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2013年湖南省怀化市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）已知m＝1，n＝0，则代数式m+n的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
2．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠ABC＝60°，则对角线AC＝（　　）

A．12 B．9 C．6 D．3
3．（3分）下列函数是二次函数的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝﹣2x+1 C．y＝x2+2 D．y＝x﹣2
4．（3分）下列调查适合作普查的是（　　）
A．对和甲型H7N9的流感患者同一车厢的乘客进行医学检查
B．了解全国手机用户对废手机的处理情况
C．了解全球人类男女比例情况
D．了解怀化市中小学生压岁钱的使用情况
5．（3分）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14米，则A、B间的距离是（　　）

A．18米 B．24米 C．28米 D．30米
6．（3分）如图，在方格纸上上建立的平面直角坐标系中，将OA绕原点O按顺时针方向旋转180°得到OA′，则点A′的坐标为（　　）

A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（1，3）
7．（3分）小郑的年龄比妈妈小28岁，今年妈妈的年龄正好是小郑的5倍，小郑今年的年龄是（　　）
A．7岁 B．8岁 C．9岁 D．10岁
8．（3分）如图，已知等腰梯形ABCD的底角∠B＝45°，高AE＝1，上底AD＝1，则其面积为（　　）

A．4 B． C．1 D．2
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）如图，已知直线a∥b，∠1＝35°，则∠2＝　 　．

10．（3分）（﹣1）2013的绝对值是　 　．
11．（3分）四边形的外角和等于　 　度．
12．（3分）函数中，自变量x的取值范围是　 　．
13．（3分）方程x+2＝7的解为　 　．
14．（3分）五张分别写有3，4，5，6，7的卡片，现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字为奇数的概率是　 　．
15．（3分）如果⊙O1与⊙O2的半径分别是1和2，并且两圆相外切，那么圆心距O1O2的长是　 　．
16．（3分）分解因式：x2﹣3x+2＝　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，求证：△ABC∽△DEF．

19．（10分）解不等式组：．
20．（10分）为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时．为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中共调查了多少名学生？
（2）求户外活动时间为1.5小时的人数，并补充条形统计图；
（3）求表示户外活动时间1小时的扇形圆心角的度数；
（4）本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？户外活动时间的众数和中位数是多少？
21．（10分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．
（1）求证：△ADE≌△BGF；
（2）若正方形DEFG的面积为16cm2，求AC的长．

22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝9，点O是斜边AB上一点，以O为圆心2为半径的圆分别与AC、BC相切于点D、E．
（1）求AC、BC的长；
（2）若AC＝3，连接BD，求图中阴影部分的面积（π取3.14）．

23．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，AD＝16cm，动点E、F分别从A点、C点同时出发，均以2cm/s的速度分别沿AD向D点和沿CB向B点运动．
（1）经过几秒首次可使EF⊥AC？
（2）若EF⊥AC，在线段AC上，是否存在一点P，使2EP•AE＝EF•AP？若存在，请说明P点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

24．（10分）已知函数y＝kx2﹣2x+（k是常数）
（1）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求k的值；
（2）若点M（1，k）在某反比例函数的图象上，要使该反比例函数和二次函数y＝kx2﹣2x+都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设抛物线y＝kx2﹣2x+与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2，x12+x22＝1．在y轴上，是否存在点P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出点P及△ABP的面积；若不存在，请说明理由．

