离散数学高等教育出版社配套屈婉玲耿市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

主要内容主要内容集合基本概念集合基本概念 属于、包括属于、包括 幂集、空集幂集、空集 文氏图等文氏图等集合基本运算集合基本运算 并、交、补、差等并、交、补、差等集合恒等式集合恒等式 集合运算算律、恒等式证实办法集合运算算律、恒等式证实办法 第二部分第二部分 集合论集合论第六章第六章 集合代数集合代数1第1页第1页6.1 集合基本概念集合基本概念1.集合定义集合定义 集合没有准确数学定义集合没有准确数学定义 理解：由离散个体构成整体称为理解：由离散个体构成整体称为集合集合，称这些个体为集，称这些个体为集 合合元素元素 常见数集：常见数集：N,Z,Q,R,C 等分别表示自然数、整数、有等分别表示自然数、整数、有 理数、实数、复数集合理数、实数、复数集合2.集合表示法集合表示法 枚举法枚举法-通过列出全体元素来表示集合通过列出全体元素来表示集合 谓词表示法谓词表示法-通过谓词概括集合元素性质通过谓词概括集合元素性质 实例：实例：枚举法枚举法 自然数集合自然数集合 N=0,1,2,3,谓词法谓词法 S=x|x是实数，是实数，x2 1=0 2第2页第2页元素与集合元素与集合1.集合元素含有性质集合元素含有性质 无序性：元素列出顺序无关无序性：元素列出顺序无关 相异性：集合每个元素只计相异性：集合每个元素只计 数一次数一次 拟定性：对任何元素和集合都拟定性：对任何元素和集合都 能拟定这个元素是否能拟定这个元素是否 为该集合元素为该集合元素 任意性：集合元素也能够是任意性：集合元素也能够是 集合集合2元素与集合关系元素与集合关系 从属关系：从属关系：或者或者 3集合树型层次结构集合树型层次结构d A,a A3第3页第3页集合与集合集合与集合集合与集合之间关系：集合与集合之间关系：,=,定义定义6.1 A B x(x A x B)定义定义6.2 A=B A B B A定义定义6.3 A B A B A B A B x(x A x B)思考：思考：和和 定义定义 注意注意 和和 是不同层次问题是不同层次问题4第4页第4页空集、全集和幂集空集、全集和幂集1定义定义6.4 空集空集 ：不含有任何元素集合：不含有任何元素集合 实例：实例：x|x R x2+1=0 定理定理6.1 空集是任何集合子集。空集是任何集合子集。证证 对于任意集合对于任意集合A，A x(xx A)T(恒真命题恒真命题)推论推论 是惟一是惟一3.定义定义6.6 全集全集 E：包括了所有集合集合：包括了所有集合集合 全集含有相对性：与问题相关，不存在绝正确全集全集含有相对性：与问题相关，不存在绝正确全集2.定义定义6.5 幂集幂集：P(A)=x|x A 实例：实例：P()=,P()=,计数：假如计数：假如|A|=n，则，则|P(A)|=2n.5第5页第5页6.2 集合运算集合运算初级运算初级运算集合基本运算有集合基本运算有定义定义6.7 并并 A B=x|x A x B 交交 A B=x|x A x B 相对补相对补 A B=x|x A x B定义定义6.8 对称差对称差 A B=(A B)(B A)定义定义6.9 绝对补绝对补 A=E A 6第6页第6页文氏图文氏图集合运算表示集合运算表示ABABABABABA BA BABA BA7第7页第7页几点阐明几点阐明并和交运算能够推广到有穷个集合上，即并和交运算能够推广到有穷个集合上，即A1 A2 An=x|x A1 x A2 x An A1 A2 An=x|x A1 x A2 x An A B A B=A B=A B=A8第8页第8页广义运算广义运算1.