2011年海南省高考数学试题及答案（文科）.doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试
（新课标）文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M，则P的子集共有
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
2．复数
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是
A． B． C． D．
4．椭圆的离心率为
A． B． C． D．
5．执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是
A．120 B．720 C． 1440 D．5040
6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A． B． C． D．
7．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则=
A． B． C． D．
8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧
视图可以为
A． B． C． D．
9．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则的面积为
A．18 B．24 C． 36 D． 48
10．在下列区间中，函数的零点所在的区间为
A． B． C． D．
11．设函数，则
A．在单调递增，其图象关于直线对称
B．在单调递增，其图象关于直线对称
C．在单调递减，其图象关于直线对称
D．在单调递减，其图象关于直线对称
12．已知函数的周期为2，当时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有
A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=_____________．
14．若变量x，y满足约束条件，则的最小值是_________．
15．中，，则的面积为_________．
16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知等比数列中，，公比．
（I）为的前n项和，证明：
（II）设，求数列的通项公式．

18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．
（I）证明：；
（II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．

19．（本小题满分12分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
4
12
42
32
10
（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为

估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．

20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．
（I）求圆C的方程；
（II）若圆C与直线交于A，B两点，且求a的值．

21．（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（I）求a，b的值；
（II）证明：当x>0，且时，．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D，E分别为的边AB，AC上的点，且不与的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程的两个根．
（I）证明：C，B，D，E四点共圆；
（II）若，且求C，B，D，E所在圆的半径．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．
（I）求的方程；
（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数，其中．
（I）当a=1时，求不等式的解集．
（II）若不等式的解集为｛x|，求a的值．
参考答案
一、选择题
（1）B （2）C （3）B （4）D （5）B （6）A
（7）B （8）D （9）C （10）C （11）D （12）A
二、填空题
（13）1 （14）-6 （15） （16）
1．解析：本题考查交集和子集概念，属于容易题。显然P=，子集数为22=4
故选B
2．解析：本题考查复数的运算，属容易题。
解法一：直接法，故选C
解法二：验证法 验证每个选项与1-2i的积，正好等于5i的便是答案。
3．解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题
可以直接判断：A是奇函数，B是偶函数，又是的增函数，故选B。
4．解析;本题考查椭圆离心率的概念，属于容易题，直接求e=,故选D。也可以用公式故选D。
5.解析：本题考查程序框图，属于容易题。
可设,
则

输出720.故选B
6.解析：本题考查古典概型，属于容易题。设三个兴趣小组分别为A,B,C.
他们参加情况共一下9种情况，其中参加同一小组情况共3中，故概率为故选A。
7.解析：本题考查三角公式，属于容易题。
易知tan=2，cos=.由cos2=2-1= 故选B
8.解析：本题考查三视图的知识，同时考察空间想象能力。属于难题。
由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥，后面是一个圆锥，由此可选D
9.解析：本题考查抛物线的方程，属于中等题。
易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C。
10.解析：本题考查零点存在定理，属于中等题。只需验证端点值，凡端点值异号就是答案。故选C。
11. 解析：本题考查三角函数的性质。属于中等题。
解法一：f(x)=sin(2x+)=cos2x.所以f(x) 在（0，）单调递减，其图像关于直线x = 对称。故选D。
解法二：直接验证 由选项知（0，）不是递增就是递减，而端点值又有意义，故只需验证端点值，知递减，显然x = 不会是对称轴故选D。

12.解析：本题考查函数的图象和性质，属于难题。
本题可用图像法解。易知共10个交点

13. 解析：本题考查向量的基本运算和性质，属于容易题。
解法一：直接法 (a+b)(ka-b)=0展开易得k=1.
解法二：凭经验 k=1时a+b, a-b数量积为0，易知k=1.
14.解析：本题考查线性规划的基本知识，属于容易题。只需画出线性区域即可。
易得z=x+2y的最小值为-6。
15.解析：本题考查余弦定理和面积公式，属于容易题。
有余弦定理得
所以BC=3，有面积公式得S=
16.解析：本题考查球内接圆锥问题，属于较难的题目。
由圆锥底面面积是这个球面面积的
得 所以，则小圆锥的高为大圆锥的高为，所以比值为
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ）因为

所以
（Ⅱ）

所以的通项公式为
(18)解：
（Ⅰ）因为， 由余弦定理得
从而BD2+AD2= AB2，故BDAD
又PD底面ABCD，可得BDPD
所以BD平面PAD. 故 PABD
（Ⅱ）如图，作DEPB，垂足为E。已知PD底面ABCD，则PDBC。由（Ⅰ）知BDAD，又BC//AD，所以BCBD。
故BC平面PBD，BCDE。
则DE平面PBC。
由题设知，PD=1，则BD=，PB=2，
根据BE·PB=PD·BD，得DE=，
即棱锥D—PBC的高为
（19）解
（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.
用B配方生产的产品平均一件的利润为
（元）
(20）解：
（Ⅰ）曲线与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（
故可设C的圆心为（3，t），则有解得t=1.
则圆C的半径为
所以圆C的方程为
（Ⅱ）设A（），B（），其坐标满足方程组：

消去y，得到方程

由已知可得，判别式
因此，从而
①
由于OA⊥OB，可得
又所以
②
由①，②得，满足故
（21）解：
（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

考虑函数，则

所以当时，故
当时，
当时，
从而当
（22）解：
（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
AD×AB=mn=AE×AC，
即.又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
所以C，B，D，E四点共圆。
（Ⅱ）m=4， n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12.
故 AD=2，AB=12.
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=900，故GH∥AB， HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5
（23）解：
（I）设P(x，y)，则由条件知M().由于M点在C1上，所以
即
从而的参数方程为
（为参数）
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为。
所以.
（24）解：
（Ⅰ）当时，可化为
。
由此可得 或。
故不等式的解集为
或。
(Ⅱ) 由 得

此不等式化为不等式组
或 即

因为，所以不等式组的解集为，由题设可得= ，故.