2013年重庆市高考数学试卷(文科)含答案.doc

2013年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（5分）（2013•重庆）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（　　）

A．
{1，3，4}
B．
{3，4}
C．
{3}
D．
{4}

2．（5分）（2013•重庆）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（　　）

A．
存在x0∈R，使得x02＜0
B．
对任意x∈R，使得x2＜0

C．
存在x0∈R，都有
D．
不存在x∈R，使得x2＜0

3．（5分）（2013•重庆）函数的定义域为（　　）

A．
（﹣∞，2）
B．
（2，+∞）
C．
（2，3）∪（3，+∞）
D．
（2，4）∪（4，+∞）

4．（5分）（2013•重庆）设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则|PQ|的最小值为（　　）

A．
6
B．
4
C．
3
D．
2

5．（5分）（2013•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（　　）

A．
3
B．
4
C．
5
D．
6

6．（5分）（2013•重庆）如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（　　）

A．
0.2
B．
0.4
C．
0.5
D．
0.6

7．（5分）（2013•重庆）关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣x1=15，则a=（　　）

A．

B．

C．

D．

8．（5分）（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．
180
B．
200
C．
220
D．
240

9．（5分）（2013•重庆）已知函数f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，则f（lg（lg2））=（　　）

A．
﹣5
B．
﹣1
C．
3
D．
4

10．（5分）（2013•重庆）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

二．填空题：本大题共5小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．
11．（5分）（2013•重庆）已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=　　．

12．（5分）（2013•重庆）若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=　　．

13．（5分）（2013•重庆）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为　　．

14．（5分）（2013•重庆）OA为边，OB为对角线的矩形中，，，则实数k=　　．

15．（5分）（2013•重庆）设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为　　．

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．

17．（13分）（2013•重庆）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．
（Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn；
（Ⅱ）已知{bn}是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．

18．（13分）（2013•重庆）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得，，，．
（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；
（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．

19．（13分）（2013•重庆）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+bc．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）设a=，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的最值．

20．（12分）（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．

21．（12分）（2013•重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

2013年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（5分）（2013•重庆）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（　　）

A．
{1，3，4}
B．
{3，4}
C．
{3}
D．
{4}

考点：
交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．
解答：
解：∵A={1，2}，B={2，3}，
∴A∪B={1，2，3}，
∵全集U={1，2，3，4}，
∴∁U（A∪B）={4}．
故选D
点评：
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

2．（5分）（2013•重庆）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（　　）

A．
存在x0∈R，使得x02＜0
B．
对任意x∈R，使得x2＜0

C．
存在x0∈R，都有
D．
不存在x∈R，使得x2＜0

考点：
命题的否定；全称命题．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
根据全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题：“∃x0∈M，￢p（x）”即可得出．
解答：
解：根据全称命题的否定是特称命题可得：
命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“∃x0∈R，使得”．
故选A．
点评：
熟练掌握全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题“∃x0∈M，￢p（x）”是解题的关键．

3．（5分）（2013•重庆）函数的定义域为（　　）

A．
（﹣∞，2）
B．
（2，+∞）
C．
（2，3）∪（3，+∞）
D．
（2，4）∪（4，+∞）

考点：
函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．
解答：
解：要使原函数有意义，则，
解得：2＜x＜3，或x＞3
所以原函数的定义域为（2，3）∪（3，+∞）．
故选C．
点评：
本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则，属于基础题．

4．（5分）（2013•重庆）设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则|PQ|的最小值为（　　）

A．
6
B．
4
C．
3
D．
2

考点：
直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
专题：
直线与圆．
分析：
根据题意画出相应的图形，过圆心A作AQ⊥直线x=﹣3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由圆的方程找出圆心A坐标与半径r，求出|AQ|的长，由|AQ|﹣r即可求出|PQ|的最小值．
解答：
解：过圆心A作AQ⊥直线x=﹣3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，
由圆的方程得到A（3，﹣1），半径r=2，
则|PQ|=|AQ|﹣r=6﹣2=4．
故选B

点评：
此题考查了直线与圆的位置关系，利用了数形结合的数学思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．

