2015年山东省德州市中考数学试卷（含解析版）.doc

2015年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题
1．（3分）（2015•德州）||的值是（　　）

A．

B．

C．
﹣2
D．
2
2．（3分）（2015•德州）某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（　　）

A．
圆锥
B．
圆柱
C．
长方体
D．
四棱柱
3．（3分）（2015•德州）2014年德州市农村中小学校含标准化工程开工学校项目356个，开工面积56.2万平方米，开式面积量创历年最高，56.2万平方米用科学记数法表示正确的是（　　）

A．
5.62×104m2
B．
56.2×104m2
C．
5.62×105m2
D．
0.562×104m2
4．（3分）（2015•德州）下列运算正确的是（　　）

A．
﹣=
B．
b2•b3=b6
C．
4a﹣9a=﹣5
D．
（ab2）2=a2b4
5．（3分）（2015•德州）一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（　　）

A．
8
B．
9
C．
13
D．
15
6．（3分）（2015•德州）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）

A．
35°
B．
40°
C．
50°
D．
65°
7．（3分）（2015•德州）若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（　　）

A．
a＜1
B．
a≤4
C．
a≤1
D．
a≥1
8．（3分）（2015•德州）下列命题中，真命题的个数是（　　）
①若﹣1＜x＜﹣，则﹣2；②若﹣1≤x≤2，则1≤x2≤4
③凸多边形的外角和为360°；④三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB．

A．
4
B．
3
C．
2
D．
1
9．（3分）（2015•德州）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（　　）

A．
288°
B．
144°
C．
216°
D．
120°
10．（3分）（2015•德州）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

11．（3分）（2015•德州）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF=AF+DE．其中正确的是（　　）

A．
②③
B．
②④
C．
①③④
D．
②③④
12．（3分）（2015•德州）如图，平面直角坐标系中，A点坐标为（2，2），点P（m，n）在直线y=﹣x+2上运动，设△APO的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

二、填空题（每小题4分）
13．（4分）（2015•德州）计算2﹣2+（）0=　　　　　　．
14．（4分）（2015•德州）方程﹣=1的解是　　　　　　．
15．（4分）（2015•德州）在射击比赛中，某运动员的6次射击成绩（单位：环）为：7，8，10，8，9，6，计算这组数据的方差为　　　　　　．
16．（4分）（2015•德州）如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆的高度均为　　　　　　m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

17．（4分）（2015•德州）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠A=60°．取AB的中点A1，连接A1C，再分别取A1C，BC的中点D1，C1，连接D1C1，得到四边形A1BC1D1．如图2，同样方法操作得到四边形A2BC2D2，如图3，…，如此进行下去，则四边形AnBCnDn的面积为　　　　　　．

三、解答题：
18．（6分）（2015•德州）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a=2+，b=2﹣．

19．（8分）（2015•德州）2014年1月，国家发改委出台指导意见，要求2015年底前，所有城市原则上全面实行居民阶梯水价制度，小明为了解市政府调整水价方案的社会反响，随机访问了自己居住小区的部分居民，就“每月每户的用水量”和“调价对用水行为改变”两个问题进行调查，并把调查结果整理成下面的图1，图2．

小明发现每月每户的用水量在5m3﹣35m3之间，有8户居民对用水价格调价涨幅抱无所谓，不会考虑用水方式的改变，根据小明控制的图表和发现的信息，完成下列问题：
（1）n=　　　　　　，小明调查了　　　　　　户居民，并补全图1；
（2）每月每户用水量的中位数和众数分别落在什么范围？
（3）如果小明所在小区有1800户居民，请你估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有多少．

20．（8分）（2015•德州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．

21．（10分）（2015•德州）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状：　　　　　　；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．

22．（10分）（2015•德州）某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象求y与x的函数关系式；
（2）商店想在销售成本不超过3000元的情况下，使销售利润达到2400元，销售单价应定为多少？

23．（10分）（2015•德州）（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．
（2）探究
如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用
请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．

24．（12分）（2015•德州）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

2015年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题
1．（3分）（2015•德州）||的值是（　　）

A．

B．

C．
﹣2
D．
2

考点：
绝对值．菁优网版权所有
分析：
绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
解答：
解：根据负数的绝对值是它的相反数，得||=．
故选B．
点评：
本题考查了绝对值的性质．

2．（3分）（2015•德州）某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（　　）

A．
圆锥
B．
圆柱
C．
长方体
D．
四棱柱

考点：
简单几何体的三视图．菁优网版权所有
分析：
根据三视图的主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析可知几何体的名称．
解答：
解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱，
故选：B．
点评：
此题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，椎体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．