2013年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．【分析】把m、n的值代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：当m＝1，n＝0时，m+n＝1+0＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了代数式求值，把m、n的值代入即可，比较简单．
2．【分析】根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC＝AB．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定，难度一般，解答本题的关键是掌握菱形四边相等的性质．
3．【分析】直接根据二次函数的定义判定即可．
【解答】解：A、y＝2x+1，是一次函数，故此选项错误；
B、y＝﹣2x+1，是一次函数，故此选项错误；
C、y＝x2+2是二次函数，故此选项正确；
D、y＝x﹣2，是一次函数，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，根据定义直接判断是解题关键．
4．【分析】根据全面调查与抽样调查的特点进行解答即可．
【解答】解：A、对和甲型H7N9的流感患者同一车厢的乘客进行医学检查，普查对象较少，适合进行全面调查，故本选项正确；
B、了解全国手机用户对废手机的处理情况，普查对象较多，且意义不大，适合进行抽样调查，故本选项
错误；
C、了解全球人类男女比例情况普查对象较多，适合进行抽样调查，故本选项错误；
D、了解怀化市中小学生压岁钱的使用情况，普查对象较多，且意义不大，适合进行抽样调查，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查的是全面调查与抽样调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．【分析】根据D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．
【解答】解：∵D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线，
∴DE＝AB，
∴AB＝2DE＝2×14＝28米．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解题的关键．
6．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点直接得出答案即可．
【解答】解：∵将OA绕原点O按顺时针方向旋转180°得到OA′，A点坐标为：（﹣3，1），
∴点A′的坐标为：（3，﹣1）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及关于原点对称点的性质，熟练掌握其性质是解题关键．
7．【分析】设小郑今年的年龄是x岁，则小郑的妈妈是（28+x）岁，根据今年妈妈的年龄正好是小郑的5倍为等量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：设小郑今年的年龄是x岁，则小郑的妈妈是（28+x）岁，由题意，得
5x＝28+x，
解得：x＝7．
故选：A．
【点评】本题是一道年龄问题，考查了列一元一次方程解有关年龄问题的数学市级问题的运用，解答时根据今年妈妈的年龄正好是小郑的5倍为等量关系建立方程是关键．
8．【分析】先根据等腰梯形的性质求出BC的长，再由梯形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B＝45°，AE＝AD＝1，
∴BE＝AE＝1，
∴BC＝3AE＝3，
∴S梯形ABCD＝（AD+BC）•AE＝（1+3）×1＝2．
故选：D．
【点评】本题考查的是等腰梯形的性质，熟知等腰梯形同一底上的两角相等是解答此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．【分析】根据两直线平行，同位角相等即可得到∠2＝∠1＝35°．
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠2＝∠1，
而∠1＝35°，
∴∠2＝35°．
故答案为35°．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
10．【分析】根据（﹣1）的奇数次幂等于﹣1计算，再根据绝对值的性质解答．
【解答】解：∵（﹣1）2013＝﹣1，
∴（﹣1）2013的绝对值是1．
故答案为：1．
【点评】本题考查有理数的乘方与绝对值的性质，﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．
11．【分析】根据多边形的内角和定理和邻补角的关系即可求出四边形的外角和．
【解答】解：∵四边形的内角和为（4﹣2）•180°＝360°，
而每一组内角和相邻的外角是一组邻补角，
∴四边形的外角和等于4×180°﹣360°＝360°．
故填空答案：360．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和定理和多边形的外角和．
12．【分析】根据二次根式有意义的条件是a≥0，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围的求法，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．【分析】方程移项后，合并即可求出解．
【解答】解：x+2＝7，
移项合并得：x＝5．
故答案为：x＝5．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
14．【分析】先找出分别写有3，4，5，6，7的五张卡片中奇数的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：分别写有3，4，5，6，7的五张卡片中，有三张标有奇数；
任意抽取一张，数字为奇数的概率是．
故答案为．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．【分析】由⊙O1和⊙O2的半径分别为1和2，⊙O1和⊙O2相外切，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得圆心距O1O2的值．
【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为1和2，⊙O1和⊙O2相外切，
∴圆心距O1O2＝1+2＝3（cm）．
故答案为：3．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
16．【分析】把2分解成（﹣1）×（﹣2），再根据十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式＝1+2﹣（+1）﹣+2，然后去括号合并即可．
【解答】解：原式＝1+2﹣（+1）﹣+2
＝1+2﹣﹣1﹣+2
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．
18．【分析】在△ABC中求出∠B，利用两角法可判定△ABC∽△DEF．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝79°，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC∽△DEF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法，相似三角形的判定最常用的就是两角法．
19．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
由①得，x＞﹣1；
由②得，x＜4，
故此不等式组的解集为：﹣1＜x＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．【分析】（1）由总数＝某组频数÷频率计算；
（2）户外活动时间为1.5小时的人数＝总数×24%；
（3）扇形圆心角的度数＝360×比例；
（4）计算出平均时间后分析．
【解答】解：（1）调查人数＝10÷20%＝50（人）；