5．（5分）（2013•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（　　）

A．
3
B．
4
C．
5
D．
6

考点：
程序框图．菁优网版权所有
专题：
图表型．
分析：
根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，输出结果．
解答：
解：s=1+（1﹣1）2=1，不满足判断框中的条件，k=2，
s=1+（2﹣1）2=2，不满足判断框中的条件，k=3，
s=2+（3﹣1）2=6，不满足判断框中的条件，k=4，
s=6+（4﹣1）2=15，不满足判断框中的条件，k=5，
s=15+（5﹣1）2=31，满足判断框中的条件，退出循环，输出的结果为k=5
故选C．

点评：
本题给出程序框图，要我们求出最后输出值，着重考查了算法语句的理解和循环结构等知识，属于基础题．

6．（5分）（2013•重庆）如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（　　）

A．
0.2
B．
0.4
C．
0.5
D．
0.6

考点：
古典概型及其概率计算公式；茎叶图．菁优网版权所有
专题：
概率与统计．
分析：
由茎叶图10个原始数据数据，数出落在区间[22，30）内的个数，由古典概型的概率公式可得答案．
解答：
解：由茎叶图10个原始数据，数据落在区间[22，30）内的共有4个，包括2个22，1个27，1个29，则数据落在区间[22，30）内的概率为=0.4．
故选B．
点评：
本题考查古典概型及其概率公式，涉及茎叶图的应用，属基础题．

7．（5分）（2013•重庆）关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣x1=15，则a=（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
一元二次不等式的解法．菁优网版权所有
专题：
计算题；不等式的解法及应用．
分析：
利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a的值即可．
解答：
解：因为关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），
所以x1+x2=2a…①，
x1•x2=﹣8a2…②，
又x2﹣x1=15…③，
①2﹣4×②可得（x2﹣x1）2=36a2，代入③可得，152=36a2，解得a==，
因为a＞0，所以a=．
故选：A．
点评：
本题考查二次不等式的解法，韦达定理的应用，考查计算能力．

8．（5分）（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．
180
B．
200
C．
220
D．
240

考点：
由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4；据此可求出该几何体的表面积．
解答：
解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；
其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．
∴S表面积=2××（2+8）×4+2×5×10+2×10+8×10=240．
故选D．

点评：
本题考查由三视图还原直观图，由三视图求面积、体积，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．

9．（5分）（2013•重庆）已知函数f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，则f（lg（lg2））=（　　）

A．
﹣5
B．
﹣1
C．
3
D．
4

考点：
函数奇偶性的性质；函数的值．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；方程思想；函数的性质及应用．
分析：
由题设条件可得出lg（log210）与lg（lg2）互为相反数，再引入g（x）=ax3+bsinx，使得f（x）=g（x）+4，利用奇函数的性质即可得到关于f（lg（lg2））的方程，解方程即可得出它的值
解答：
解：∵lg（log210）+lg（lg2）=lg1=0，
∴lg（log210）与lg（lg2）互为相反数
则设lg（log210）=m，那么lg（lg2）=﹣m
令f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax3+bsinx，此函数是一个奇函数，故g（﹣m）=﹣g（m），
∴f（m）=g（m）+4=5，g（m）=1
∴f（﹣m）=g（﹣m）+4=﹣g（m）+4=3．
故选C．
点评：
本题考查函数奇偶性的运用及求函数的值，解题的关键是观察验证出lg（log210）与lg（lg2）互为相反数，审题时找准处理条件的方向对准确快速做题很重要

10．（5分）（2013•重庆）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，由满足条件的直线只有一对，得，由此能求出双曲线的离心率的范围．
解答：
解：不妨令双曲线的方程为，
由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，
又∵满足条件的直线只有一对，
当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，
双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，
若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，
则不可能存在|A1B1|=|A2B2|，
当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角小于60°，
双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，
若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，
但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，
∴tan30°，即，
∴，
∵b2=c2﹣a2，∴，∴，
∴，
∴双曲线的离心率的范围是．
故选：A．

点评：
本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．

二．填空题：本大题共5小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．
11．（5分）（2013•重庆）已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=　　．

考点：
复数求模．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
直接利用复数的模的求法公式，求解即可．
解答：
解：复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|==．
故答案为：．
点评：
本题考查复数的模的求法，考查计算能力．