3．（3分）（2015•德州）2014年德州市农村中小学校含标准化工程开工学校项目356个，开工面积56.2万平方米，开式面积量创历年最高，56.2万平方米用科学记数法表示正确的是（　　）

A．
5.62×104m2
B．
56.2×104m2
C．
5.62×105m2
D．
0.562×104m2

考点：
科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：
解：56.2万=562000=5.62×105，
故选C，
点评：
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）（2015•德州）下列运算正确的是（　　）

A．
﹣=
B．
b2•b3=b6
C．
4a﹣9a=﹣5
D．
（ab2）2=a2b4

考点：
幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；二次根式的加减法．菁优网版权所有
分析：
A：根据二次根式的加减法的运算方法判断即可；
B：根据同底数幂的乘法法则判断即可；
C：根据合并同类项的方法判断即可；
D：积的乘方法则：（ab）n=anbn（n是正整数），据此判断即可．
解答：
解：∵，
∴选项A错误；
∵b2•b3=b5，
∴选项B错误；
∵4a﹣9a=﹣5a，
∴选项C错误；
∵（ab2）2=a2b4，
∴选项D正确．
故选：D．
点评：
（1）此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（2）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．
（3）此题还考查了合并同类项问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（4）此题还考查了二次根式的加减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确二次根式的加减法的步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．

5．（3分）（2015•德州）一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（　　）

A．
8
B．
9
C．
13
D．
15

考点：
规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
分析：
根据每个数都等于它前面的两个数之和，可得x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，据此解答即可．
解答：
解：∵每个数都等于它前面的两个数之和，
∴x=1+2=3，
∴y=x+5=3+5=8，
即这组数中y表示的数为8．
故选：A．
点评：
此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是求出x的值是多少．

6．（3分）（2015•德州）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）

A．
35°
B．
40°
C．
50°
D．
65°

考点：
旋转的性质．菁优网版权所有
分析：
根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
解答：
解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°．
故选C．
点评：
本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

7．（3分）（2015•德州）若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（　　）

A．
a＜1
B．
a≤4
C．
a≤1
D．
a≥1

考点：
根的判别式．菁优网版权所有
分析：
若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值．
解答：
解：因为关于x的一元二次方程有实根，
所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，
解之得a≤1．
故选C．
点评：
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

8．（3分）（2015•德州）下列命题中，真命题的个数是（　　）
①若﹣1＜x＜﹣，则﹣2；
②若﹣1≤x≤2，则1≤x2≤4
③凸多边形的外角和为360°；
④三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB．

A．
4
B．
3
C．
2
D．
1

考点：
命题与定理．菁优网版权所有
分析：
根据分式成立的条件对①进行判断；根据乘方的意义对②进行判断；根据多边形外角和定理对③进行判断；根据互余公式对④进行判断．
解答：
解：若﹣1＜x＜﹣，﹣2，所以①正确；
若﹣1≤x≤2，则0≤x2≤4，所以②错误；
凸多边形的外角和为360°，所以③正确；
三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，所以④正确．
故选B．
点评：
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

9．（3分）（2015•德州）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（　　）

A．
288°
B．
144°
C．
216°
D．
120°

考点：
圆锥的计算．菁优网版权所有
分析：
根据底面圆的半径与母线长的比设出二者，然后利用底面圆的周长等于弧长列式计算即可．
解答：
解：∵底面圆的半径与母线长的比是4：5，
∴设底面圆的半径为4x，
则母线长是5x，
设圆心角为n°，
则2π×4x=，
解得：n=288，
故选A．
点评：
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

10．（3分）（2015•德州）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
列表法与树状图法．菁优网版权所有
分析：
此题可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，两辆汽车一辆左转，一辆右转的有2种情况，根据概率公式求解即可．
解答：
解：（1）画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：

∴这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果；

（2）由（1）中“树形图”知，两辆汽车一辆左转，一辆右转的结果有2种，且所有结果的可能性相等，
∴P（两辆汽车一辆左转，一辆右转）=．
故选C．
点评：
此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解．

11．（3分）（2015•德州）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：
①OA=OD；
②AD⊥EF；
③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；
④AE+DF=AF+DE．
其中正确的是（　　）

A．
②③
B．
②④
C．
①③④
D．
②③④

考点：
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．菁优网版权所有
分析：
①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确．
②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF．
③首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DE=DF，判断出四边形AEDF是正方形即可．
④根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立，据此解答即可．
解答：
解：如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，
∴①不正确；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD∠FAD，
在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，DE=DF，
∴AE+DF=AF+DE，
∴④正确；
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AE0≌△AF0（SAS），
∴EO=FO，
又∵AE=AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，
∴②正确；
∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴③正确．
综上，可得
正确的是：②③④．
故选：D．
点评：
（1）此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握．

