matlab主成分分析法.doc

§10.利用Matlab编程实现主成分分析
1.概述
Matlab语言是当今国际上科学界 (尤其是自动控制领域) 最具影响力、也是最有活力的软件。它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、与其他程序和语言的便捷接口的功能。Matlab 语言在各国高校与研究单位起着重大的作用。主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。
1.1主成分分析计算步骤
① 计算相关系数矩阵
（1）
在（，rij（i，j=1，2，…，p）为原变量的xi与xj之间的相关系数，其计算公式为
（2）
因为R是实对称矩阵（即rij=rji），所以只需计算上三角元素或下三角元素即可。
② 计算特征值与特征向量
首先解特征方程，通常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小顺序排列，即；然后分别求出对应于特征值的特征向量。这里要求=1，即，其中表示向量的第j个分量。
③ 计算主成分贡献率及累计贡献率
主成分的贡献率为
累计贡献率为
一般取累计贡献率达85—95%的特征值所对应的第一、第二，…，第m（m≤p）个主成分。
④ 计算主成分载荷
其计算公式为
（3）
得到各主成分的载荷以后，还可以按照（，得到各主成分的得分
（4）
2.程序结构及函数作用
在软件Matlab中实现主成分分析可以采取两种方式实现：一是通过编程来实现；二是直接调用Matlab种自带程序实现。下面主要主要介绍利用Matlab的矩阵计算功能编程实现主成分分析。
2.1程序结构
Cwprint.m
主函数
子函数
Cwfac.m
Cwscore.m
Cwstd.m

2.2函数作用
Cwstd.m——用总和标准化法标准化矩阵
Cwfac.m——计算相关系数矩阵；计算特征值和特征向量；对主成分进行排序；计算各特征值贡献率；挑选主成分（累计贡献率大于85%），输出主成分个数；计算主成分载荷
Cwscore.m——计算各主成分得分、综合得分并排序
Cwprint.m——读入数据文件；调用以上三个函数并输出结果
3.源程序
3.1 cwstd.m总和标准化法标准化矩阵
%cwstd.m,用总和标准化法标准化矩阵
function std=cwstd(vector)
cwsum=sum(vector,1); %对列求和
[a,b]=size(vector); %矩阵大小,a为行数,b为列数
for i=1:a
for j=1:b
std(i,j)= vector(i,j)/cwsum(j);
end
end
3.2 cwfac.m计算相关系数矩阵
%cwfac.m
function result=cwfac(vector);
fprintf('相关系数矩阵:\n')
std=CORRCOEF(vector) %计算相关系数矩阵
fprintf('特征向量(vec)及特征值(val)：\n')
[vec,val]=eig(std) %求特征值(val)及特征向量(vec)
newval=diag(val) ;
[y,i]=sort(newval) ; %对特征根进行排序，y为排序结果，i为索引
fprintf('特征根排序：\n')
for z=1:length(y)
newy(z)=y(length(y)+1-z);
end
fprintf('%g\n',newy)
rate=y/sum(y);
fprintf('\n贡献率：\n')
newrate=newy/sum(newy)
sumrate=0;
newi=[];
for k=length(y):-1:1
sumrate=sumrate+rate(k);
newi(length(y)+1-k)=i(k);
if sumrate>0.85 break;
end
end %记下累积贡献率大85%的特征值的序号放入newi中
fprintf('主成分数：%g\n\n',length(newi));
fprintf('主成分载荷：\n')
for p=1:length(newi)
for q=1:length(y)
result(q,p)=sqrt(newval(newi(p)))*vec(q,newi(p));
end
end %计算载荷
disp(result)
3.3 cwscore.m
%cwscore.m,计算得分
function score=cwscore(vector1,vector2);
sco=vector1*vector2;
csum=sum(sco,2);
[newcsum,i]=sort(-1*csum);
[newi,j]=sort(i);
fprintf('计算得分：\n')
score=[sco,csum,j]
%得分矩阵：sco为各主成分得分；csum为综合得分；j为排序结果
3.4 cwprint.m
%cwprint.m
function print=cwprint(filename,a,b);
%filename为文本文件文件名，a为矩阵行数(样本数)，b为矩阵列数(变量指标数)
fid=fopen(filename,'r')
vector=fscanf(fid,'%g',[a b]);
fprintf('标准化结果如下：\n')
v1=cwstd(vector)
