ARCH模型在金融时间序列中的应用-毕业设计论文.pdf

第一章绪论1第一章绪论1.1 论文的研究背景及意义随着经济的发展，金融市场已逐渐成为经济发展的重要部分，金融理论的基 础是风险与收益的关系，而资产价格的波动一定程度反映了资产的风险特性。对 价格波动如何随时间变化的理解是投资者在决策过程中面临的主要问题之一，市 场投资者可以利用对波动性的预测来进行风险管理、衍生证券的定价与对冲、市 场时机的把握和投资组合的选择。如:市场波动性预测与市场风险溢价有关，对确 定有条件的资产定价模型的风险溢价有很大影响;波动性预测对期权定价也有重 要意义，因为股票市场波动是决定期权价格的主要因素。因此，如何更深刻理解 股票市场波动性特征并从中探寻其规律性，对金融理论而且对金融实践均具有重 要意义。波动性是股票市场的最主要的特征之一，对股市的波动性研究始终是学 者们关注的热点。对于波动性探究，首先想到的技术是经典成熟的B-J范式，即ARMA类时间 序列模型。但大量的实证研究表明，金融数据中存在着波动性聚集性和尖峰厚尾 的特性，因此，川一般的时间序列模型来拟合金融数的波动性就显得不太合适。1982年Engle开创性的提出了自回归条件异方差模型，即ARCH模型，将时变方 差建立为过去波动的函数，能更好的描述资产收益率的尖峰厚尾的特征。1986年,Bollerslev提出了广义ARCH模型，即GARCH模型，GARCH模型克月艮了 ARCH 模型的一些缺点，受到了人们的欢迎。将GARCH模型运用于金融时间序列的分 析能够更有效的捕捉条件方差的动态特征，从而简化了高阶的ARCH模型。ARCH 族模型是标准金融领域里最重要的模型之一，不仅在于它是一项极有理论价值的 理论创新，更在其对于现实世界的刻画与解释能力。由于ARCH族模型展示了时 间序列变量之间一系列重要的特殊的不确定形式，它已被广泛运川到检验金融模 型与定理，验证市场有效性，测算市场系统性风险以及寻求最优动态无风险策略 等众多领域。ARCH族模型目前还在继续拓展其解释能力和运用领域，在（超）高 频数据分析，多维模型等金融计量方法和市场微观结构理念的分析工具方面将引 领金融经济学未来发展的前沿。2 ARCH模型在金融时间序列分析中的应用我国股票市场从成立至今仅有十几年的时间，但其发展速度非常迅猛，目前 已成为刺激投资，推动我国经济发展的一个必不可少的部分。然而，正是由于时 间过短，仍然存在着很多不完善之处，比如法制建设不健全，市场监管不力等；同时实证工作的开展更是远远落后于股市的发展。这些都造成了我国股票市场不 同于西方发达国家的一个鲜明特征一投机色彩非常浓厚。同时其波动幅度和风险 大大高于国外成熟的市场，尤其是异常和超常波动更是频繁出现，股票市场波动 特征及其影响因素研究是学者们和投资者所关注的焦点问题，也是政策制定者和 监管当局衡量、监管和规避市场风险必不可少的参考。中国股市一向被称为：政 策市，资金市，消息市。所以政策，资金和消息对中国股市的波动会产生重大的 影响。现有研究中国股市波动性特征基本上认为中国股票市场的波动性比发达国 家成熟股市波动程度大。近年来研究中国股市波动性正方兴未艾，而且主要研究 的是沪深股市指数收益波动性。因而用ARCH理论对我国股票市场进行实证研究主要有以下几个目的：第 一，吸收西方国家先进的金融计量经济学理论，力争为推动我国股票市场实证研 究工作的向前迈进做出一点贡献，以使其更趋规范，更趋严谨，同时对实践也能 起到更好的引导作用；第二，通过模型的实证结果力争揭示我国股票市场的总体 特征，并为其规范和完善提出一些合理化的建议。1.2 国内外研究概况1.2.1国外研究现状金融时间序列分析研究是资产价值随时问演变的理论与实践，它是一个带有 高度经验性的学科，但是也像其他科学领域一样，理论是形成分析推断的基础。然而，金融时间序列分析有一个区别于其他时间序列分析的主要特点：金融理论 及其经验的时间序列都包含不确定因素。例如，资产波动率有各种不同的定义，对一个股票收益率序列，波动率是不能直接观察到的。正因为带有不确定性，统 计理论和方法在金融时间序列分析中起重要作用。20世纪60年代后期，计量经济学理论在全球得到了迅猛发展，同时也掀开 第一章绪论3了时间序列分析方法崭新的一页。