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2020年四川省达州市中考数学试卷
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是　　
A． B． C． D．万
2．（3分）下列各数中，比3大比4小的无理数是　　
A．3.14 B． C． D．
3．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是　　
A． B．
C． D．
4．（3分）下列说法正确的是　　
A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查
B．确定事件一定会发生
C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98
D．数据6、5、8、7、2的中位数是6
5．（3分）图2是图1中长方体的三视图，用表示面积，，，则　　

A． B． C． D．
6．（3分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是　　

A． B． C． D．
7．（3分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是　　

A．10 B．89 C．165 D．294
8．（3分）如图，在半径为5的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的恰好与、相切，则劣弧的长为　　

A． B． C． D．
9．（3分）如图，直线与抛物线交于、两点，则的图象可能是　　

A． B．
C． D．
10．（3分）如图，，，点在上，四边形是矩形，连接、交于点，连接交于点．下列4个判断：①平分；②；③；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形．正确判断的个数是　　

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：
①绘制扇形统计图
②收集三个部分本班学生喜欢的人数
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比
其中正确的统计顺序是　　．
12．（3分）如图，点与点关于直线对称，则　　．

13．（3分）小明为测量校园里一棵大树的高度，在树底部所在的水平面内，将测角仪竖直放在与相距的位置，在处测得树顶的仰角为．若测角仪的高度是，则大树的高度约为　　．（结果精确到．参考数据：，，

14．（3分）如图，点、在反比函数的图象上，、的纵坐标分别是3和6，连接、，则的面积是　　．

15．（3分）已知的三边、、满足，则的内切圆半径　　．
16．（3分）已知为正整数，无论取何值，直线与直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是　　；记直线和与轴围成的三角形面积为，则　　，的值为　　．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
17．（5分）计算：．
18．（7分）求代数式的值，其中．
19．（7分）如图，点在的边上，以为半径作，的平分线交于点，过点作于点．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断与交点的个数，并说明理由．

20．（7分）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：
94 83 90 86 94 88 96 100 89 82
94 82 84 89 88 93 98 94 93 92
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级
成绩分
频数

8

5

4
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：　　，　　；
（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；
（3）已知等级中有2名女生，现从等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．

21．（8分）如图，中，，、分别是边、的中点．将绕点旋转180度，得．
（1）判断四边形的形状，并证明；
（2）已知，，求四边形的面积．

22．（8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：

原进价（元张）
零售价（元张）
成套售价（元套）
餐桌

380
940
餐椅

160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
23．（8分）如图，在梯形中，，，，．为线段上的一动点，且和、不重合，连接，过点作交射线于点．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
（1）通过推理，他发现，请你帮他完成证明．
（2）利用几何画板，他改变的长度，运动点，得到不同位置时，、的长度的对应值：
当时，得表

1
2
3
4
5

0.83
1.33
1.50
1.33
0.83

当时，得表

1
2
3
4
5
6
7

1.17
2.00
2.50
2.67
2.50
2.00
1.17

这说明，点在线段上运动时，要保证点总在线段上，的长度应有一定的限制．
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在和的长度这两个变量中，　　的长度为自变量，　　的长度为因变量；
②设，当点在线段上运动时，点总在线段上，求的取值范围．

24．（10分）（1）阅读与证明
如图1，在正的外角内引射线，作点关于的对称点（点在内），连接，、分别交于点、．
①完成证明：点是点关于的对称点，
，，．
正中，，，
，得．
在中，，　　．
在中，，　　．
②求证：．
（2）类比与探究
把（1）中的“正”改为“正方形”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：
①　　；
②线段、、之间存在数量关系　　．
（3）归纳与拓展
如图3，点在射线上，，，在内引射线，作点关于的对称点（点在内），连接，、分别交于点、．则线段、、之间的数量关系为　　．

25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点为直线下方抛物线上一点，点为轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．