result=cwfac(v1);
cwscore(v1,result);
4.程序测试
4.1原始数据
中国大陆35个大城市某年的10项社会经济统计指标数据见下表。
城 市
名 称
年底
总人口
(万人)
非农业
人口比(%)
农 业
总产值
(万元)
工业
总产值
(万元)
客运总量
(万人)
货运总量
(万吨)
地方财政
预算内收入(万元)
城乡居民年底储蓄余额
(万元)
在岗职工人数(万人)
在岗职工工资总额
(万元)
北 京
1 249.90
0.597 8
1 843 427
19 999 706
20 323
45 562
2 790 863
26 806 646
410.80
5 773 301
天 津
910.17
0.580 9
1 501 136
22 645 502
3 259
26 317
1 128 073
11 301 931
202.68
2 254 343
石 家 庄
875.40
0.233 2
2 918 680
6 885 768
2 929
1 911
352 348
7 095 875
95.60
758 877
太 原
299.92
0.656 3
236 038
2 737 750
1 937
11 895
203 277
3 943 100
88.65
654 023
呼和浩特
207.78
0.441 2
365 343
816 452
2 351
2 623
105 783
1 396 588
42.11
309 337
沈 阳
677.08
0.629 9
1 295 418
5 826 733
7 782
15 412
567 919
9 016 998
135.45
1 152 811
大 连
545.31
0.494 6
1 879 739
8 426 385
10 780
19 187
709 227
7 556 796
94.15
965 922
长 春
691.23
0.406 8
1 853 210
5 966 343
4 810
9 532
357 096
4 803 744
102.63
884 447
哈 尔 滨
927.09
0.462 7
2 663 855
4 186 123
6 720
7 520
481 443
6 450 020
172.79
1 309 151
上 海
1 313.12
0.738 4
2 069 019
54 529 098
6 406
44 485
4 318 500
25 971 200
336.84
5 605 445
南 京
537.44
0.534 1
989 199
13 072 737
14 269
11 193
664 299
5 680 472
113.81
1 357 861
杭 州
616.05
0.355 6
1 414 737
12 000 796
17 883
11 684
449 593
7 425 967
96.90
1 180 947
宁 波
538.41
0.254 7
1 428 235
10 622 866
22 215
10 298
501 723
5 246 350
62.15
824 034
合 肥
429.95
0.318 4
628 764
2 514 125
4 893
1 517
233 628
1 622 931
47.27
369 577
福 州
583.13
0.273 3
2 152 288
6 555 351
8 851
7 190
467 524
5 030 220
69.59
680 607
厦 门
128.99
0.486 5
333 374
5 751 124
3 728
2 570
418 758
2 108 331
46.93
657 484
南 昌
424.20
0.398 8
688 289
2 305 881
3 674
3 189
167 714
2 640 460
62.08
479 ,555
济 南
557.63
0.408 5
1 486 302
6 285 882
5 915
11 775
460 690
4 126 970
83.31
756 696
青 岛
702.97
0.369 3
2 382 320
11 492 036
13 408
17 038
658 435
4 978 045
103.52
961 704
郑 州
615.36
0.342 4
677 425
5 287 601
10 433
6 768
387 252
5 135 338
84.66
696 848
武 汉
740.20
0.586 9
1 211 291
7 506 085
9 793
15 442
604 658
5 748 055
149.20
1 314 766
长 沙
582.47
0.310 7
1 146 367
3 098 179
8 706
5 718
323 660
3 461 244
69.57
596 986
广 州
685.00
0.621 4
1 600 738
23 348 139
22 007
23 854
1 761 499
20 401 811
182.81
3 047 594
深 圳
119.85
0.793 1
299 662
20 368 295
8 754
4 274
1 847 908
9 519 900
91.26
1 890 338
南 宁
