数学实验(线性代数、微积分、常微分方程、概率论与数理统计等).doc

内容简介

本书主要讲授大学工科数学课程中的线性代数、微积分、常微分方程、概率论与数理统计等重要数学方法用MATLAB软件的实现过程及其应用，内容分五个部分：第一部分为MATLAB软件使用简介，介绍MATLAB软件的基本内容；第二部分为线性代数实验，介绍用MATLAB软件求解线性方程组、计算矩阵特征值和特征向量、进行矩阵的相似对角化及矩阵分解的方法；第三部分为微积分实验，介绍用MATLAB软件进行符号微积分运算、数值微分和数值积分计算的方法；第四部分为常微分方程实验，介绍用MATLAB软件求解线性（非线性）微分方程（组）的解析解和数值解、进行动态仿真的方法；第五部分为概率论与数理统计实验，介绍用MATLAB软件进行随机变量的相关计算、随机数的产生及样本数据统计与可视化的方法。另外，针对具体内容介绍了相应的应用实例，以帮助学生逐步学会用所学知识去解决实际问题。每一章后附有一定量的实验题，以供学生课后上机练习及实验。
本书适用于理工科院校大学本、专科学生，以及具备工科数学知识和计算机知识的其他科技工作者。

前 言
“数学实验”是在数学应用于各个学科领域，特别是应用于工程技术领域的过程中产生的，是伴随着计算机的广泛使用和数学软件的有效开发而发展的，它着重体现了“用数学”和“实现数学”的理念。“用数学”是指应用数学理论知识解决相关领域中的实际问题；“实现数学”是指通过计算机及数学软件实现部分数学结果的理论推导和计算过程，使得抽象的数学内容直观化、可视化。
数学实验课程是大学工科数学课程教学改革与建设的主要成果之一，目前已在全国各高校广泛开设，并已成为大学工科数学课程的重要组成部分。数学实验课开设的主要目的是通过“数学实验”使学生深入理解数学基本概念和基础理论、熟悉并掌握常用的数学软件，培养学生应用数学知识并结合计算机工具解决实际问题的能力。数学实验课将数学知识与计算机应用有机地结合起来，以数学知识为背景、以数学软件为工具，为学生自觉学习数学方法、动手解决实际问题搭建了平台，对提高学生学习数学的兴趣、加强学生的数学理论基础、培养学生的开拓性思维等具有重要作用。
本书主要讲授大学工科数学课程中的线性代数、微积分、常微分方程、概率论与数理统计等重要数学方法用MATLAB软件的实现过程，内容分五个部分：第一部分为MATLAB软件使用简介，介绍功能强大的MATLAB软件的基本运行，变量、矩阵、数组及其运算，函数及语句和M文件的编写，以及绘图功能及数据的导入导出等。第二部分为线性代数实验，介绍用MATLAB软件求解线性方程组、计算矩阵特征值和特征向量以及进行矩阵相似对角化和矩阵分解的方法。第三部分为微积分实验，介绍用MATLAB软件进行符号微积分运算、数值微分、函数插值和数值积分计算的方法。第四部分为常微分方程实验，介绍用MATLAB软件求解线性（非线性）微分方程（组）的解析解和数值解、进行向量场绘制和动态仿真的方法。第五部分为概率论与数理统计实验，介绍用MATLAB软件进行随机变量相关计算、随机数的产生，及进行样本数据的统计描述与可视化的方法。另外，针对具体方法介绍了相应的应用实例，所以更有利于培养学生“用数学”的意识和能力。
本书的主要阅读对象是理工科院校本专科学生。数学实验课对学生后继课程的学习，特别是学生在课程设计和毕业设计等环节中的学习和研究具有重要帮助，提供思想和方法的指导。本课程也将为学生进一步学习数学建模、参加数学建模竞赛、利用数学方法解决各个领域中的实际问题打下良好的基础。
本书由陈东彦老师组织编写，主要由刘凤秋、李善强、曹作宝编写，牛犇、宋显华、孙伟参与了部分内容的编写，田广悦老师对书中各部分内容的选编给与了很多具体的指导。由于缺乏经验、水平有限，书中难免有不妥之处，希望同行专家及广大读者批评指正！
编者