1970年，Box和Jenkins系统提出了 ARMA模 型的一系列理论，从此越来越多的学者开始关注随机时间序列模型。1982年，诺贝尔经济学奖获得者Engle教授在研究金融资产的价格变动行为 中发现，非线性时间序列模型中随机扰动项的方差常常是不稳定的，它不仅受过 去(价格)波动冲击的影响，并且大幅波动往往聚集在某些时段。为描述和预测这 类现象，Engle提出了自回归异方差(ARCH)模型，其核心思想是：某一特定时期 的随机误差的方差不仅仅取决与以前的误差，还取决于其本身先前的方差。这一 假设使ARCH模型较好捕捉了金融时间序列数据中存在的波动性聚类现象。Engle教授在提出ARCH模型后，认识到在某些具体经济研究中ARCH模型 的本身制约性，他与Lilien和Robins等人先后对ARCH模型作了改进。Engle等 将ARCH模型引人条件均值回归，提出了 ARCH-M模型。在该文中，他们考虑 了一个由有风险资产与无风险资产组成的两资产模型，风险由有风险资产的条件 方差的函数度量，这样，风险厌恶者决定的价格会随时间扰动，均衡价格将决定 均值一方差之间的关系。将ARCH-M模型应川于美国国债分析，他们发现，若取 三月期国债为无风险资产，那么六月期国债的超额收益率显著地受所估计的风险 项的影响。此后，Engle教授等又提出了 FIGARCH以及多变量GARCH等一系列 推广模型，这些拓展模型与原有的ARCH模型构成了一套比较完整的ARCH族 计量模型体系。Bollerslev(1986)在Engle教授的研究基础上发现：ARCH模型无法表达“某 些情形中自相关系数消退很慢”这一信息，实际应用中对完全自由滞后分布的估 计常导致对非负约束的破坏。Bollerslev提出了广义自回归异方差模型(GARCH),GARCH模型除了考虑扰动项的滞后期之外，同时也加入了扰动项条件方差的滞 后。而Taylor在1986年独立提出的GARCHQ,1)模型更是在实际经济研究中得 到广泛应用。止匕外，对单变量模型，人们还提出了门限自回归模型TARCH,非 线性模型 NARCH,指数 GARCH(exponential GARCH,EGARCH)模型，单整 GARCH(IGARCH)模型。对多变量模型还有一般动态回归，多变量回归，向量 自回归，共同周期趋势分析等理论。1.2.2国内研究现状4ARCH模型在金融时间序列分析中的应用我国股市虽然历经多年发展，但是由于起步较晚以及受本身政策制度的影响,依然存在很多缺陷，比如：股票价格在很多时候难以反映上市公司的实际价值、股票换手率较高、易受人为因素和政策变化的影响，股票波动率较大等。为了给 管理者及投资者予合理的、科学的建议，专家、学者们利用各种理论对中国股市 进行了研究。王立风(2004)提出了基于ARCH的股价预测模型，该模型通过建立高阶回归 的ARCH模型来预测股价变化。朱宁、徐标和仝殿波(2006)等通过ARIMA模型分析时间序列的随机性和平稳 性，对上证指数的日数据和月数据进行预测分析，即对上证指数作短、中期预测,川SAS软件检验模型的可行性，并预测应川。许庆光(2007)提出了基于ARCH模型的上海股票市场特征的研究，从实证结 果中总结出上海股市的总体特征，并为其进一步发展完善提出了一些建议。俞盛华、王志同(2005)通过对中国股票市场建立ARCH模型进行实证研究得 出结论：上证股市收益率符合ARCH效应，我国股票市场的价格对信息(这里的 信息指的是证券公司的信息披露，或其他相关证鉴会发布的信息)的反应不够灵 敏，深沪股市ARCH模型的峰态系数较大，表明我国股票市场具有较强的投机色 彩。蒋祥林、王春峰(2004)把Hamilton提出的状态转移ARCH模型(SWARCH)运 用于上证股市研究发现：证监会各种政策的出台以及股市管理者的各种言论往往 会引起股市由较低波动性状态向较高波动性状态转移。周少甫、陈千里(2004)应用无条件波动的修正Levene检验和条件波动的 GARCH模型对上海股市的周日效应进行了研究。吴林祥、徐龙炳(2002)进一步应用稳态分布理论来研究中国股票市场股票收 益的特性，结果表明，中国股票市场股票收益构成的时间序列呈现狭峰、厚尾，具有稳态特征。