285.87
0.406 4
720 486
1 149 691
5 130
3 293
149 700
2 190 918
45.09
371 809
海 口
54.38
0.835 4
44 815
717 461
5 345
2 356
115 174
1 626 800
19.01
198 138
重 庆
3 072.34
0.206 7
4 168 780
8 585 525
52 441
25 124
898,912
9 090 969
223.73
1 606 804
成 都
1 003.56
0.335
1 935 590
5 894 289
40 140
19 632
561 189
7 479 684
132.89
1 200 671
贵 阳
321.50
0.455 7
362 061
2 247 934
15 703
4 143
197 908
1 787 748
55.28
419 681
昆 明
473.39
0.386 5
793 356
3 605 729
5 604
12 042
524 216
4 127 900
88.11
842 321
西 安
674.50
0.409 4
739 905
3 665 942
10 311
9 766
408 896
5 863 980
114.01
885 169
兰 州
287.59
0.544 5
259 444
2 940 884
1 832
4 749
169 540
2 641 568
65.83
550 890
西 宁
133.95
0.522 7
65 848
711 310
1 746
1 469
49 134
855 051
27.21
219 251
银 川
95.38
0.570 9
171 603
661 226
2 106
1 193
74 758
814 103
23.72
178 621
乌鲁木齐
158.92
0.824 4
78 513
1 847 241
2 668
9 041
254 870
2 365 508
55.27
517 622
4.2运行结果
>> cwprint('cwbook.txt',35,10)
fid =
6
数据标准化结果如下：
v1 =
0.0581 0.0356 0.0435 0.0680 0.0557 0.1112 0.1194 0.1184 0.1083 0.1392
0.0423 0.0346 0.0354 0.0770 0.0089 0.0642 0.0483 0.0499 0.0534 0.0544
0.0407 0.0139 0.0688 0.0234 0.0080 0.0047 0.0151 0.0314 0.0252 0.0183
0.0139 0.0391 0.0056 0.0093 0.0053 0.0290 0.0087 0.0174 0.0234 0.0158
0.0097 0.0263 0.0086 0.0028 0.0064 0.0064 0.0045 0.0062 0.0111 0.0075
0.0315 0.0375 0.0305 0.0198 0.0213 0.0376 0.0243 0.0398 0.0357 0.0278
0.0253 0.0295 0.0443 0.0286 0.0295 0.0468 0.0304 0.0334 0.0248 0.0233
0.0321 0.0242 0.0437 0.0203 0.0132 0.0233 0.0153 0.0212 0.0270 0.0213
0.0431 0.0276 0.0628 0.0142 0.0184 0.0184 0.0206 0.0285 0.0455 0.0316
0.0610 0.0440 0.0488 0.1853 0.0176 0.1086 0.1848 0.1148 0.0888 0.1352
0.0250 0.0318 0.0233 0.0444 0.0391 0.0273 0.0284 0.0251 0.0300 0.0327
0.0286 0.0212 0.0334 0.0408 0.0490 0.0285 0.0192 0.0328 0.0255 0.0285
0.0250 0.0152 0.0337 0.0361 0.0609 0.0251 0.0215 0.0232 0.0164 0.0199
0.0200 0.0190 0.0148 0.0085 0.0134 0.0037 0.0100 0.0072 0.0125 0.0089
0.0271 0.0163 0.0508 0.0223 0.0243 0.0175 0.0200 0.0222 0.0183 0.0164
0.0060 0.0290 0.0079 0.0195 0.0102 0.0063 0.0179 0.0093 0.0124 0.0159
0.0197 0.0237 0.0162 0.0078 0.0101 0.0078 0.0072 0.0117 0.0164 0.0116
0.0259 0.0243 0.0350 0.0214 0.0162 0.0287 0.0197 0.0182 0.0220 0.0182
0.0327 0.0220 0.0562 0.0391 0.0367 0.0416 0.0282 0.0220 0.0273 0.0232