（2）户外活动时间为1.5小时的人数＝50×24%＝12（人）；
补全频数分布直方图；

（3）表示户外活动时间1小时的扇形圆心角的度数＝×360°＝144°；

（4）户外活动的平均时间＝（小时），
∵1.18＞1，
∴平均活动时间符合上级要求；
户外活动时间的众数和中位数均为1小时．
【点评】本题考查读条形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21．【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得出∠B＝∠A＝45°，再根据四边形DEFG是正方形可得出∠BFG＝∠AED，故可得出∠BGF＝∠ADE＝45°，GF＝ED，由全等三角形的判定定理即可得出结论；
（2）过点C作CH⊥AB于点H，由正方形DEFG的面积为16cm2可求出其边长，故可得出AB的长，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求出AD的长，再由相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ACG，由相似三角形的对应边成比例即可求出AC的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B＝∠A＝45°，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠BFG＝∠AED＝90°，
故可得出∠BGF＝∠ADE＝45°，GF＝ED，
∵在△ADE与△BGF中，
，
∴△ADE≌△BGF（ASA）；

（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，
∵正方形DEFG的面积为16cm2，
∴DE＝AE＝4cm，
∴AB＝3DE＝12cm，
∵△ABC是等腰直角三角形，CH⊥AB，
∴AH＝AB＝×12＝6cm，
在Rt△ADE中，
∵DE＝AE＝4cm，
∴AD＝＝＝4cm，
∵CH⊥AB，DE⊥AB，
∴CH∥DE，
∴△ADE∽△ACH，
∴＝，＝，
解得AC＝6cm．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
22．【分析】（1）连接OD、OE，得出四边形CDOE是正方形，推出CE＝CD＝OD＝OE＝2，∠DOE＝90°，设AD＝x，求出BE＝5﹣x，证△OEB∽△ADO，得出＝，代入求出x即可；
（2）利用AC＝3，AD＝3﹣1＝2，BC＝6，结合阴影部分的面积S＝S△ACB﹣S△ADB﹣（S正方形CDOE﹣S扇形ODE）代入求出即可．
【解答】解：（1）连接OD、OE，
∵⊙O切BC于E，切AC于D，∠C＝90°，
∴∠ADO＝∠BEO＝90°，∠ODC＝∠C＝∠OEC＝90°，
∵OE＝OD＝2，
∴四边形CDOE是正方形，
∴CE＝CD＝OD＝OE＝2，∠DOE＝90°，
∵∠OEB＝∠C＝90°，
设AD＝x，
∵AC+BC＝9，
∴BE＝9﹣2﹣2﹣x＝5﹣x，
∴OE∥AC，
∴∠EOB＝∠A，
∴△OEB∽△ADO，
∴＝，
∴＝，
x＝1或4，
∴AC＝3，BC＝6或AC＝6，BC＝3；

（2）∵AC＝3，AD＝3﹣2＝1，BC＝6，
∴阴影部分的面积S＝S△ACB﹣S△ADB﹣（S正方形CDOE﹣S扇形ODE）
＝×3×6﹣×1×6﹣（2×2﹣）
＝9﹣3﹣（4﹣π）
＝2+π
≈5.14．