目 录
内容简介 1
前 言 2
第1章 MATLAB软件使用简介 8
1.1 MATLAB软件使用入门 8
1.1.1 MATLAB启动/退出 8
1.1.2 MATLAB操作的注意事项及常用技巧 11
1.1.3 MATLAB帮助 11
1.2 MATLAB的变量和表达式 13
1.3 MATLAB矩阵创建及其运算 16
1.3.1 MATLAB矩阵的创建 16
1.3.2 MATLAB矩阵的运算 18
1.4 M文件的编写与调用 21
1.4.1 文件的操作 22
1.4.2 命令文件 23
1.4.3 函数文件 24
1.5 MATLAB编程 25
1.5.1 MATLAB常用的程序控制语句 25
1.5.2 MATLAB编程应用 30
1.6 MATLAB基本绘图 32
1.6.1二维图形的绘制 32
1.6.2 三维图形的绘制 38
1.7 MATLAB数据的导入与导出 41
1.7.1 导入数据 41
1.7.2 导出文本文件 44
1.7.3 对MS-Excel电子表格文件的操作 46
实验 1 48
第2章 线性代数实验 50
2.1 线性方程组的求解 50
2.1.1 MATLAB中矩阵的相关运算 50
2.1.2 线性方程组的求解 52
2.1.3 应用实例 56
2.2 矩阵的特征值与特征向量及其相似对角化 59
2.2.1 矩阵的特征值与特征向量 59
2.2.2 矩阵的相似对角化 61
2.2.3 应用实例 64
2.3 矩阵的分解 68
2.3.1 矩阵的LU分解 68
2.3.2 矩阵的QR分解 69
2.3.3 矩阵的Cholesky分解 70
2.3.4 矩阵的奇异值分解 71
2.3.5* 矩阵的Hessenberg分解 74
2.3.6* 矩阵的Schur分解 75
实验 2 77
第3章 微积分实验 80
3.1 微积分符号运算 80
3.1.1 符号变量与符号表达式 80
3.1.2 符号函数的极限 81
3.1.3 符号函数的微分 83
3.1.4 符号函数的积分 88
3.1.5 符号函数的求和与泰勒多项式 91
3.1.6 应用实例 93
3.2 数值微分 95
3.2.1 数值微分计算方法 95
3.2.2 数值微分的MATLAB实现 97
3.2.3 应用实例 97
3.3 函数插值 98
3.3.1 拉格朗日插值 99
3.3.2 函数插值的MATLAB实现 100
3.3.3 应用实例 103
3.4 数值积分 106
3.4.1 数值积分计算方法 106
3.4.2 误差估计和收敛性 113
3.4.3 数值积分的MATLAB实现 114
3.4.5 应用实例 120
3.5* 二次曲面与曲面交线的绘制 122
3.5.1 二次曲面 122
3.5.2 空间两曲面的交线 124
实验 3 127
第4章 常微分方程实验 129
4.1 常微分方程及其模型 129
4.1.1 常微分方程的基本概念 129
4.1.2 常微分方程模型 131
4.2 常微分方程解析解的MATLAB实现 133
4.3 常微分方程数值解及其MATLAB实现 136
4.3.1 数值解的Euler法 137
4.3.2 数值解的Runge-Kutta法 140
4.3.3 常微分方程数值解的MATLAB实现 142
4.4* 向量场绘图及Simulink在求解微分方程上的应用 147
4.4.1 向量场绘图 147
4.4.2. Simulink应用 148
实验 4 158
第5章 概率论与数理统计实验 160
5.1 随机变量及概率分布 160
5.1.1 概率密度函数值的计算 161
5.1.2 概率密度函数的可视化 164
5.1.3 分布函数的计算 168
5.1.4 逆累积分布函数的计算 170
5.1.5 随机变量数字特征的计算 173
5.2 随机数的产生及应用 175
5.2.1随机数的产生 175
5.2.2应用实例 178
5.3 样本的统计描述 181
5.3.1 样本的统计量及其计算 181
5.3.2 样本的分布及其可视化 188
5.3.3 应用实例 194
5.4 参数估计与假设检验 198
5.4.1 参数估计及其MATLAB实现 198
5.4.2 假设检验及其MATLAB实现 201
5.4.3 应用实例 204
实验 5 207
附 录 209
附表1-1 常用三角函数表 209
附表1-2 常用计算函数 209
附表1-3 文件操作函数表 210
附表5-1 常见分布概率密度函数表 210
附表5-2 常见分布函数表 212
附表5-3 专用函数计算概率密度函数表 213
附表5-4 专用函数计算累积概率值函数表 214
附表5-5 常用临界值函数表 215
附表5-6 常见分布的均值和方差 215
附表5-7 随机数产生函数表 216
附表5-8 参数估计函数表 217
参考文献 219