0.0286 0.0204 0.0160 0.0180 0.0286 0.0165 0.0166 0.0227 0.0223 0.0168
0.0344 0.0349 0.0286 0.0255 0.0268 0.0377 0.0259 0.0254 0.0393 0.0317
0.0271 0.0185 0.0270 0.0105 0.0239 0.0140 0.0139 0.0153 0.0183 0.0144
0.0318 0.0370 0.0377 0.0793 0.0603 0.0582 0.0754 0.0901 0.0482 0.0735
0.0056 0.0472 0.0071 0.0692 0.0240 0.0104 0.0791 0.0421 0.0240 0.0456
0.0133 0.0242 0.0170 0.0039 0.0141 0.0080 0.0064 0.0097 0.0119 0.0090
0.0025 0.0497 0.0011 0.0024 0.0146 0.0057 0.0049 0.0072 0.0050 0.0048
0.1428 0.0123 0.0983 0.0292 0.1437 0.0613 0.0385 0.0402 0.0590 0.0387
0.0466 0.0199 0.0456 0.0200 0.1100 0.0479 0.0240 0.0331 0.0350 0.0290
0.0149 0.0271 0.0085 0.0076 0.0430 0.0101 0.0085 0.0079 0.0146 0.0101
0.0220 0.0230 0.0187 0.0123 0.0154 0.0294 0.0224 0.0182 0.0232 0.0203
0.0313 0.0244 0.0174 0.0125 0.0283 0.0238 0.0175 0.0259 0.0300 0.0213
0.0134 0.0324 0.0061 0.0100 0.0050 0.0116 0.0073 0.0117 0.0173 0.0133
0.0062 0.0311 0.0016 0.0024 0.0048 0.0036 0.0021 0.0038 0.0072 0.0053
0.0044 0.0340 0.0040 0.0022 0.0058 0.0029 0.0032 0.0036 0.0063 0.0043
0.0074 0.0491 0.0019 0.0063 0.0073 0.0221 0.0109 0.0105 0.0146 0.0125
相关系数矩阵:
std =
1.0000 -0.3444 0.8425 0.3603 0.7390 0.6215 0.4039 0.4967 0.6761 0.4689
-0.3444 1.0000 -0.4750 0.3096 -0.3539 0.1971 0.3571 0.2600 0.1570 0.3090
0.8425 -0.4750 1.0000 0.3358 0.5891 0.5056 0.3236 0.4456 0.5575 0.3742
0.3603 0.3096 0.3358 1.0000 0.1507 0.7664 0.9412 0.8480 0.7320 0.8614
0.7390 -0.3539 0.5891 0.1507 1.0000 0.4294 0.1971 0.3182 0.3893 0.2595
0.6215 0.1971 0.5056 0.7664 0.4294 1.0000 0.8316 0.8966 0.9302 0.9027
0.4039 0.3571 0.3236 0.9412 0.1971 0.8316 1.0000 0.9233 0.8376 0.9527
0.4967 0.2600 0.4456 0.8480 0.3182 0.8966 0.9233 1.0000 0.9201 0.9731
0.6761 0.1570 0.5575 0.7320 0.3893 0.9302 0.8376 0.9201 1.0000 0.9396
0.4689 0.3090 0.3742 0.8614 0.2595 0.9027 0.9527 0.9731 0.9396 1.0000
特征向量(vec)：
vec =
-0.1367 0.2282 -0.2628 0.1939 0.6371 -0.2163 0.3176 -0.1312 -0.4191 0.2758
-0.0329 -0.0217 0.0009 0.0446 -0.1447 -0.4437 0.4058 -0.5562 0.5487 0.0593
-0.0522 -0.0280 0.2040 -0.0492 -0.5472 -0.4225 0.3440 0.3188 -0.4438 0.2401 0.0067 -0.4176 -0.2856 -0.2389 0.1926 -0.4915 -0.4189 0.2726 0.2065 0.3403 0.0404 0.1408 0.0896 0.0380 -0.1969 -0.0437 -0.4888 -0.6789 -0.4405 0.1861
-0.0343 0.2360 0.0640 -0.8294 0.0377 0.2662 0.1356 -0.1290 0.0278 0.3782