岳朝龙(2001)分别利用GARCH模型、IGARCH模型、GARCH.M模型及 EGARCH模型分析了上证综合指数1997年9月23日至1999年12月30日收益 率的波动特征，发现我国股市的收益率具有条件异方差性。高振坤等(2005)通过建立GARCH-BP神经网络预测模型，结合了 GARCH模 型与BP模型的优点，通过实证表明：GARCH-BP模型具有收敛速度快、学习能 第一章绪论5力强、预测精度较高、误差率较小等特点。还有学者通过建立EGARCH-M等模型对我国股票市场波动非对称性进行实 证研究，结果表明我国股票市场正在逐渐趋于理性，投资者也更加注重股票的投 资价值而不是投机价值，整个市场的投机成分不断减少。综上所述，目前的研究主要是集中在运用时间序列方法对上证指数收益率波 动特性、平稳性及随机性等特征进行实证分析，虽然也有人提出了上证指数收益 率时间序列的ARCH模型，并用于预测，但也只是简单地采用某一种模型，而对 一个时间序列建立ARCH模型的完整过程直至得到一个确定的拟合模型并用来 预测，特别是对有多个适用的模型，如何从中选择最理想的模型，现有的研究比 较少见。1.3 本文的研究目的本文首先通过模拟随机数来检验ARCH模型的有效性，然后选择我国沪市作 为研究对象，从理论到实证，通过样本数据来建立ARCH模型，并应川该模型来 研究中国股市收益率的波动性特征，间接验证模型的实用性，并为监管部门及投 资者提供一些有借鉴价值的结论。1.4 本文的思路与结构框架本文内容与结构：第1章 介绍了论文研究的背景，并从国内外的研究现状来说明本文研究的 必要性和实用性，并提出本文的研究目的和框架结构。6 ARCH模型在金融时间序列分析中的应用第2章 重点对ARCH模型做了详细介绍，并概述了其拓展模型。第3章 验证了 ARCH模型的有效性，并对与建立模型相关的步骤进行了详 细讨论。第4章 基于ARCH模型，对沪市的波动性进行了实证研究。第5章 总结了本文的主要工作，创新之处，及后续工作与展望。第二章ARCH模型的基础理论7第二章ARCH模型的基础理论2.1 ARCH 模型自回归条件异方差过程(ARCH过程)在文献中有多种不同的定义方法，以下介 绍的是基于恩格尔在1982年提出的定义。一个随机变量为有P阶的自回归表示形式AR(P),如果：x1=Bo+尸Ml+设12+OpX.p+与(2.1)其中，与为独立同分布的白噪声过程，且有石)=0,。(5)=/AR(P)过程(2.1)是一稳定过程，它的特征多项式：1-分化-凡2?所有的根都在单位圆 外。若有一随机过程弓,它的平方却服从AR(q)过程：=%+%多-+%与匕+7(2.2)其中,独立同分布，且有石(J=0,。)=外，=1,2,，则匕称服从q阶的 ARCH过程，记作与AHCH(q)。由于随机变量/的非负性，给定变量屋,晨的值，白噪声过程,的分布 是受约束的，因为它显然应满足：？2-4；%=1,2,，为确保弓2 为一稳定过程,假设(2.2)式的特征方程：1-%z-%巾=0的所有的根都在单位圆外。若40,cr.0,(i=1,2,应)成立，以上条件等价于%+%+%0020,2条件方差中包含三项：即为常数，Z：=p心为ARCH项，Z夕也-为GARCH项。模型系数之和的大小，反映了序列波动的持续性，即序列在过去时刻波动的大小特征在当前时刻被“继承”下来，若ZL%越接近1，“继承”的就越多，整个序列的波动就越大，当其小于1时，说明某时刻的冲击会逐渐消失，但当其大于1时，说明这个冲击的影响不但不会消失，反而会扩散。除了广义的ARCH模型(GARCH)外,在过去几年中还出现了 一些其他的ARCH 模型的推广形式，如方差无穷GARCH(IGARCH)模型，门限ARCH(TARCH)模型，指数GARCH(EGARH)模型，均值GARCH(GARCH-M)模型，成分ARCH(CARCH)模型等。这些不同形式的ARCH类模型，作为一种动态非线性的时间序列模型，它们的 波动性随时间的变化而变化，并且在这些模型中波动性是与过去的波动性以及过 去的误差项方差紧密相关的，这类模型已经被广泛应用于验证金融理论中的规律 描述以及金融市场的预测和决策。以下对其中的几种作简要的介绍。10ARCH模型在金融时间序列分析中的应用(2)EGARCH 模型值得注意的是，上述模型系数要求非负，但在1976年和1982年Black和Christie 就相继指出了股票市场上的“杠杆效应”，即当前的收益与未来的波动幅度负相 关，也就是说，“不仅与0T的大小有关,还与其符号正负有关。