集合广义并与广义交集合广义并与广义交 定义定义6.10 广义并广义并 A=x|z(z A x z)广义交广义交 A=x|z(z A x z)实例实例 1,1,2,1,2,3=1,2,3 1,1,2,1,2,3=1 a=a，a=a a=a，a=a9第9页第9页关于广义运算阐明关于广义运算阐明2.广义运算性质广义运算性质 (1)=，无意义无意义 (2)单元集单元集x广义并和广义交都等于广义并和广义交都等于x (3)广义运算减少集合层次（括弧减少一层）广义运算减少集合层次（括弧减少一层）(4)广义运算计算：普通情况下能够转变成初级运算广义运算计算：普通情况下能够转变成初级运算 A1,A2,An=A1 A2 An A1,A2,An=A1 A2 An 3.引入广义运算意义引入广义运算意义 能够表示无数个集合并、交运算，比如能够表示无数个集合并、交运算，比如 x|x R=R 这里这里 R 代表实数集合代表实数集合.10第10页第10页运算优先权要求运算优先权要求1 类运算：初级运算类运算：初级运算,，优先顺序由括号拟定优先顺序由括号拟定2 类运算：广义运算和类运算：广义运算和 运算，运算，运算由右向左进行运算由右向左进行混合运算：混合运算：2 类运算优先于类运算优先于1 类运算类运算例例1 A=a,a,b，计算，计算A(AA).解：解：A(AA)=a,b(a,ba)=(a b)(a b)a)=(a b)(b a)=b11第11页第11页有穷集合元素计数有穷集合元素计数1.文氏图法文氏图法2.包括排斥原理包括排斥原理定理定理6.2 设集合设集合S上定义了上定义了n条性质，其中含有第条性质，其中含有第 i 条性质条性质元素构成子集元素构成子集Ai,那么集合中不含有任何性质元素数为那么集合中不含有任何性质元素数为 推推论论 S中至少含有一条性中至少含有一条性质质元素数元素数为为12第12页第12页实例实例例例2 求求1到到1000之间（包括之间（包括1和和1000在内）既不能被在内）既不能被5和和6整整除，也不能被除，也不能被8整除数有多少个？整除数有多少个？解解 办法一：文氏图办法一：文氏图 定义下列集合：定义下列集合：S=x|x Z 1 x 1000 A=x|x S x可被可被5整除整除 B=x|x S x可被可被6整除整除 C=x|x S x可被可被8整除整除 画出文氏图，然后填入相应数画出文氏图，然后填入相应数字，解得字，解得 N=1000(200+100+33+67)=60013第13页第13页实例实例办法二办法二|S|=1000|A|=1000/5=200,|B|=1000/6=166,|C|=1000/8=125|A B|=1000/lcm(5,6)=1000/33 =33|A C|=1000/lcm(5,8)=1000/40 =25|B C|=1000/lcm(6,8)=1000/24 =41|A B C|=1000/lcm(5,6,8)=1000/120 =8 =1000(200+166+125)+(33+25+41)8=600 14第14页第14页6.3 集合恒等式集合恒等式集合算律集合算律1只涉及一个运算算律：只涉及一个运算算律：互换律互换律、结合律结合律、幂等律幂等律 互换互换A B=B AA B=B AA B=B A结合结合(A B)C=A(B C)(A B)C=A(B C)(A B)C=A(B C)幂等幂等A A=AA A=A15第15页第15页集合算律集合算律 2包括两个不同运算算律：包括两个不同运算算律：分派律、吸取律分派律、吸取律 与与 与与 分派分派A(B C)=(A B)(A C)A(B C)=(A B)(A C)A(B C)=(A B)(A C)吸取吸取A(A B)=AA(A B)=A16第16页第16页集合算律集合算律3涉及补运算算律：涉及补运算算律：DM律律，双重否认律双重否认律 D.M律律A(B C)=(A B)(A C)A(B C)=(A B)(A C)(B C)=BC(B