2020年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是　　
A． B． C． D．万
【解答】解：1002万用科学记数法表示为，
故选：．
2．（3分）下列各数中，比3大比4小的无理数是　　
A．3.14 B． C． D．
【解答】解：，，
、3.14是有理数，故此选项不合题意；
、是有理数，故此选项不符合题意；
、是比3大比4小的无理数，故此选项符合题意；
、比4大的无理数，故此选项不合题意；
故选：．
3．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、手的对面是勤，不符合题意；
、手的对面是口，符合题意；
、手的对面是罩，不符合题意；
、手的对面是罩，不符合题意；
故选：．
4．（3分）下列说法正确的是　　
A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查
B．确定事件一定会发生
C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98
D．数据6、5、8、7、2的中位数是6
【解答】解：．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查，此选项错误；
．确定事件一定会发生，或一定不会发生，此选项错误；
．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98和99，此选项错误；
．数据6、5、8、7、2的中位数是6，此选项正确；
故选：．
5．（3分）图2是图1中长方体的三视图，用表示面积，，，则　　

A． B． C． D．
【解答】解：，，
俯视图的长为，宽为，
则俯视图的面积，
故选：．
6．（3分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是　　

A． B． C． D．
【解答】解：由题意得，当每条棱上的小球数为时，正方体上的所有小球数为．
而， ， ，
所以选项表达错误，符合题意；
、、选项表达正确，不符合题意；
故选：．
7．（3分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是　　

A．10 B．89 C．165 D．294
【解答】解：，
故选：．
8．（3分）如图，在半径为5的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的恰好与、相切，则劣弧的长为　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接、，
，
四边形为菱形，
折叠后的与、相切，
，，
四边形为正方形，
，
劣弧的长．
故选：．

9．（3分）如图，直线与抛物线交于、两点，则的图象可能是　　

A． B．
C． D．
【解答】解：设，
，，
，
由图象可知，在点和点之间，，在点的左侧或点的右侧，，
故选项符合题意，选项、、不符合题意；
故选：．
10．（3分）如图，，，点在上，四边形是矩形，连接、交于点，连接交于点．下列4个判断：①平分；②；③；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形．正确判断的个数是　　

A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：①四边形是矩形，
，
，
平分，
故①正确；
②四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故②正确；
③，
，
连接，如图1，

，
，，
，
，
故③正确；
④根据题意作出图形，如图2，

是的中点，，
，
，
，平分，
，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
故④正确；
故选：．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：
①绘制扇形统计图
②收集三个部分本班学生喜欢的人数
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比
其中正确的统计顺序是　②③①　．
【解答】解：正确的统计顺序是：
②收集三个部分本班学生喜欢的人数；
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比；
①绘制扇形统计图；
故答案为：②③①．
12．（3分）如图，点与点关于直线对称，则　　．

【解答】解：点与点关于直线对称，
，，
，
故答案为．
13．（3分）小明为测量校园里一棵大树的高度，在树底部所在的水平面内，将测角仪竖直放在与相距的位置，在处测得树顶的仰角为．若测角仪的高度是，则大树的高度约为　11　．（结果精确到．参考数据：，，

【解答】解：如图，过点作，垂足为，由题意得，，，
在中，，
（米
故答案为：11．

14．（3分）如图，点、在反比函数的图象上，、的纵坐标分别是3和6，连接、，则的面积是　9　．

【解答】解：点、在反比函数的图象上，、的纵坐标分别是3和6，
，，
作轴于，轴于，
，
，
，
故答案为9．

15．（3分）已知的三边、、满足，则的内切圆半径　1　．
【解答】解：，
，
，，，
，
，
是直角三角形，，
设内切圆的半径为，
根据题意，得，
，
故答案为：1．
16．（3分）已知为正整数，无论取何值，直线与直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是　　；记直线和与轴围成的三角形面积为，则　　，的值为　　．
【解答】解：直线，
直线经过点；
直线，
直线经过点．
无论取何值，直线与的交点均为定点．
直线与轴的交点为，，
直线与轴的交点为，，
，
；

．
故答案为；；．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
17．（5分）计算：．
【解答】解：原式
．
18．（7分）求代数式的值，其中．
【解答】解：原式

当时，
原式

．
19．（7分）如图，点在的边上，以为半径作，的平分线交于点，过点作于点．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断与交点的个数，并说明理由．

【解答】解：（1）如图，，射线，直线即为所求．

（2）直线与相切，交点只有一个．
理由：，
，
平分，
，
，
，
，
，
直线是的切线，
与直线只有一个交点．
20．（7分）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：
94 83 90 86 94 88 96 100 89 82
94 82 84 89 88 93 98 94 93 92
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级
成绩分
频数

