．（10分）（2021•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，与反比例函数的图象在第二象限交于，两点，交轴于点，若．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形的面积．

22．（10分）（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门在南门的正北方向，小明自公园北门处出发，沿南偏东方向前往游乐场处；小华自南门处出发，沿正东方向行走到达处，再沿北偏东方向前往游乐场处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门与南门之间的距离．（结果取整数．参考数据：，，，

六、解答题（每小题10分，共20分）
23．（10分）（2021•鞍山）如图，为的直径，为上一点，为上一点，，过点作交的延长线于点，交于点，连接，，在的延长线上取点，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．

24．（10分）（2021•鞍山）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为（元，每天的销售量为（件．
（1）求每天的销售量（件与销售单价（元之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
七、解答题（本题满分12分）
25．（12分）（2021•鞍山）如图，在中，，，过点作射线交射线于点，将绕点逆时针旋转得到，过点作交直线于点，在上取点，使．
（1）当与线段相交时，
①如图1，当时，线段，和之间的数量关系为 　　．
②如图2，当时，写出线段，和之间的数量关系，并说明理由．
（2）当，时，若是直角三角形，直接写出的长．

八、解答题（本题满分14分）
26．（14分）（2021•鞍山）如图，抛物线交轴于点，，是抛物线的顶点，是抛物线上的动点，点的横坐标为，交直线于点，交于点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标；
（3）连接，点在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点从点运动到点的过程中，点也随之运动，直接写出点的纵坐标的取值范围．

2021年辽宁省鞍山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的每小题3分，共24分）
1．（3分）（2021•鞍山）下列实数最小的是　　
A． B． C．0 D．1
【解答】解：因为，
所以最小的实数是．
故选：．
2．（3分）（2021•鞍山）下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
3．（3分）（2021•鞍山）下列运算正确的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：．与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；
．，故选项不符合题意；
．，故选项符合题意；
．，故选项不符合题意，
故选：．
4．（3分）（2021•鞍山）不等式的解集在数轴上表示正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：，
，
，
，
表示在数轴上如图：
故选：．
5．（3分）（2021•鞍山）如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图，作，

三角尺是含角的三角尺，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
6．（3分）（2021•鞍山）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
时间
6
7
8
9
人数
2
18
14
6
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是　　
A．18，7.5 B．18，7 C．7，8 D．7，7.5
【解答】解：根据题意可得，参加体育锻炼时间的众数为7，
因为该班有40名同学，所以中位数为第20和21名同学锻炼时间的平均数，第20名同学的时间为，第21名同学的时间为，
所以中位数为．
故选：．
7．（3分）（2021•鞍山）如图，为的直径，，为上的两点，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：连接，如图，
为的直径，
，
，
．
故选：．

8．（3分）（2021•鞍山）如图，是等边三角形，，点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动，当点停止运动时，点也随之停止．过点作交于点，连接，，作关于直线对称的△，设运动时间为，△与重叠部分的面积为，则能表示与之间函数关系的大致图象为　　

A． B．
C． D．
【解答】解：如图1中，当点落在上时，取的中点，连接．

，，，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，，
，是等边三角形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
如图2中，当时，过点作于，则，

．
如图3中，当时，，

观察图象可知，选项符合题意，
故选：．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2021•鞍山）第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为1411780000人．将1411780000用科学记数法可表示为 　　．
【解答】解：．
故答案为：．
10．（3分）（2021•鞍山）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是 　　．

【解答】解：由图可知：黑色区域在整个地面中所占的比值，
小球最终停留在黑色区域的概率，
故答案为：．
11．（3分）（2021•鞍山）如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为　3　．

【解答】解：由平移的性质可知，，
，，
，
，
平移的距离为3，
故答案为：3．
12．（3分）（2021•鞍山）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则符合题意的方程是 　　．
【解答】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为元，
依题意得：．
故答案为：．
13．（3分）（2021•鞍山）如图，矩形中，，对角线，交于点，，垂足为点，若，则的长为 　　．

【解答】解：四边形是矩形，
，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
14．（3分）（2021•鞍山）如图，，定长为的线段端点，分别在射线，上运动（点，不与点重合），为的中点，作关于直线对称的△，交于点，当是等腰三角形时，的度数为 　或　．

【解答】解：，为的中点，
，
，，
又由折叠性质可得，
，
设，则，，，，
①当时，，
，
解得，
；
②当时，，
，方程无解，
此情况不存在；
③当时，，
，
解得：，
；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
15．（3分）（2021•鞍山）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴负半轴上，轴，，分别交轴于点，．若，，则　18　．

【解答】解：如图，过点作轴于点．

轴，
，
，
，
，
设，，则，，
，，
，
，
，
，
，
又反比例函数图象在第一象限，
，
故答案为18．
16．（3分）（2021•鞍山）如图，在正方形中，对角线，相交于点，是线段上的动点（点不与点，重合），连接，过点作分别交，于点，，连接交于点，作交于点，交于点．有下列结论：①当时，；②；③当时，；④．其中正确的是 　①③④　（填序号即可）．

