2015年辽宁省锦州市中考数学试题（解析）.doc

2015年辽宁省锦州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2015•锦州）2015的相反数是（　　）[来源:学科网]
A． 2015 B． ﹣2015 C． D． ﹣[来源:学科网]
【答案】B.
【解析】
试题分析：只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义可得2015的相反数是﹣2015．故答案选B.
考点：相反数的定义.
2．（3分）（2015•锦州）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A． 明天我市下雨
B． 抛一枚硬币，正面朝下
C． 购买一张福利彩票中奖了
D． 掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零
【答案】D.
考点：必然事件和随机事件的定义.
3．（3分）（2015•锦州）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（　　）

【答案】A.
【解析】
试题分析：几何体的左视图是从几何体的左侧面看所得到的图形，从左面看，这个几何体有两层，底层有两个小正方形，第二层靠左边有一个小正方形．故答案选A.
考点：几何体的三视图.
4．（3分）（2015•锦州）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D.
考点：最简二次根式．
5．（3分）（2015•锦州）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（　　）

【答案】C.
考点：二次函数和一次函数的图象及性质.
6．（3分）（2015•锦州）如图，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）

【答案】B.
【解析】
试题分析：解不等式①得，x＞﹣2；解不等式②得，x≤2，所以不等式组的解集为：﹣2＜x≤2．不等式组的解集在数轴上表示为，故答案选B.
考点：一元一次不等式组的解；在法数轴上表示不等式的解集．
7．（3分）（2015•锦州）一元二次方程x2﹣2x+1=0的根的情况为（　　）
A． 有两个相等的实数根 B． 有两个不相等的实数根
C． 只有一个实数根 D． 没有实数根
【答案】A.
考点： 一元二次方程根的判别式．
8．（3分）（2015•锦州）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（　　）
A．（2，2），（3，2） B．（2，4），（3，1） C．（2，2），（3，1） D．（3，1），（2，2）

【答案】C.
考点：平面直角坐标系中的位似变换.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2015•锦州）已知地球上海洋面积约为316000000km2，316000000这个数用科学记数法可表示为　　　　　　．
【答案】3.16×108．
【解析】
试题分析:用科学记数法表示较大的数的形式为a×10n，其中1≤a＜10，n为整数且n的值为这个数的整数位数减1，这里a=3.16，n=8，所以316000000=3.16×108．
考点：科学记数法.
10．（3分）（2015•锦州）数据4，7，7，8，9的众数是　　　　　　．
【答案】7.
考点：众数.
11．（3分）（2015•锦州）如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，∠2=　　　　　　．

【答案】100°.
考点：平行线的性质；三角形外角的性质.
12．（3分）（2015•锦州）分解因式：m2n﹣2mn+n=　　　　　　．
【答案】n（m﹣1）2．
【解析】
试题分析：先提取公因式n后，再利用完全平方公式分解即可，即m2n﹣2mn+n=n（m2﹣2m+1）=n（m﹣1）2．
考点：因式分解.
13．（3分）（2015•锦州）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为　　　　　　（精确到0.1）．
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
251
投中频率（m/n）
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50

[来源:学科网]

【答案】0.5．
考点：用频率估计概率．
14．（3分）（2015•锦州）如图，点A在双曲线y=上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积是2，则k的值是　　　　　　．

【答案】-4.
考点：反比例函数系数k的几何意义．
15．（3分）（2015•锦州）制作某种机器零件，小明做220个零件与小芳做180个零件所用的时间相同，已知小明每小时比小芳多做20个零件．设小芳每小时做x个零件，则可列方程为　　　　　　．
【答案】．
【解析】
试题分析： 设小芳每小时做x个零件，则小明每小时做（x+20）个零件，根据题目中的等量关系“小明做220个零件用的时间=小芳做180个零件所用的时间”，可列方程．
考点：分式方程的应用.
16．（3分）（2015•锦州）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（27，9），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则第4个正方形的边长是　　　　　　，S3的值为　　　　　　．

【答案】，.
考点：规律探究题.
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）（2015•锦州）先化简，再求值：（1+）÷，其中：x=3﹣3．
【答案】原式=x+1，当x=3﹣3时，原式=3﹣2．
【解析】[来源:学_科_网Z_X_X_K]
试题分析：根据分式的运算法则先进行化简后再代入求值即可.