鉴于此,Nelson(1992)提出了指数GARCH模型(EGARCH模型)。EGARCH模型用来刻画不同性质的冲击 对预期收益的影响。波动性对收益率冲击的反应具有非对称效果，即负冲击所引 起的波动要大于同等程度的正冲击所引起的波动。7 0表示杠杆效应的存在。ln(4)=40+Z 0皿初/)+Z+Yi模型中条件方差采用了自然对数形式，意味着无论巧取任何实数，条件方差”总是大于零的，无需考虑条件方差的非负性。所以在对EGARCH模型作参数估计 时不需对0约束，从而减少很多计算量，这是EGARCH模型的一大优点。EGARCH模型的另一个重要特征是在条件方差”中引入/参数，使得干扰项与取正负值时有不同的变化，因此EGARCH模型可以很好的刻划金融市场中的不 对称性情况，比如在股票市场，若将利好消息看作对股价的正干扰，将利空消息 看作对股价的负干扰，若7 0时，那么一个负的干扰项(与 0)所引起的”的变化 比相同程度的正干扰(弓 0)所引起的”的变化将更剧烈。(3)TARCH 模型TARCH模型由Zakoian(1990)提出的，同样是刻画不同性质的冲击对预期收益 的影响。q P rht=k+E 见心+Z Pjht-j+S y&Jki=l j=l k-其中是一个虚拟变量，当时与 0时，4=1,否则/,=0。与 0和与 0对第二章ARCH模型的基础理论11q条件方差的作用不相同。当时30,其影响系数为力%,当00比与0，说明?0对波动的影响更 大。(4)GARCH-M 模型Engle、Lilien和Robins于 1987年提出了ARCH-M(ARCH-in-mean)模型。它把条 件方差引入均值方程中，描述风险溢价随时间变化，体现风险和收益的动态关系,它提供了一个估计和检验时变型风险补偿的新方法。ARCH-M模型是在普通回归方程等式右边增加一项”,模型表示为：yt=xt+Sht+t5称为风险系数，正值5说明收益率与它的过去的波动正相关。反映收益与 风险的正相关，5 1表示对市场风险要求较高的报酬，属于厌恶风险的投资者，51表示对市场风险要求较低的报酬，属于投机性强的投资者。12ARCH模型在金融时间序列分析中的应用第三章ARCH模型的建立13第三章ARCH模型的建立建立一个ARCH模型主要包括以下六个步骤：(1)检验ARCH模型的有效性(2)对收益率序列进行自相关性检验，再根据自相关系数和偏相关系数进行模型 识别，并建立均值方程(3)对均值方程的残差进行ARCH效应检验(4)进行ARCH模型的参数估计(5)模型的验证，判断模型是否合适(6)用模型进行短期的预测并分析结果(7)对模型进行评价3.1 ARCH模型的有效性验证通过已知模型来产生随机数，再通过随机数来估计模型的参数，比较已知模 型的参数和由随机数求得的参数，来进行ARCH模型的参数估计方法的有效性研 究。假设有ARCH模型：yt=0.01+与/-0.0001+0.90婷+0.05彳之对于该模型，我们模拟出1000个值来检验其有效性，模拟随机数的估计结果如下:表3.1 ARCH(2)模型参数估计的结果参数估计值标准误差T统计量C0.000248140.00011732.1154K0.000100972.9424e-00634.3144ARCH(l)0.913260.02576935.4406ARCH(2)0.0426780.00790645.397914ARCH模型在金融时间序列分析中的应用假设有GARCH(1,1)模型：K=与/=0.0001+0.9b：+0.05 I 11 41为了更全面的检验有效性：分别考虑残差服从正态分布和T分布两种情况:表3.2基于正态分布的GARCH(1,1)模型参数估计结果参数估计值标准误差T统计量C-0.000931050.0012828-0.7258K8.4946e-0054.8812e-0051.7403GARCH(l)0.89720.04280920.9581ARCH(l)0.0543050.0193372.8084表3.3基于T分布的GARCH(1,1)参数估计结果参数估计值标准误差T统计量C-0.000148810.00087962-0.1692K7.3121e-0053.8315e-0051.9084GARCH(l)0.906070.03768824.0410ARCH(l)0.0462260.0194712.3741DoF3.31650.410718.0750根据程序得到的数据，可知分析结果与预期相吻合，说明了ARCH模型以及 GARCH模型参数估计的有效性。