C)=BC双重否认双重否认A=A17第17页第17页集合算律集合算律4涉及全集和空集算律：涉及全集和空集算律：补元律补元律、零律零律、同一律同一律、否认律否认律E补元律补元律AA=AA=E零律零律A=A E=E同一律同一律A=AA E=A否认否认=E E=18第18页第18页集合证实题集合证实题证实办法：命题演算法、等式置换法证实办法：命题演算法、等式置换法命题演算证实法书写规范命题演算证实法书写规范(下列下列X和和Y代表集合公式代表集合公式)(1)证证X Y 任取任取x，x X x Y(2)证证X=Y 办法一办法一 分别证实分别证实 X Y 和和 Y X 办法二办法二 任取任取x，x X x Y注意：在使用办法二格式时，必须确保每步推理都是充注意：在使用办法二格式时，必须确保每步推理都是充分必要分必要19第19页第19页集合等式证实集合等式证实办法一：命题演算法办法一：命题演算法例例3 证实证实A(A B)=A（吸取律）（吸取律）证证 任取任取x,x A(A B)x A x A B x A(x A x B)x A 因此得因此得 A(A B)=A.例例4 证实证实 A B=AB证证 任取任取x,x A B x A x B x A xB x AB 因此得因此得 A B=AB20第20页第20页等式代入法等式代入法办法二：等式置换法办法二：等式置换法例例5 假设互换律、分派律、同一律、零律已经成立，证实吸假设互换律、分派律、同一律、零律已经成立，证实吸 收律收律.证证 A(A B)=(A E)(A B)（同一律）（同一律）=A(E B)（分派律）（分派律）=A(B E)（互换律）（互换律）=A E （零律）（零律）=A （同一律）（同一律）21第21页第21页包括等价条件证实包括等价条件证实例例6 证实证实A B AB=B A B=A A B=证实思绪：证实思绪：拟定问题中含有命题：本题含有命题拟定问题中含有命题：本题含有命题,拟定命题间关系（哪些命题是已知条件、哪些命题是要证拟定命题间关系（哪些命题是已知条件、哪些命题是要证实结论）：本题中每个命题都能够作为已知条件，每个命实结论）：本题中每个命题都能够作为已知条件，每个命题都是要证实结论题都是要证实结论拟定证实顺序：拟定证实顺序：，按照顺序依次完毕每个证实（证实集合相等或者包括）按照顺序依次完毕每个证实（证实集合相等或者包括）22第22页第22页证实证实证实证实A B A B=B A B=A A B=证证 显然显然B A B，下面证实，下面证实A B B.任取任取x，x A B x A x B x B x B x B 因此有因此有A B B.综合上述综合上述得证得证.A=A(A B)A=A B(由由知知A B=B，将，将A B用用B代入代入)23第23页第23页假设假设A B,即即 x A B，那么知道，那么知道x A且且x B.而而 x B x A B 从而与从而与A B=A矛盾矛盾.假设假设A B不成立，那么不成立，那么 x(x A x B)x A B A B与条件与条件矛盾矛盾.证实证实24第24页第24页第六章第六章 习题课习题课主要内容主要内容集合两种表示法集合两种表示法集合与元素之间从属关系、集合之间包括关系区别与联集合与元素之间从属关系、集合之间包括关系区别与联系系特殊集合：空集、全集、幂集特殊集合：空集、全集、幂集文氏图及有穷集合计数文氏图及有穷集合计数集合集合,等运算以及广义等运算以及广义,运算运算集合运算算律及其应用集合运算算律及其应用25第25页第25页基本要求基本要求纯熟掌握集合两种表示法纯熟掌握集合两种表示法能够判别元素是否属于给定集合能够判别元素是否属于给定集合能够判别两个集合之间是否存在包括、相等、真包括等关能够判别两个集合之间是否存在包括、相等、真包括等关系系纯熟掌握集合基本运算（普通运算和广义运算）纯熟掌握集合基本运算（普通运算和广义运算）掌握证实集合等式或者包括关系基本办法掌握证实集合等式或者包括关系基本办法26第26页第26页练习练习1 