0.2981 0.4739 0.5685 0.2358 0.1465 -0.1502 -0.2631 0.1245 0.2152 0.3644
0.1567 0.3464 -0.6485 0.2489 -0.4043 0.2058 -0.0704 0.0462 0.1214 0.3812
0.4879 -0.5707 0.1217 0.1761 0.0987 0.3550 0.3280 -0.0139 0.0071 0.3832
-0.7894 -0.1628 0.1925 0.2510 -0.0422 0.2694 0.0396 0.0456 0.1668 0.3799
特征值(val)
val =
0.0039 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0.0240 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0.0307 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0.0991 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0.1232 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0.2566 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0.3207 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0.5300 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 2.3514 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 6.2602
特征根排序：
6.26022
2.35138
0.530047
0.320699
0.256639
0.123241
0.0990915
0.0307088
0.0240355
0.00393387
各主成分贡献率：
newrate =
0.6260 0.2351 0.0530 0.0321 0.0257 0.0123 0.0099 0.0031 0.0024 0.0004
第一、二主成分的载荷：
0.690 1 -0.6427
0.148 3 0.8414
0.600 7 -0.6805
0.851 5 0.3167
0.465 6 -0.6754
0.946 3 0.0426
0.911 7 0.3299
0.953 7 0.1862
0.958 9 0.0109
0.950 6 0.2558
第一、二、三、四主成分的得分：
score =
0.718 5 0.049 9 0.768 4 2.0000
0.380 6 0.038 6 0.419 2 4.0000
0.184 8 -0.043 3 0.141 4 21.0000
0.118 6 0.031 1 0.149 7 20.0000
0.054 9 0.011 5 0.066 4 33.0000
0.228 8 0.007 0 0.235 8 7.000 0
0.2364 -0.0081 0.2283 10.0000
0.1778 -0.0167 0.1611 16.0000
0.2292 -0.0337 0.1955 14.0000
0.8382 0.1339 0.9721 1.0000
0.2276 0.0064 0.2340 8.0000
0.2279 -0.0222 0.2056 12.0000
0.1989 -0.0382 0.1607 18.0000
0.0789 -0.0061 0.0728 32.0000
0.1711 -0.0317 0.1394 23.0000
0.0926 0.0266 0.1192 25.0000
0.0900 -0.0000 0.0899 28.0000
0.1692 -0.0082 0.1610 17.0000
0.2441 -0.0318 0.2124 11.0000
0.1507 -0.0108 0.1399 22.0000
0.2316 0.0012 0.2328 9.0000
0.1294 -0.0211 0.1083 27.0000
0.4716 0.0328 0.5045 3.0000
0.2737 0.0834 0.3570 5.0000
0.0754 -0.0013 0.0741 31.0000
0.0448 0.0349 0.0797 30.0000
0.4759 -0.2028 0.2731 6.0000
0.2907 -0.0883 0.2024 13.0000
0.0944 -0.0118 0.0826 29.0000
0.1546 0.0035 0.1581 19.0000
0.1718 -0.0092 0.1626 15.0000
0.0865 0.0230 0.1095 26.0000
0.0349 0.0216 0.0566 35.0000
0.0343 0.0228 0.0572 34.0000
0.0889 0.0422 0.1310 24.0000