12．（5分）（2013•重庆）若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=　　．

考点：
等差数列的性质．菁优网版权所有
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中项可得a，c的值，作差即可得答案．
解答：
解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=，
又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，
同理可得2c=9+=，解得c=，
故c﹣a=﹣==
故答案为：
点评：
本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题．

13．（5分）（2013•重庆）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为　　．

考点：
排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
专题：
计算题；概率与统计．
分析：
甲、乙两人相邻，可以把两个元素看做一个元素同其他元素进行排列，然后代入古典概率的求解公式即可求解
解答：
解：记甲、乙两人相邻而站为事件A
甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有=6，
则甲、乙两人相邻而站，把甲和乙当做一个整体，甲和乙的排列有种，然后把甲乙整体和丙进行排列，有种，因此共有=4种站法
∴=
故答案为：
点评：
本题考查排列组合及简单的计数问题及古典概率的求解，本题解题的关键是把相邻的问题作为一个元素同其他的元素进行排列，本题是一个基础题．

14．（5分）（2013•重庆）OA为边，OB为对角线的矩形中，，，则实数k=　4　．

考点：
数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的坐标运算．菁优网版权所有
专题：
压轴题；平面向量及应用．
分析：
由题意可得OA⊥AB，故有 =0，即 ==0，解方程求得k的值．
解答：
解：由于OA为边，OB为对角线的矩形中，OA⊥AB，∴=0，
即 ==（﹣3，1）•（﹣2，k）﹣10=6+k﹣10=0，
解得k=4，
故答案为 4．
点评：
本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的性质，两个向量的加减法及其几何意义，属于基础题．

15．（5分）（2013•重庆）设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为　[0，]∪[，π]　．

考点：
函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．菁优网版权所有
专题：
压轴题；不等式的解法及应用．
分析：
由题意可得，△=64sin2α﹣32cos2α≤0即2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0，解不等式结合0≤α≤π可求α的取值范围．
解答：
解：由题意可得，△=64sin2α﹣32cos2α≤0，
得2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0
∴sin2α≤，
﹣≤sinα≤，
∵0≤α≤π
∴α∈[0，]∪[，π]．
故答案为：[0，]∪[，π]．
点评：
本题主要考查了一元二次不等式的解法、二次函数的恒成立问题，属于中档题．

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．

考点：
直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．菁优网版权所有
专题：
综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（Ⅰ）设椭圆方程为，将左焦点横坐标代入椭圆方程可得y=，则，又②，a2=b2+c2③，联立①②③可求得a，b；
（Ⅱ）设Q（t，0）（t＞0），圆的半径为r，直线PP′方程为：x=m（m＞t），则圆Q的方程为：（x﹣t）2+y2=r2，联立圆与椭圆方程消掉y得x的二次方程，则△=0①，易求P点坐标，代入圆的方程得等式②，由①②消掉r得m=2t，则，变为关于t的函数，利用基本不等式可求其最大值及此时t值，由对称性可得圆心Q在y轴左侧的情况；
解答：
解：（Ⅰ）设椭圆方程为，
左焦点F1（﹣c，0），将横坐标﹣c代入椭圆方程，得y=，
所以①，②，a2=b2+c2③，联立①②③解得a=4，，
所以椭圆方程为：；
（Ⅱ）设Q（t，0）（t＞0），圆的半径为r，直线PP′方程为：x=m（m＞t），
则圆Q的方程为：（x﹣t）2+y2=r2，
由得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0，
由△=0，即16t2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8，①
把x=m代入，得，
所以点P坐标为（m，），代入（x﹣t）2+y2=r2，得，②
由①②消掉r2得4t2﹣4mt+m2=0，即m=2t，
=×（m﹣t）=×t=≤×=2，
当且仅当4﹣t2=t2即t=时取等号，
此时t+r=+＜4，椭圆上除P、P′外的点在圆Q外，
所以△PP'Q的面积S的最大值为，圆Q的标准方程为：．
当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，由对称性可得圆Q的方程为，△PP'Q的面积S的最大值仍为为．
点评：
本题考查圆、椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，难度较大．