1判断下列命题是否为真判断下列命题是否为真(1)(2)(3)(4)(5)a,b a,b,c,a,b,c(6)a,b a,b,c,a,b(7)a,b a,b,a,b (8)a,b a,b,a,b 解解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假为真，其余为假.27第27页第27页办法分析办法分析(1)判断元素判断元素a与集合与集合A从属关系是否成立基本办法：从属关系是否成立基本办法：把把 a 作为整体检查它在作为整体检查它在A中是否出现，注意这里中是否出现，注意这里 a 可可 能是集合表示式能是集合表示式.(2)判断判断A B四种办法四种办法若若A,B是用枚举方式定义，依次检查是用枚举方式定义，依次检查A每个元素是否在每个元素是否在B中中出现出现.若若A,B是谓词法定义，且是谓词法定义，且A,B中元素性质分别为中元素性质分别为P和和Q,那那么么“若若P则则Q”意味意味 A B，“P当且仅当当且仅当Q”意味意味=通过集合运算判断通过集合运算判断A B，即，即A B=B,A B=A,A B=三个等式中有一个为真三个等式中有一个为真.通过文氏图判断集合包括（注意这里是判断，而不是证实通过文氏图判断集合包括（注意这里是判断，而不是证实28第28页第28页练习练习22设设 S1=1,2,8,9，S2=2,4,6,8 S3=1,3,5,7,9 S4=3,4,5 S5=3,5 拟定在下列条件下拟定在下列条件下X是否与是否与S1,S5中某个集合相等？假中某个集合相等？假如是，又与哪个集合相等？如是，又与哪个集合相等？（1）若）若 X S5=（2）若）若 X S4但但 X S2=（3）若）若 X S1且且 X S3 （4）若）若 X S3=（5）若）若 X S3 且且 X S129第29页第29页解答解答解解(1)和和S5不交子集不含有不交子集不含有3和和5，因此，因此 X=S2.(2)S4子集只能是子集只能是S4和和S5.由于与由于与S2不交，不能含有偶数，不交，不能含有偶数，因此因此 X=S5.(3)S1,S2,S3,S4和和S5都是都是S1子集，不包括在子集，不包括在S3子集含有子集含有 偶数，因此偶数，因此 X=S1,S2或或S4.(4)X S3=意味着意味着 X是是S3子集，因此子集，因此 X=S3或或 S5.(5)由于由于S3是是S1子集，因此这样子集，因此这样X不存在不存在.30第30页第30页练习练习33.判断下列命题真假，并阐明理由判断下列命题真假，并阐明理由.（1）A B=A B=（2）A(B C)=(A B)(A C)（3）A A=A （4）假如）假如A B=B，则，则A=E.（5）A=x x，则，则 x A且且x A.31第31页第31页解题思绪解题思绪先将等式化简或恒等变形先将等式化简或恒等变形.查找集合运算相关算律，假如与算律相符，结果为真查找集合运算相关算律，假如与算律相符，结果为真.注意下列两个主要充要条件注意下列两个主要充要条件 A B=A A B=A B=A B A B=B A B=A 假如与条件相符，则命题为真假如与条件相符，则命题为真.假如不符合算律，也不符合上述条件，能够用文氏图表示假如不符合算律，也不符合上述条件，能够用文氏图表示集合，看看命题是否成立集合，看看命题是否成立.假如成立，再给出证实假如成立，再给出证实.试着举出反例，证实命题为假试着举出反例，证实命题为假.32第32页第32页解答解答解解(1)B=是是A B=A充足条件，但不是必要条件充足条件，但不是必要条件.当当B不空但不空但 是与是与A不交时也有不交时也有A B=A.(2)这是这是DM律，命题为真律，命题为真.(3)不符合算律，反比如下：不符合算律，反比如下：A=1，A A=，但是，但是A.