第1章 MATLAB软件使用简介
MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，由美国MathWorks公司出品，与Mathematica、Maple并称为三大数学软件。MATLAB是一个功能强大的常用数学软件，它不但可以解决数学中的数值计算问题，而且可以解决符号演算、矩阵运算、绘制图形、实现算法、创建用户界面和连接其它编程语言的程序等问题，并且能够方便地绘出各种函数图形。MATLAB主要应用于工程计算、控制设计、信号与图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。它使用方便，输入简洁，并且很容易由用户自行扩展，因此已成为国内外许多大学教学和科学研究中最常用且必不可少的工具。
不同的操作系统有相应的MATLAB版本，本书介绍Windows操作系统下的MATLAB 7.1版本的基本使用。
1.1 MATLAB软件使用入门
1.1.1 MATLAB启动/退出
1. 启动MATLAB
Windows 版本的MATLAB按照安装光盘中的安装说明成功安装后，系统会在Windows【开始】菜单的【程序】子菜单中加入启动MATLAB命令的图标，用鼠标单击此图标就可启动MATLAB系统，如图1.1。

图1.1 启动MATLAB
启动MATLAB后，就可以进入MATLAB的工作环境。首先出现MATLAB的图标，接着就进入了其默认的桌面系统如图1.2。
图1.2是MATLAB桌面系统的默认界面（通过更改Desktop菜单里的选项可以组合不同的窗口模式）。左上视窗为当前目录（Current Directory），可切换为工作空间（Workspace）；其左下视窗为历史命令（Command History），可切换为当前目录（Current Directory）；右半个视窗为命令窗口（Command Window），命令窗口是用户与MATLAB进行人机交互的主要环境，在此可输入命令或执行M文件，>>是命令窗口的提示符，可以在它后面输入命令或输入语句。

图1.2 MATLAB界面
2．MATLAB基本演示
下面通过三个实例来初步了解MATLAB的操作和功能。
例1.1计算，并输出的值。
>>x1=sqrt(2), x2=pi↙
x1 =
1.4142
x2 =
3.1416
思考题1：例1.1中的变量x1和x2中间 “,”能否去掉，请验证你的结果？
注：MATLAB在提示符>>后的每一行输入后需要输入↙，即Enter键（回车）。
例1.2绘制在区间，上的图形。
>> [X,Y]=meshgrid(-8:0.5:8); ↙
>>R=sqrt(X.^2+Y.^2)+eps; ↙
>>Z=sin(R)./R; ↙
>>surf(X,Y,Z) ↙ % surf函数绘制由矩阵X，Y，Z所确定的曲面
输出图像如图1.3所示：

图1.3 直角坐标的图形
例1.3 极坐标绘图演示。
>>t=0:0.01:2*pi; ↙
>>polar(t,sin(6*t)) ↙ % 图1.4

图1.4 极坐标绘图
3. 退出MATLAB
若要退出MATLAB，只需用鼠标点击其系统集成界面右上角的关闭按钮，或者在命令窗口输入exit或quit命令即可。
1.1.2 MATLAB操作的注意事项及常用技巧
1. 注意事项
（1）在命令窗口工作区中输入MATLAB命令后，须按下Enter键，MATLAB才能执行所输入的命令，否则不执行该命令。
（2）MATLAB区分字母大小写。
（3）一般情况下，在命令窗口中输入一个命令并按下Enter键，计算机会显示此次输入的执行结果。为了简便，在后续的章节中我们将不再显示↙符号。
（4）如果用户不想显示输入的结果，只要在所输命令的后面加上一个分号“;”即可。如：
>>x= 2 + 3 ↙
x=
5
>>x= 2 + 3 ; ↙
（5）可以在某一行结尾处键入3个英文句号“…”实现续行的目的。如：
>>q=5^6+sin(pi)+exp(3)+(1+2+3+4+5)/sin(x)...
-5*x+1/2-567/(x+y)
（6）MATLAB中的变量必须为字母、数字及某些符号组合，某些情况也允许输入汉字，但标点符号必须是英文状态下的标点符号。
（7）MATLAB中不需要专门定义变量类型，系统会自动根据表达式的值或输入的值来确定变量的数据类型。
（8）命令行与M文件中的注释语句都以百分号“%”开始；语句行中百分号后面的该行内容将被忽略而不被执行，在M文件中%后面的语句可以用help命令显示出来。
2. 常用技巧
特殊的功能键如下：
（1）ESC恢复当前命令输入前的空白状态。
（2）↑调出上一行命令。
（3）↓调出下一行命令。
其中，↑为键盘中的向上键，↓为键盘中的向下键。后两个功能键在程序调试时很有用。在MATLAB实际使用中，往往需要对刚执行过的命令进行修改后重新执行，为了避免重复输入，可用↑调出原命令后再做修改。
1.1.3 MATLAB帮助
MATLAB的离线帮助文件内容丰富，是学习MATLAB的最佳资料，学习MATLAB首先要学会MATLAB帮助的使用。
在命令窗口中输入help命令或直接用鼠标左键单击菜单中的Help按钮（快捷键F1），可以打开如图1.5所示的帮助窗口。