12．（3分）（2015•德州）如图，平面直角坐标系中，A点坐标为（2，2），点P（m，n）在直线y=﹣x+2上运动，设△APO的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
动点问题的函数图象．菁优网版权所有
分析：
根据题意得出临界点P点横坐标为1时，△APO的面积为0，进而结合底边长不变得出即可．
解答：
解：∵点P（m，n）在直线y=﹣x+2上运动，
∴当m=1时，n=1，即P点在直线AO上，此时S=0，
当0＜m≤1时，S△APO不断减小，当m＞1时，S△APO不断增大，且底边AO不变，故S与m是一次函数关系．
故选：B．

点评：
此题主要考查了动点问题的函数图象，根据题意得出临界点是解题关键．

二、填空题（每小题4分）
13．（4分）（2015•德州）计算2﹣2+（）0=　　．

考点：
实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
分析：
首先根据负整数指数幂的运算方法，求出2﹣2的值是多少；然后根据a0=1（a≠0），求出的值是多少；最后再求和，求出算式2﹣2+（）0的值是多少即可．
解答：
解：2﹣2+（）0
=+1
=
故答案为：．
点评：
（1）此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p=（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．

14．（4分）（2015•德州）方程﹣=1的解是　x=2　．

考点：
解分式方程．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答：
解：去分母得：x2﹣2x+2=x2﹣x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解，
故答案为：x=2
点评：
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

15．（4分）（2015•德州）在射击比赛中，某运动员的6次射击成绩（单位：环）为：7，8，10，8，9，6，计算这组数据的方差为　　．

考点：
方差．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先计算出这组数据的平均数，然后根据方差公式求解．
解答：
解：平均数=（7+8+10+8+9+6）=8，
所以方差S2=[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2]=．
故答案为．
点评：
本题考查方差：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

16．（4分）（2015•德州）如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆的高度均为　7.2　m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有
分析：
根据题意分别在两个直角三角形中求得AF和BF的长后求差即可得到旗杆的高度．
解答：
解：根据题意得：EF⊥AC，CD∥FE，
∴四边形CDEF是矩形，
已知底部B的仰角为45°即∠BEF=45°，
∴∠EBF=45°，
∴CD=EF=FB=38，
在Rt△AEF中，
AF=EF•tan50°=38×1.19≈45.22
∴AB=AF﹣BF=45.22﹣38≈7.2，
∴旗杆的高约为7米．
故答案为：7.2．

点评：
此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．

17．（4分）（2015•德州）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠A=60°．取AB的中点A1，连接A1C，再分别取A1C，BC的中点D1，C1，连接D1C1，得到四边形A1BC1D1．如图2，同样方法操作得到四边形A2BC2D2，如图3，…，如此进行下去，则四边形AnBCnDn的面积为　a2　．

考点：
等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有
专题：
规律型．
分析：
首先求得梯形ABCD的面积，然后证明梯形AnBCnDn∽梯形An﹣1BCn﹣1Dn﹣1，然后根据相似形面积的比等于相似比的平方即可求解．
解答：
解：作DE⊥AB于点E．
在直角△ADE中，DE=AD•sinA=a，AE=AD=a，
则AB=2AD=2a，S梯形ABCD=（AB+CD）•DE=（2a+a）•a=a2．
如图2，∵D1、C1是A1C和BC的中点，
∴D1C1∥A1B，且C1D1=A1B，
∵AA1=CD，AA1∥CD，
∴四边形AA1CD是平行四边形，
∴AD∥A1C，AD=A1C=a，
∴∠A=∠CA1B，
又∵∠B=∠B，
∴∠D=∠A1D1C1，∠DCB=∠D1C1B，
=，
∴梯形A1BC1D1∽梯形ABCD，且相似比是．
同理，梯形AnBCnDn∽梯形An﹣1BCn﹣1Dn﹣1，相似比是．
则四边形AnBCnDn的面积为a2．
故答案是：a2．

点评：
本题考查了相似多边形的判定与性质，正确证明梯形AnBCnDn∽梯形An﹣1BCn﹣1Dn﹣1是关键．

三、解答题：
18．（6分）（2015•德州）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a=2+，b=2﹣．

考点：
分式的化简求值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则计算，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
解答：
解：原式=÷=•=，
当a=2+，b=2﹣时，原式===．
点评：
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19．（8分）（2015•德州）2014年1月，国家发改委出台指导意见，要求2015年底前，所有城市原则上全面实行居民阶梯水价制度，小明为了解市政府调整水价方案的社会反响，随机访问了自己居住小区的部分居民，就“每月每户的用水量”和“调价对用水行为改变”两个问题进行调查，并把调查结果整理成下面的图1，图2．