考点：分式的化简求值．权所有
18．（8分）（2015•锦州）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点是A（﹣5，1），B（﹣2，3），线段CD的两个端点是C（﹣5，﹣1），D（﹣2，﹣3）．
（1）线段AB与线段CD关于直线对称，则对称轴是　　　　　　；
（2）平移线段AB得到线段A1B1，若点A的对应点A1的坐标为（1，2），画出平移后的线段A1B1，并写出点B1的坐标为　　　　　　．

【答案】(1)x轴；(2)图见解析，B1（4，4）．
（2）∵A（﹣5，1），A1（1，2），
∴相当于把A点先向右平移6个单位，再向上平移1个单位，
∵B（﹣2，3），
∴平移后得到B1的坐标为（4，4），
线段A1B1如图所示，

考点：平移的规律；关于x轴对称点的坐标的特征.
四、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）（2015•锦州）2015年5月，某校组织了以“德润书香”为主题的电子小报制作比赛，评分结果只有60，70，80，90，100五种，现从中随机抽取部分作品，对其份数和成绩进行整理，制成如下两幅不完整的统计图：

根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本次抽取了多少份作品，并补全两幅统计图；
（2）已知该校收到参赛作品共900份，比赛成绩达到90分以上（含90分）的为优秀作品，据此估计该校参赛作品中，优秀作品有多少份？
【答案】（1）120份，补全统计图见解析；（2）360.[来源:Z#xx#k.Com]
【解析】
试题分析：（1）根据70分的作品数除以70分的作品数所占的百分比，即可得出抽取的总份数，再计算出得80分的作品数，补全统计图即可；

考点：条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体．
20．（10分）（2015•锦州）育才中学计划召开“诚信在我心中”主题教育活动，需要选拔活动主持人，经过全校学生投票推荐，有2名男生和1名女生被推荐为候选主持人．
（1）小明认为，如果从3名候选主持人中随机选拔1名主持人，不是男生就是女生，因此选出的主持人是男生和女生的可能性相同，你同意他的说法吗？为什么？
（2）如果从3名候选主持人中随机选拔2名主持人，请通过列表或树状图求选拔出的2名主持人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）不同意，理由见解析；（2）P（恰好是1名男生和1名女生）=．
主持人是女生的概率=；
（2）画出树状图如下：

一共有6种情况，恰好是1名男生和1名女生的有4种情况，
所以，P（恰好是1名男生和1名女生）==．
考点：概率的意义；用列表法或树状图法求概率.
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
21．（10分）（2015•锦州）如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF=AB，连接EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明．

【答案】四边形ADEF是平行四边形，证明过程见解析.
考点：三角形中位线定理 ；平行四边形的判定．
22．（10分）（2015•锦州）如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）

【答案】20海里．

考点：解直角三角形的应用.
六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
23．（10分）（2015•锦州）如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．
（1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线；
（2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径．

【答案】(1)详见解析；（2）⊙O的直径为9．
（2）解：∵∠CFA=∠DFE，∠FED=∠A，
∴△FED∽△FAC，
∴，
∴，
解得：AC=9，即⊙O的直径为9．
考点： 圆内接四边形对角互补；切线的判定；相似三角形的判定及性质.
24．（10分）（2015•锦州）开学初，小明到文具批发部一次性购买某种笔记本，该文具批发部规定：这种笔记本售价y（元/本）与购买数量x（本）之间的函数关系如图所示．
（1）图中线段AB所表示的实际意义是　　　　　　；
（2）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（3）已知该文具批发部这种笔记本的进价是3元/本，若小明购买此种笔记本超过10本但不超过20本，那么小明购买多少本时，该文具批发部在这次买卖中所获的利润W（元）最大？最大利润是多少？