3.2 模型识别与均值方程的建立(1)回归模型的建立与检验对于一般的一元线性回归模型或多元线性回归模型，可用最小二乘法估计其第三章ARCH模型的建立15参数。以下主要介绍有关线性回归模型的一些检验：已知有含k个解释变量的多元回归模型：%=0o+0kXkt+Ut,Q=1,2,7 变量的显著性检验（t检验）检验某一解释变量看是否对因变量y具有显著性影响，假设检验为：bH0:仇=O,H、:0产。8是尸的无偏估计，%=i T（T_kD，其中se（2）是2 阳2）的估计标准差，对于双边检验，若，%2（7-左-1，则拒绝原假设。拟合优度检验和斤统计量TSS=Z（K-9 2,ESS=yt-y Rss=yt-ytf筋=四=1_坐，斤值较大表明模型对因变量拟合的较好，因变量的真实值TSS TSS距离拟合值更近。方程显著性检验 考虑一个联合假设：“0：4=.=4=0,%：至少有一个不为0。可得：ESS/kRSS/(T-k-l)F(k,T-k-)可以理解为，如果y被解释变量解释的部分比未被解释的部分大，尸值大于 L随着这个比例增大，尸值也逐渐增大。因此，尸值越大，越有理由拒绝原假 设。更正式的说，要比较其与尸分布临界值，如果超过临界值，则拒绝原假设。D.W.统计量16ARCH模型在金融时间序列分析中的应用Durbin-Watson统计量(D.W.统计量)用来检验随机误差项是否存在一阶序列相关,即成盟M)WO的情形,计算如下:TDW.=-?=1T、人人”四T/=1_-TIXt=l)根据样本容量T和解释变量数k查。w.分布表，得到临界值4和Z，然后按照下面的准则考察计算得到的DW.值，判断模型的自相关状态。如果0DW.4 存在正自相关4DW.4不能确定 du DW.4-du无自相关4-4DW.4-4 不能确定4-4 DW.4 存在负自相关(2)时间序列模型的识别与建立对于一个p阶自回归过程AR(p)：%=。-一1+。2%一2+,+。/”+与，=1,2,7其阶数P往往是未知的，必须通过实际数据来决定。一般有两种决定P的方法:第一种方法是利用偏自相关函数(PACF),第二种方法是用某个信息准则函数。偏自相关函数方法将上式两边同时乘以ut_k,k=l,2,，p,再对方程两边取期望值并除以序列的方差得到如下关于系数落内，,0的线性方程组:第三章ARCH模型的建立17+加+勿小=?。环+。2+以丁2=4 期0.1+021+.+/=对于形如上式的p(p=1,2,，鼠.)阶方程组求解，每个方程组最后一个解就 是相应的偏自相关系数裔，内2,，或。即AR(p)模型的偏自相关系数是p阶截 尾的。所以可通过识别AR(p)模型的偏自相关系数的个数，来确定AR(p)模型的 阶数p。信息准则函数方法若同时有几个模型能较好的模拟数据，则需要用某个准则来挑选一个最好的 模型，这些准则称为信息准则函数。常用的信息准则有以下几个：_?Akaike信息准则(AIC)：其定义为：A/C=下1口(似然函数最大值)+亍(参数个数)，其中T为样本容量。对于高斯AR(m)模型，A/C简化为：2M7A/C(m)=ln(6-2)+,其中人是残差平方的最大似然估计，在实际应川中，事先给定一个正整数P,对m=l,2.,P,计算A/C(M，AIC值越小，意味着滞后阶数越适合，可选择使A/C 达最小值的k作为模型的最适阶数。式中第二项为惩罚函数，根据不同的惩罚函 数，可以到处不同的信息准贝I,例如:Schwarz信息准则(SC)：SC=ln(a2)+ln(T),Hannan-Quinn 信息准贝U(HQIC)：HQIC=ln(6-2)+4ln(ln(T)o3.3 模型的ARCH效应检验对一个经济计量模型的残差序列，如何检验是否存在ARCH效应至关重要，通 常采用Ljung-Box检验和Lagrange乘子检验。18ARCH模型在金融时间序列分析中的应用1.Ljung-Box 检验原假设4:px=p2=-=pm=Q,备选假设%Gl,2,-,m,p.。