【点评】本题考查了扇形的面积，正方形性质和判定，三角形的面积，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力．
23．【分析】（1）易证EF一定平分AC，当EF⊥AC时，△AEM∽△ACD，利用相似三角形的对应边的比相等即可求得AE的长，从而求得时间t的值；
（2）当EP⊥AD时，根据相似三角形的性质可以得到2EP•AE＝EF•AP，根据△AEP∽△ADC，即可求得AP的长．
【解答】解：（1）在直角△ACD中，AC＝＝＝20cm．
设经过ts时EF⊥AC．
则AE＝CF＝2t，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACF，
在△AME和△CMF中，
，
∴△AME≌△CMF（AAS）．
则AM＝MC＝AC＝×20＝10cm．
当EF⊥AC时，△AEM∽△ACD，
∴＝，即＝，
解得：AE＝＝．
则t＝＝（s）；

（2）存在．
∵△AME≌△CMF，
∴ME＝MF＝EF，
当EP⊥AD时，△AME∽△AEP，＝，即AE•EP＝AP•ME＝AP•EF，
即2EP•AE＝EF•AP．
∵PE⊥AD，CD⊥AD，
∴EP∥CD，
∴△AEP∽△ADC，
∴＝，即＝，
解得：AP＝．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，正确理解当EP⊥AD时，2EP•AE＝EF•AP成立，是关键．
24．【分析】（1）本问注意分类讨论：若k＝0，函数为一次函数；若k≠0，函数为二次函数，根据其△＝0求解即可；
（2）根据反比例函数和二次函数的增减性，综合确定k应满足的条件和x的取值范围；
（3）由题意，首先根据一元二次方程根与系数关系，求出k的值；从而得到抛物线的解析式，画出抛物线的大致图象，以AB为直径作圆，圆与y轴的两个交点即为所求之点P；最后利用相似三角形求出点P的坐标和△ABP的面积．
【解答】解：（1）若k＝0，则y＝﹣2x+是一次函数，与x轴只有一个交点，满足条件；
若k≠0，则y＝kx2﹣2x+（k≠0）是二次函数，
由△＝b2﹣4ac＝4﹣6k＝0，得k＝．
∴k＝0或．

（2）设反比例函数解析式为：y＝，
∵点M（1，k）在反比例函数图象上，
∴m＝k．
∴y＝．
由反比例函数的性质可知，当y随x的增大而增大时，须满足条件：k＜0，x≠0．
二次函数y＝kx2﹣2x+，抛物线开口向下，其对称轴为直线x＝，
当y随x的增大而增大时，须满足条件：k＜0，x＜．
综上所述，要使该反比例函数和二次函数都是y随x的增大而增大，须满足条件：k＜0，x＜．

（3）存在．
抛物线解析式为：y＝kx2﹣2x+，
令y＝0，即kx2﹣2x+＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝．
∵x12+x22＝1，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝1，即：（）2﹣2•＝1
整理得：k2+3k﹣4＝0，
解得：k＝﹣4或k＝1．
又∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝4﹣6k＞0，解得k＜，
∴k＝1不符合题意，舍去，∴k＝﹣4．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣4x2﹣2x+＝﹣4（x+）2+．
令y＝0，解得x＝，
∴A（，0），B（，0）．
画出函数大致图象如下，则OA＝，OB＝，AB＝．

以AB为直径作圆，由图象可见，圆与y轴的交点有2个，因此所求的点P有两个．
连接PA、PB，易证△PAO∽△BPO，
∴，
∴OP2＝OA•OB＝×＝，∴OP＝．
S△ABP＝AB•OP＝××＝．
综上所述，存在两个满足条件的点P．点P的坐标为（0，）或（0，﹣），△ABP的面积为．
【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、反比例函数、一元二次方程、根与系数关系、根的判别式、相似三角形等知识点，有一定的难度．第（1）问中，须分一次函数、二次函数进行讨论；第（3）问中，满足条件的点P有两个，容易漏解．可见分类讨论思想是本题考查重点，也是易失分点．
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