图1.5 MATLAB帮助窗口
图1.5中左上角有四个可以切换的选项页，分别为Contents，Index，Search和Demos，可以根据需要打开相应的选项页查找所需的信息。当遇见一个新的函数时，可通过Search来进行查找其功能及详细用法。Demos提供了大量的演示文件，也为初学者提供帮助。MATLAB还提供了在线帮助功能，但用户需要连接网络。
下面介绍一下通过Search来查找sin函数。进入帮助界面后选中Search选项页进入下一界面并在后面空白处输入sin，点击Go按钮就会看到如图1.6的结果。

图1.6 MATLAB中的Seacrch for 搜索功能
还可以在命令窗口直接输入查找命令，例如
>> help sin ↙
SIN Sine.
SIN(X) is the sine of the elements of X.
See also asin, sind.
Overloaded functions or methods (ones with the same name in other directories)
help sym/sin.m
Reference page in Help browser
doc sin
借助于MATLAB提供的帮助系统，可以解决在使用MATLAB过程中遇到的许多问题。
1.2 MATLAB的变量和表达式
1. MATLAB变量命名规则
（1）MATLAB中变量名可以包含字母、数字及下划线，但必须以字母开头，后面最多跟63个字母或数字，如x，y，asd_f，d3er45等都是合法的变量名。
（2）变量名区分大小写，如ab与Ab表示两个不同的变量。
（3）注意不要用MATLAB中的内部函数或命令名作为变量名。如果内部函数用作变量名，内部函数将失效。
2. 与工作空间中的变量有关的函数
1）列出变量
函数：who
功能：列出当前工作空间中的变量，且内存中的当前变量以简单形式列出
函数：whos
功能：列出当前内存变量的名称、大小、类型等信息
2）清除变量
函数：clear
功能：清除工作空间中的所有变量，用于释放系统内存
函数：clear all
功能：清除函数工作空间和基本工作空间的所有函数变量，全局变量和类
函数：clc
功能：清除命令窗口
3. MATLAB的运算符
1）数学运算符
+（加号），-（减号），*（乘号），\（左除），/ (右除）， ^（乘幂）
2）关系运算符
<（小于），>（大于），<= (小于等于），>=（大于等于），= =（等于），
~=（不等于）
3）逻辑运算符
&（逻辑与运算），|（逻辑或运算），~（逻辑非运算）
例1.4 已知矩阵，，对其做简单的关系与逻辑运算。
>>A=[1, 2; 1, 2];
>>B=[1, 1; 1 ,2];
>>C=(A<B) & (A==B)
C=
0 0
0 0
4. MATLAB的表达式
MATLAB的表达式是由常量、变量、函数和运算符组成的有意义的式子。MATLAB语句由变量、表达式及MATLAB命令组成，用户输入的语句由MATLAB 系统解释后运行。常见的MATLAB语句有两种格式：
格式1：表达式
格式2：变量=表达式
其中，系统自动将格式1中的表达式的运行结果赋值给内部变量ans，并在屏幕上输出；在格式2中，系统将表达式的运行结果赋给了变量。
例1.5 用两种形式计算算术运算结果。
>>5^6+sin(pi)+exp(3) %计算结果赋给默认变量ans
ans =
1.5645e+004 %即为1.5645×104
>>a=5^6+sin(pi)+exp(3) %计算结果赋给变量a
a =
1.5645e+004
>>a=5^6+sin(pi)+exp(3)；
即如果在表达式后面加“；”，则执行后不显示运算结果。
例1.5中的正弦、指数函数是MATLAB自带的函数。MATLAB中还有很多类似的函数，常用的函数详见附录中的附表1-1和1-2。
5. MATLAB的数据显示
MATLAB系统中数值数据的存储和计算默认都是双精度，如果需要可以利用format命令来调整数据的显示格式。
MATLAB默认显示格式为format loose（松散格式），屏幕的显示会有一些空行，占用更大的篇幅，因此可以在命令语句输入前，输入显示格式命令format compact（紧凑格式）。