0检验统计量为：TZ（一元）元）P=1-,0Z(/j()26)/“(3-13)这里，mt和q的表示式由(3-9)和(3-11)给出。用以上两式对方和$作递推计算.首先用最小二乘法从回归模型=匕广+与 中得到广的估计值和估计残差，并将它们对应为迭代计算的初始值加和记，”1,2,.,7；其次计算出估计值必和“；最后将初始值代入(3-13)中的两个迭代公 式，即可得估计值，和3。不断重复上述过程，直到达到预先给定的收敛准则为 止。以迭代方法得到的估计值/和$是一致估计，在一定的准则条件下，有正态的 极限分布：(成 尸)(3-14)以上迭代方法的一个重要特点，是不需对未知参数用和5作联合估计，最大似 然估计力和$分别由(3-13)中的方程迭代计算得到，这样就简化了计算过程，但又 不降低估计的效率和精确度o这种对方和$作分别计算的方法并不是在任何情况下 都可行的。一般来说，由联合方法得到的力和$是最优的。只有在以下条件满足时,由(3-13)式分别迭代取得的估计值/和$才是等价最优的：不难证明，上述条件对ARCH(q)明白)模型成立。以上讨论基于假设与=也匕有独立的正态分布。事实上，当样本量T足够大时,24 ARCH模型在金融时间序列分析中的应用根据中心极限定理，以上的计算方法在作适当修改后仍能适合非正态分布的情况,只要这时矶匕I4心)=0;(匕242)=1成立。换言之，非正态分布的匕并不影响力=，,$极限分布的正态性，只是此 时的正态分布有不同的协方差矩阵：&(0-9)N(0,D.SD1)(3-16)若随机干扰匕服从正态分布时，矩阵D和S之间出现差异，这差异可用来修正估计值6和6的标准差，使得在样本有限时提高估计的精确度。3.5 GARCH模型的参数估计以下考虑GARCH回归模型：+G=他匕,匕N(0,l)Q PZ=1 Z=1的参数的最大似然估计。令Z/=1,-1，2t-2，.，St-q，4-1，.，4p 5=即,可将GARCH模型(3-17)的对数似然函数表示为：T 7 1 T 1 TL网口网,皿2)二21口(初-j Zt=i 2 4 t=i t=i(3-17)先对L(e)求关于s的一阶和二阶微分，得:第三章ARCH模型的建立2586d3fT=z?=1A 铝-1Jt 财1啜Ht=i与阳明 ht 83 ddf ht(3-18)甘|+.西/q、9 dht.其中：翕=*)+，噌(3-19)P与ARCH(q)模型的(3-5)式相比，上式中的(dht/d6)多了第二项Pii=l叽 d8同时注意到 Zt=i1 7 dh.TZ一%x.,Yt 86f 2 r 8d=0,因此GARCH回归模型(3-17)相应于参数5的信息矩阵=-，氏dddS1i毛匕t只需用i/db)就可得加 56 htd1T2金2 1 生-1d82L(0)到一致估计。再对，3)求关于，的一阶和二阶微分，得:2白.-2台那几、17af婷d2L(3)印印t=l L t=ldhtt=i明t=i )明，萨明az?q p其中：方-2”产一+%P j=i j=i8ht-jd(3p与ARCH(q)模型的(3-5)式相比，(明/明)中多了7=18ht j5/3这一项。p由于4对力和5的一阶偏导中包含了自 U归项7=18ht j5(3p 3匕和瑞，估计ARCH(q)模型的迭代公式不再适用。以下介绍的算法基于BHHH算法，细节请参阅Berndt,B.Hall,R.E.Hall and Hausman(1974)o以ei+1表示参数e=邛力在第i+1步迭代时的估计值，=in 3),t=i)+1可由下式:26ARCH模型在金融时间序列分析中的应用一 de dof）台 de计算。这里，后（力/沔）表示一阶微分在伞的值；4为第i步的搜索步长，在给定的方向向量下，它使似然函数册。）取极大值。方向向量可由一7维的单位向量L/y对后）/。6 =12,7 作回归而得。由于参数力和5的分离性，估计值和$川可由下列公式分别计算:十/于以）”立）,。置（力 明明J白明-，4 58 财 J占 55(3-20)由以上算法得到的迭代估计3=,科丫是一致估计。