8

5

4
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：　3　，　　；
（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；
（3）已知等级中有2名女生，现从等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．

【解答】解：（1）由题意知，，即；
故答案为：3、40；
（2）估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数为（人；
（3）列表如下：

男
女
女
男

（男，女）
（男，女）
女
（男，女）

（女，女）
女
（男，女）
（女，女）

所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，
恰好抽到一男一女的概率为．
21．（8分）如图，中，，、分别是边、的中点．将绕点旋转180度，得．
（1）判断四边形的形状，并证明；
（2）已知，，求四边形的面积．

【解答】解：（1）结论：四边形是菱形．
，，
，，
由旋转的性质可知，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是菱形．

（2）连接，交于点．
四边形是菱形，
，，，设，，
则有，
，
，
，
．

22．（8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：

原进价（元张）
零售价（元张）
成套售价（元套）
餐桌

380
940
餐椅

160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
答：表中的值为260．

（2）设购进餐桌张，则购进餐椅张，
根据题意得：，
解得：．
设销售利润为元，
根据题意得：，
，
当时，取最大值，最大值为：．
答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．
23．（8分）如图，在梯形中，，，，．为线段上的一动点，且和、不重合，连接，过点作交射线于点．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
（1）通过推理，他发现，请你帮他完成证明．
（2）利用几何画板，他改变的长度，运动点，得到不同位置时，、的长度的对应值：
当时，得表

1
2
3
4
5

0.83
1.33
1.50
1.33
0.83

当时，得表

1
2
3
4
5
6
7

1.17
2.00
2.50
2.67
2.50
2.00
1.17

这说明，点在线段上运动时，要保证点总在线段上，的长度应有一定的限制．
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在和的长度这两个变量中，　　的长度为自变量，　　的长度为因变量；
②设，当点在线段上运动时，点总在线段上，求的取值范围．

【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

（2）解：①根据函数的定义，我们可以确定，在和的长度这两个变量中，的长度为自变量，的长度为因变量，
故答案为：，．

②设，．
，
，
，
，
，
时，有最大值，
点在线段上，，
，
，
．

24．（10分）（1）阅读与证明
如图1，在正的外角内引射线，作点关于的对称点（点在内），连接，、分别交于点、．
①完成证明：点是点关于的对称点，
，，．
正中，，，
，得．
在中，，　60　．
在中，，　　．
②求证：．
（2）类比与探究
把（1）中的“正”改为“正方形”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：
①　　；
②线段、、之间存在数量关系　　．
（3）归纳与拓展
如图3，点在射线上，，，在内引射线，作点关于的对称点（点在内），连接，、分别交于点、．则线段、、之间的数量关系为　　．

【解答】（1）①解：如图1中，点是点关于的对称点，
，，．
正中，，，
，得．
在中，，
．
在中，，
．
故答案为60，30．

②证明：如图1中，连接，在上取一点，使得，连接．

，关于对称，
垂直平分线段，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
．

（2）解：①如图2中，，
点是的外接圆的圆心，
，
，
．
故答案为45．

②结论：．
理由：如图2中，连接，在上取一点，使得，连接．

，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．．

（3）如图3中，连接，，在上取一点，使得．

，，
，
，
，
，，
，
，
，
同法可证，，
，
，
．即．
故答案为：．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点为直线下方抛物线上一点，点为轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．

【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
点，点，
设抛物线解析式为：，
，
，
抛物线解析式为：；
（2）如图，当点在直线上方时，过点作，交抛物线与点，

，
和是等底等高的两个三角形，
，
，
直线的解析式为，
联立方程组可得，
解得：或，
点，或，；
当点在直线下方时，在的延长线上截取，过点作，交抛物线于点，
，，
，
，且过点，
直线解析式为，
联立方程组可得，
解得，
点，
综上所述：点坐标为，或，或；
（3）如图2，过点作，交于，

设点，则点，
，
的面积，
当时，的面积有最大值，
点，
如图3，过点作，过点作于点，过点作于，延长交直线于，

，，
，
，
当点，点，点三点共线，且垂直于时，有最小值，即最小值为，
，
直线解析式为，
当时，点，，
，
，
，
，
的最小值为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/7/25 15:40:43；用户：数学；邮箱：zyerz2@；学号：30678705
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