【答案】（1）购买不超过10本此种笔记本时售价为5元/本．（2）①当0＜x≤10时，y=5；②当10＜x≤20时，y=﹣0.1x+6；③当20＜x时，y=4．（3）当小明购买15本时，该文具批发部在这次买卖中所获的利润最大，最大利润是22.5元．
所以y与x之间的函数关系式y=﹣0.1x+6．
③当x＞20时，y与x之间的函数关系式为：y=4．
（3）W=（﹣0.1x+6﹣3）x=﹣0.1×（x﹣15）2+22.5．[来源:学科网]
答：当小明购买15本时，该文具批发部在这次买卖中所获的利润最大，最大利润是22.5元．
考点： 一次函数的应用； 二次函数的应用．版权所有
七、解答题（本题12分）
25．（12分）（2015•锦州）如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．
（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是　　　　　　；
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．

【答案】（1）DE+DF=AD；（2）详见解析；（3）①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，②当点E落在AD的延长线上时，DE+DF逐渐增大，当点F与点C重合时DE+DF最大，即AD＜DE+DF≤AD．
试题解析：解：（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，
∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，
∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，
∴∠APE=∠DPF，
在△APE和△DPF中

∴△APE≌△DPF（ASA），
∴AE=DF，
∴DE+DF=AD；
（2）如图②，取AD的中点M，连接PM，

∵四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形，
∴BD=AD，∠DAP=30°，∠ADP=∠CDP=60°，
∴△MDP是等边三角形，
∴PM=PD，∠PME=∠PDF=60°，
∵∠PAM=30°，
∴∠MPD=60°，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△FPD中，

∴△MPE≌△FPD（ASA）
∴ME=DF，
∴DE+DF=AD；
（3）如图，

在整个运动变化过程中，
①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，
②当点E落在AD的延长线上时，DE+DF逐渐增大，当点F与点C重合时DE+DF最大，
即AD＜DE+DF≤AD．
考点： 四边形综合题．
八、解答题（本题14分）
26．（14分）（2015•锦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），且与y轴交于点C，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；
（3）当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．

【答案】（1）y=﹣0.5x2+1.5x+2；（2）可得点P的坐标是（，3）或（，3）；（3）线段EG的最小值是．
【解析】
试题分析：（1）已知抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），用待定系数法，求出该抛物线的解析式即可．
（2）已知△PDB的面积等于△CAD的面积，根据已知条件求出△CAD的面积，即可求出△PDB的面积，然后根据点D、点B的坐标求出BD的长，即可求出△PDB边BD上的高，也就是点P的纵坐标，分两种情况，点P在x轴的上方，‚点P在x轴的下方，再把它分别代入抛物线的解析式，求出x的值，即可判断出点P的坐标．
（3）已知点B、点C的坐标，用待定系数法，求出直线BC的解析式；然后根据点P的坐标是（m，n），PF∥x轴，且点F在直线BC上，求出点F的坐标，再由勾股定理得出EG2与n之间的二次函数关系，利用二次函数的性质求得EG2的最小值，即可得线段EG的最小值．

①当n=3时，
0.5m2+1.5m+2=3，
解得m=或m=，
∴点P的坐标是（，3）或（，3）．
②当n=﹣3时，
0.5m2+1.5m+2=﹣3，
整理，可得
m2+3m+10=0，
∵△=32﹣4×1×10=﹣31＜0，
∴方程无解．
综上，可得点P的坐标是（，3）或（，3）．
（3）如图1，，
设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，[来源:学科网ZXXK]
∵点C的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），
∴
解得
∴BC所在的直线的解析式是：y=﹣0.5x+2，
∵点P的坐标是（m，n），
∴点F的坐标是（4-2n，n），
∴EG2=（4-2n）2+n2=5n2﹣16n+16=5+，
∵n＞0，
∴n=时，线段EG2的最小值是，
即线段EG的最小值是．
考点：二次函数综合题．版权所有