【解答】解：如图1中，过点作于．
，
，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，故①正确，
假设成立，
，
，
，显然这个条件不成立，故②错误，
如图2中，过点作于，于，连接．
，，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，故③正确，
如图3中，将绕点顺时针旋转得到，连接．则，，，，
，，，
，
，
，
，
，故④正确，
故答案为：①③④．

三、解答题（每小题8分，共16分）
17．（8分）（2021•鞍山）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：

．
当时，原式．
18．（8分）（2021•鞍山）如图，在中，为边上一点，，延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点．求证：四边形是菱形．

【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形．
四、解答题（每小题10分，共20分）
19．（10分）（2021•鞍山）为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
．防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到海报的概率是 　　．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到海报的概率．
【解答】解：（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到海报的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到海报的结果有6种，
小张和小李两个人中有一个人抽到海报的概率为．
20．（10分）（2021•鞍山）为庆祝建党100周年，某校开展“学党史颂党恩”的作品征集活动，征集的作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请根据以上信息解答下列问题：
（1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？
（2）补全条形统计图．
（3）本次活动共征集作品1200件，估计绘画作品有多少件．
【解答】解：（1）根据题意得：（件，
所抽取的学生作品的样本容量是120；
（2）绘画作品为（件，
补全统计图，如图所示：

故答案为：36；
（3）根据题意得：（件，
则绘画作品约有360件．
答：本次活动共征集作品1200件时，绘画作品约有360件．
五、解答题（每小题10分，共20分）
21．（10分）（2021•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，与反比例函数的图象在第二象限交于，两点，交轴于点，若．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形的面积．

【解答】解：（1）将代入中，
，
反比例函数的解析式为；
过点作轴，过点作轴，

，
，
，
，
将代入中，
，
解得：，
点坐标为，
将，代入中，
可得，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解法一：设直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
由，设直线的解析式为，
将代入可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
点坐标为，，
，
在中，当时，，
解得：，
点坐标为，
，
，

．
解法二：在中，当时，，
点坐标为，
又，
，
，
，

．
22．（10分）（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门在南门的正北方向，小明自公园北门处出发，沿南偏东方向前往游乐场处；小华自南门处出发，沿正东方向行走到达处，再沿北偏东方向前往游乐场处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门与南门之间的距离．（结果取整数．参考数据：，，，

【解答】解：作于，于，
，
四边形是矩形，
，，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
，
答：公园北门与南门之间的距离约为1293 ．

六、解答题（每小题10分，共20分）
23．（10分）（2021•鞍山）如图，为的直径，为上一点，为上一点，，过点作交的延长线于点，交于点，连接，，在的延长线上取点，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．

【解答】解：（1），，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，，
，
，
是的直径，
，
又，
，
，
，
即是的切线；
（2）是的切线，，
，
，
，
又，
在中，，
设的半径为，则，，
在中，，
解得：，
的半径为5．
24．（10分）（2021•鞍山）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为（元，每天的销售量为（件．
（1）求每天的销售量（件与销售单价（元之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
【解答】解：（1）由题意可得：，
整理，得：，
每天的销售量（件与销售单价（元之间的函数关系式为；
（2）设销售所得利润为，由题意可得：
，
整理，得：，
，
当时，取最大值为1152，
当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．
七、解答题（本题满分12分）
25．（12分）（2021•鞍山）如图，在中，，，过点作射线交射线于点，将绕点逆时针旋转得到，过点作交直线于点，在上取点，使．
（1）当与线段相交时，
①如图1，当时，线段，和之间的数量关系为 　　．
②如图2，当时，写出线段，和之间的数量关系，并说明理由．
（2）当，时，若是直角三角形，直接写出的长．

【解答】解：（1）①结论：．
理由：如图1中，作交于．

，，
是等边三角形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：．

②如图2中，结论：．
理由：过点作于．

，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

（2）如图中，当时，过点作于，过点作于．

在中，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
．

如图中，当时，，

，
，
在中，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
八、解答题（本题满分14分）
26．（14分）（2021•鞍山）如图，抛物线交轴于点，，是抛物线的顶点，是抛物线上的动点，点的横坐标为，交直线于点，交于点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标；
（3）连接，点在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点从点运动到点的过程中，点也随之运动，直接写出点的纵坐标的取值范围．

【解答】解：（1）抛物线交轴于点，，
将、坐标分别代入抛物线解析式得：，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）如图，是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：，
，
交直线于点，是抛物线上的动点，点的横坐标为，
，设，，
又的面积为，的面积为，，
，
，，即点分别是、的中点，
又，，，，
由中点坐标公式得：，
解得：（与“”不符，应舍去），，
，
，，，；
（3）①当点与点重合时，点与点重合，此时的值最大，如图2，
以为斜边在第一象限内作等腰直角△，
则，，，
以为圆心，为半径作，交抛物线对称轴于点，
过点作轴于点，则，
，，
，
，
②当点与点重合时，点与点重合，此时的值最小，如图3，
连接，以为圆心，为半径作交抛物线对称轴于点，
，
经过点，
连接，设抛物线对称轴交轴于点，
则，，
，
，
，
综上所述，．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/9/13 17:18:09；用户：初中数学61；邮箱：ydyd61@；学号：36810736
第40页（共40页）