17．（13分）（2013•重庆）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．
（Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn；
（Ⅱ）已知{bn}是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．

考点：
等比数列的前n项和；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．菁优网版权所有
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
（Ⅰ）可得数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，代入求和公式和通项公式可得答案；
（Ⅱ）可得b1=3，b3=13，进而可得其公差，代入求和公式可得答案．
解答：
解：（Ⅰ）由题意可得数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，
故可得an=1×3n﹣1=3n﹣1，
由求和公式可得Sn==；
（Ⅱ）由题意可知b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，
设数列{bn}的公差为d，可得b3﹣b1=10=2d，解得d=5
故T20=20×3+=1010
点评：
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．

18．（13分）（2013•重庆）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得，，，．
（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；
（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．

考点：
线性回归方程．菁优网版权所有
专题：
概率与统计．
分析：
（Ⅰ）由题意可知n，，，进而可得，，代入可得b值，进而可得a值，可得方程；
（Ⅱ）由回归方程x的系数b的正负可判；
（Ⅲ）把x=7代入回归方程求其函数值即可．
解答：
解：（Ⅰ）由题意可知n=10，===8，===2，
故lxx==720﹣10×82=80，lxy==184﹣10×8×2=24，
故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，
故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；

（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．
点评：
本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．

19．（13分）（2013•重庆）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+bc．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）设a=，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的最值．

考点：
余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有
专题：
解三角形．
分析：
（Ⅰ）由余弦定理表示出cosA，将依照等式变形后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出sinA的值，由三角形的面积公式及正弦定理列出关系式，表示出S，代入已知等式中提取3变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的图象与性质即可求出S+3cosBcosC的最大值，以及此时B的值．
解答：
解：（Ⅰ）由余弦定理得：cosA===﹣，
∵A为三角形的内角，∴A=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA=，由正弦定理得：b=，csinA=asinC及a=得：
S=bcsinA=••asinC=3sinBsinC，
则S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC）=3cos（B﹣C），
则当B﹣C=0，即B=C==时，S+3cosBcosC取最大值3．
点评：
此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

20．（12分）（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．

考点：
直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
专题：
压轴题；空间位置关系与距离．
分析：
（Ⅰ）由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．再利用直线和平面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）由侧棱PC上的点F满足PF=7FC，可得三棱锥F﹣BCD的高是三棱锥P﹣BCD的高的．求出△BCD的面积S△BCD，再根据三棱锥P﹣BDF的体积 V=VP﹣BCD﹣VF﹣BCD=﹣，运算求得结果．
解答：
解：（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△BCD为等腰三角形，再由 ，∴BD⊥AC．
再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．
而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）∵侧棱PC上的点F满足PF=7FC，
∴三棱锥F﹣BCD的高是三棱锥P﹣BCD的高的．
△BCD的面积S△BCD=BC•CD•sin∠BCD==．
∴三棱锥P﹣BDF的体积 V=VP﹣BCD﹣VF﹣BCD=﹣=×
==．
点评：
本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用间接解法求棱锥的体积，属于中档题．

21．（12分）（2013•重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

考点：
函数模型的选择与应用．菁优网版权所有
专题：
压轴题；函数的性质及应用．
分析：
（I）由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为12000π元，构造方程整理后，可将V表示成r的函数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域；
（Ⅱ）根据（I）中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调性，可得函数的最大值点．
解答：
解：（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200•πrh元，
底面积成本为160πr2元，
∴蓄水池的总建造成本为200•πrh+160πr2元
即200•πrh+160πr2=12000π
∴h=（300﹣4r2）
∴V（r）=πr2h=πr2•（300﹣4r2）=（300r﹣4r3）
又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5
故函数V（r）的定义域为（0，5）
（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）=（300r﹣4r3），（0＜r＜5）
可得V′（r）=（300﹣12r2），（0＜r＜5）
∵令V′（r）=（300﹣12r2）=0，则r=5
∴当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数
当r∈（5，5）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数
且当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大
点评：
本题考查的知识点是函数模型的应用，其中（Ⅰ）的关键是根据已知，求出函数的解析式及定义域，（Ⅱ）的关键是利用导数分析出函数的单调性及最值点．

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