当Tf oo,力有正态极限分布：（彼e）/N（o,股一1）其中，R=-E 62ln/；/a66 0当GARCH过程与二血匕中的随机干扰项匕有非正态的分布时，迭代公式 3-20 也能适用，只要这时有4与1L=0,矶婷垢九）=1,E（：h；2Y_j工M t-分布(t Distribution)广义误差分布(Generalized Error Distribution,GED)的模型，我们将各种模型的最大似然函数值、AIC和BIC值分别计算如下：表4.6三种ARMA(0,0)+GARCH(1,1)模型的最大似然函数值，AIC值，BIC值模型最大似然函数值AICBIC正态分布-5990.9443.7247243.732275t分布-5856.1723.6416113.651050广义误差分布-5860.5343.6443203.653759表4.7基于正态分布的GARCH(IJ)模型的系数估计估计值标准误差t-值C0.0249450.0209321.1917K0.0541280.00734427.3702GARCH(l)0.88040.0069926125.9046ARCH(l)0.107850.007156915.0692表4.8基于T分布的GARCHQ)模型的系数估计估计值标准误差L值C0.0513840.0217792.3593K0.0522370.0127644.0926GARCH(l)0.885670.01266669.9226ARCH(l)0.104480.0131857.9239DoF4.87260.4362611.169036ARCH模型在金融时间序列分析中的应用所以最终估计模型为：%=0.024945+与et=b，q,qiidN(O,D5=0.054128+0.10785/+0.8804小 I 11 11其中参数满足0.10785+0.8804=0.98825 O U U _0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500图4.8经过模型处理后的标准抖动图可见上图中的标准抖动表现出了较弱的波动聚集性。ACF of the squared standardized innovatons8 6 4 2 0 6O.O.O.U o 4 p _ a u o o o l n 4 Q.U J B S.0 21 _0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Lag图4.9标准抖动平方的自相关从上图中可看出，标准抖动表现了很弱的相关性。38ARCH模型在金融时间序列分析中的应用对标准抖动进行的ARCH检验：表4.9 ARCH效应的检验结果滞后5阶滞后10阶滞后15阶卡方统计量值2.77125.68188.9768LM检验的P值0.73520.84130.8787假设检验H值000从上述结果可知，经过模型的处理后，残差的具有ARCH效应的概率很小，说明 模型的拟合较好。Innovations 100-100 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500Conditional Standard Deviations 5 a P J B P U BCOU O 4 B O U U-Lunocr00 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500Returns图4.10 GARCH（1,1 模型的结果图上图中，return为原收益率序列,Standard Deviation为标准偏差，Innovation为收 益率的残差。4.4模型的预测与评价第四章基于ARCH模型的的沪市波动性的实证研究39应用GARCH(1,1)模型对来预测2010-4-29至2010-5-5日四天的上证指数:预测结果如下：表4.10预测结果时间实际数据预测数据相对误差()预测方差2010-4-292868.432901.101.140.12332010-4-302870.612869.12-0.050.06772010-5-42835.282871.361.270.05822010-5-52857.152836.05-0.740.0573通过上表数据的比较可以看出，四个实际数据与预测数据相对比较吻合，其 中，5月4日的相对误差率最大为1.27%,出现在五一劳动节后的开盘第一天，这种 现象印证了股票市场存在非理性因素；止匕外，4月30日，5月5日的相对误差都很小。