(4)命题不为真命题不为真.A B=B充足必要条件是充足必要条件是 B A，不是，不是A=E.(5)命题为真，由于命题为真，由于 x 既是既是 A 元素，也是元素，也是 A 子集子集 33第33页第33页练习练习44证实证实 A B=A C A B=A C B=C解题思绪解题思绪分析命题：含有分析命题：含有3 3个命题：个命题：A B=A C,A B=A C,B=C 证实要求证实要求 前提：命题前提：命题和和 结论：命题结论：命题 证实办法：证实办法：恒等式代入恒等式代入 反证法反证法 利用已知等式通过运算得到新等式利用已知等式通过运算得到新等式34第34页第34页解答解答办法一：恒等变形法办法一：恒等变形法 B=B(B A)=B(A B)=B(A C)=(B A)(B C)=(A C)(B C)=(A B)C =(A C)C=C 办法二：反证法办法二：反证法.假设假设 B C，则存在，则存在 x(x B且且x C),或存在或存在 x(x C且且x B).不妨设为前者不妨设为前者.若若x属于属于A，则，则x属于属于A B 但但x不属于不属于A C，与已知矛盾；，与已知矛盾；若若x不属于不属于A，则，则x属于属于A B但但x不属于不属于A C，也与已知矛盾，也与已知矛盾.35第35页第35页解答解答办法三：利用已知等式通过运算得到新等式办法三：利用已知等式通过运算得到新等式.由已知等式由已知等式和和能够得到能够得到 (A B)(A B)=(A C)(A C)即即 A B=A C 从而有从而有 A(A B)=A(A C)依据结合律得依据结合律得 (A A)B=(A A)C 由于由于A A=,化简上式得化简上式得B=C.36第36页第36页练习练习55设设A,B为集合，试拟定下列各式成立充足必要条件：为集合，试拟定下列各式成立充足必要条件：(1)A B=B(2)A B=B A(3)A B=A B(4)A B=A37第37页第37页分析分析解题思绪解题思绪:求解集合等式成立充分必要条件可能用到集合算律、不同集求解集合等式成立充分必要条件可能用到集合算律、不同集合之间包含关系、以及文氏图等合之间包含关系、以及文氏图等.详细求解过程说明以下：详细求解过程说明以下：(1)化简给定集合等式化简给定集合等式 (2)求解方法以下：求解方法以下：利用已知算律或者充分必要条件进行判断利用已知算律或者充分必要条件进行判断先求必要条件，然后验证充分性先求必要条件，然后验证充分性利用文氏图直观性找出相关条件，再利用集合论证实方法加利用文氏图直观性找出相关条件，再利用集合论证实方法加以验证以验证 38第38页第38页解答解答解解(1)A B=B A=B=.求解过程下列：求解过程下列：由由A B=B得得 (AB)B=B B 化简得化简得B=.再将这个结果代入本来等式得再将这个结果代入本来等式得A=.从从而得到必要条件而得到必要条件A=B=.再验证充足性再验证充足性.假如假如A=B=成立，则成立，则A B=B也成立也成立.(2)A B=B A A=B.求解过程下列：求解过程下列：充足性是显然，下面验证必要性充足性是显然，下面验证必要性.由由A B=B A得得 (A B)A=(B A)A从而有从而有A=A B,即即A B.同理可证同理可证B A.39第39页第39页解答解答(3)A B=A B A=B.求解过程下列：求解过程下列：充足性是显然，下面验证必要性充足性是显然，下面验证必要性.由由A B=A B得得 A(A B)=A(A B)化简得化简得A=A B，从而有，从而有A B.类似能够证实类似能够证实B A.(4)A B=A B=.求解过程下列：求解过程下列：充足性是显然，下面验证必要性充足性是显然，下面验证必要性.由由A B=A得得 A(A B)=A A依据结合律有依据结合律有 (A A)B=A A即即 B=,就是就是B=.40第40页第40页