小明发现每月每户的用水量在5m3﹣35m3之间，有8户居民对用水价格调价涨幅抱无所谓，不会考虑用水方式的改变，根据小明控制的图表和发现的信息，完成下列问题：
（1）n=　210　，小明调查了　96　户居民，并补全图1；
（2）每月每户用水量的中位数和众数分别落在什么范围？
（3）如果小明所在小区有1800户居民，请你估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有多少．

考点：
条形统计图；用样本估计总体．菁优网版权所有
分析：
（1）首先根据圆周角等于360°，求出的值是多少即可；然后用“视水价格调价涨幅抱无所谓态度”的居民的户数除以它占被调查的居民户数的分率，求出小明调查了多少户居民；最后求出每月每户的用水量在15m3﹣20m3之间的居民的户数，补全图1即可．
（2）根据中位数和众数的含义分别进行解答即可．
（3）根据分数乘法的意义，用小明所在小区居民的户数乘以“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数占被调查的居民户数的分率，求出“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有多少即可．
解答：
解：（1）n=360﹣30﹣120=210，
∵8÷
=
=96（户）
∴小明调查了96户居民．
每月每户的用水量在15m3﹣20m3之间的居民的户数是：
96﹣（15+22+18+16+5）
=96﹣76
=20（户）．

（2）96÷2=48（户），15+12=37（户），15+22+20=57（户），
∵每月每户的用水量在5m3﹣15m3之间的有37户，每月每户的用水量在5m3﹣20m3之间的有57户，
∴把每月每户用水量这组数据从小到大排列后，第48个、第49个数在15﹣20之间，
∴第48个、第49个数的平均数也在15﹣20之间，
∴每月每户用水量的中位数落在15﹣20之间；
∵在这组数据中，10﹣15之间的数出现的次数最多，出现了22次，
∴每月每户用水量的众数落在10﹣15之间．

（3）∵1800×=1050（户），
∴“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有1050户．
故答案为：210、96．
点评：
（1）此题主要考查了对条形统计图的认识和了解，要善于从条形统计图中获取信息，并能利用获取的信息解决实际问题．
（2）此题还考查了用样本估计总体，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确众数、中位数、平均数、标准差与方差等的含义以及求法．

20．（8分）（2015•德州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．

考点：
反比例函数综合题．菁优网版权所有
分析：
（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，即可证出四边形AEBD是菱形；
（2）连接DE，交AB于F，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；设经过点E的反比例函数解析式为：y=，把点E坐标代入求出k的值即可．
解答：
（1）证明：∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵四边形OABC是矩形，
∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=2，
∴DA=DB，
∴四边形AEBD是菱形；
（2）解：连接DE，交AB于F，如图所示：
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB与DE互相垂直平分，
∵OA=3，OC=2，
∴EF=DF=OA=，AF=AB=1，3+=，
∴点E坐标为：（，1），
设经过点E的反比例函数解析式为：y=，
把点E（，1）代入得：k=，
∴经过点E的反比例函数解析式为：y=．

点评：
本题是反比例函数综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要作辅助线求出点E的坐标才能得出结果．

21．（10分）（2015•德州）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状：　等边三角形　；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．

考点：
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理．菁优网版权所有
分析：
（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得；
（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．
解答：
证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD=AP，如图1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP；
（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APE=AB•PE，S△ABC=AB•CF，
∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=，
∴S四边形APBC=×2×=．

点评：
本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．

22．（10分）（2015•德州）某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象求y与x的函数关系式；
（2）商店想在销售成本不超过3000元的情况下，使销售利润达到2400元，销售单价应定为多少？

考点：
一次函数的应用；一元二次方程的应用．菁优网版权所有
分析：
（1）根据图象可设y=kx+b，将（40，160），（120，0）代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据每千克的利润×销售量=2400元列出方程，解方程求出销售单价，从而计算销售量，进而求出销售成本，与3000元比较即可得出结论．
解答：
解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将（40，160），（120，0）代入，
得，解得，
所以y与x的函数关系式为y=﹣2x+240（40≤x≤120）；

（2）由题意得（x﹣40）（﹣2x+240）=2400，
整理得，x2﹣160x+6000=0，
解得x1=60，x2=100．
当x=60时，销售单价为60元，销售量为120千克，则成本价为40×120=4800（元），超过了3000元，不合题意，舍去；
当x=100时，销售单价为100元，销售量为40千克，则成本价为40×40=1600（元），低于3000元，符合题意．
所以销售单价为100元．
答：销售单价应定为100元．
点评：
本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，利用待定系数法求出y与x的函数关系式是解题的关键．

23．（10分）（2015•德州）（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．
（2）探究
如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用
请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．

考点：
相似形综合题；切线的性质．菁优网版权所有
专题：
探究型．
分析：
（1）如图1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）如图2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=