因此我们认为，本文建立人区乂人(0,0)-6人区(211(1,1)模型较好地模拟上证指数的时 间序列走势，短期预测的效果比较令人满意。上表中的预测方差很好的说明了波 动的聚集性规律。预测指标：表4.11预测指标模型MSE1MSE2MAE1MAE2QLIKER2LN正态分布6.156153.53731.90393.44821.8852-1.6170从以上指标可判断，预测精度较好。40ARCH模型在金融时间序列分析中的应用第五章总结41第五章总结5.1 本文总结本文首先介绍了金融波动性研究的背景与意义，然后重点介绍了ARCH模型，并简要介绍了以ARCH模型为基础的几种拓展模型，详细概括了ARCH模型建立的 方法与步骤，其中对参数估计环节做了详细的公式推导与算法介绍，参数估计采 用的极大似然法。在已有模型的基础上，通过实际数据（上证指数3220个数据）进行了ARCH模 型的实证研究，其中有对均值期望进行ARMA建模，检验ARCH效应，对模型定价 和进行模型统计诊断，以上的GARCH模型系数估计结果借助的是经典的极大似然 估计方法。在实证研究中，应川了模型进行预测，其预测结果较理想，间接说明 了ARCH模型的实用性，同时从实证结果中可分析得，我国上海股票市场的日收益 率的存在十分明显的波动聚集性，冲击对股市的影响会持续一段时间才消失，且 在不同的时段持续时间的长度也不一样。而且我国股市较容易受到宏观政策、国 际局势等因素的影响，股市投机也较浓厚。从整个过程的波动来看，我国股市当 前还不太完善和成熟，监管力度不够，仍需要进一步的发展。本文中对上海股市 只做了一个较浅显的实证研究，其中有很多不足之处。5.2 不足与创新之处不足之处：1.文章没有十分全面的介绍ARCH的一些拓展模型，只做了简要概述，在实证研究时，没有用较多的拓展模型进行比较，导致不能对研究对象有更清楚 地认识。2.模型的参数估计采川的极大似然估计法，由于方法的一些局限性，可能估计的参数不是十分准确。3.文中建模采取误差服从正态分布的情况，其实大多数情况误差不服从正态42ARCH模型在金融时间序列分析中的应用分布。4.本文的建模基本上是使用MATLAB软件完成，有些步骤是直接调用 MATLAB自带的函数。创新之处：1.将ARCH模型应用到了中国股市的波动研究中2.给出了ARCH模型的参数估计和模型检验的详细步骤，为研究金融时间序列数据的波动性等实际问题提供了参考依据。5.3展望与后续工作1、本文仅讨论了极大似然方法在GARCH模型参数估计中的问题，而当前有一些 更好的方法如MCMC(马尔可夫链蒙特卡罗方法)，贝叶斯参数估计法等可供使用。2、本文仅讨论了运用GARCH模型来刻画股市波动率，而未涉及随机波动模型(SV),在今后将对GARCH和SV这两类模型进行比较研究。3、本文未涉及非线性方法，如门限时间序列(threshold time series)等方法，这些方 法可以从一定意义上描述外来冲击对数据序列数据的影响。我们下一步将对以上 拓展进行研究。4、本文仅对上证指数进行了实证研究，不能说明模型的广泛用途，后续将会把模 型应用到更多的领域。44ARCH模型在金融时间序列分析中的应用参考文献45参考文献1 Engel,R.F.,1 982,Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation J,Econometrica,5，987-10072 Bollerslev,T.,1 986,Generalized Autoregressive Conditional HeteroskedasticityJ,Journal of Econometrics,31,307-3273 Prasad A.NAIK,Peide SHI,and Chih-Ling TSAI,Extending the Akaike Information Criterion to Mixture Regression Models,Journal of the American Statistical Association,March 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