此外，format命令还可以用于控制数字显示的方式，例如format rat表示此后的数据显示为近似的有理数。
下面是format用于控制浮点变量的输出精度的八种格式，如表1.1所示。
表1.1 format用于浮点数的八个格式
类型
结果
例子
format short
固定5个小数的输出
3.1416
format long
固定15个小数的输出
3.14159265358979
format short e
带有5位精度的浮点格式
3.1416e+000
format longt e
带有15位精度的浮点格式
3.141592653589793e+002
format short g
带有5位数的最佳的定点数或浮点数
3.1416
format long g
带有15位数用于显示double、7位用于显示single的最佳的定点数或浮点数
3.14159265358979
format short eng
工程格式，至少5个有效小数和幂为3的数
3.1416e+007
format long eng
工程格式，正好有16位有效数字和幂为3的倍数
3.14159265358979e+081
例1.6 分别用五位定点、十五位定点及有理数形式将表示出来。
>>a=5+sin(7)；
>>format short , a
a =
5.6570
>>format long, a
a =
5.65698659871879
>>format rat, a
a =
3117/551
6. MATLAB中的常量
在MATLAB中有些变量是固有的，在使用时注意轻易不要对这些变量重新赋值以免出现错误。一些常见变量及具体意义见表1.2。
表1.2 MATLAB中常量
常量符号
常量含义
i 或j
虚数单位，定义为i2=j2=-1
Inf 或inf
正无穷大，由零做除数引入此常量
NaN
不定式，表示非数值量，产生于0/0，∞/∞，0*∞等运算
pi
圆周率π的双精度表示
eps
容差变量，PC上此值为2^-52
realmin
最小浮点数，2^-1022
realmax
最大浮点数，2^1023
1.3 MATLAB矩阵创建及其运算
MATLAB的基本运算单位是矩阵，能否熟练掌握矩阵的输入、各种数值运算以及矩阵函数的使用是能否学好MATLAB的关键。
1.3.1 MATLAB矩阵的创建
1. 通过输入直接创建矩阵
输入方法是先键入左方括号“[”，然后按行直接键入矩阵的所有元素，最后键入右方括号“]”。注意：整个矩阵以“[”和“ ]”作为首尾，同行的元素用“,”或空格隔开，不同行的元素用“;”或按Enter键来分隔；矩阵的元素可以是数字或表达式。
例1.7 直接输入创建矩阵。
>>A = [1, 2, 3; 4, 15, 60; 7, 8, 9]
A =
1 2 3
4 15 60
7 8 9
>> A=[1, 2, 3
4, 15, 60
7, 8, 9]
A =
1 2 3
4 15 60
7 8 9
2. 相关函数创建矩阵
MATLAB提供了若干函数来创建一些特殊矩阵，见表1.3。
表1.3 生成特殊矩阵的相关函数
函数名称
函数功能
函数名称
函数功能
zeros(m, n)
m行n列零矩阵
randn(m, n)
m行n列正态分布随机矩阵
eye(n)
n阶单位矩阵
magic(n)
n阶魔方矩阵
ones(m, n)
m行n列元素为1的矩阵
rand(m, n)
m行n列均匀分布随机矩阵
例1.8 创建矩阵。
>>ones(3) %生成元素都为1的3阶方阵
ans=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
例1.9 创建矩阵。
>>zeros(2, 5) %生成元素都为0的2行5列零矩阵
ans=
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
例1.10 生成3阶魔方矩阵。
>>magic(3)
ans=
8 1 6
3 5 7
4 9 2
3. 冒号操作符“:”
j: k表示生成步长为1的等差数列构成的数组：[j, j+1, j+2,…,k]；
j: i: k表示生成步长为i的等差数列构成的数组：[j, j+i, j+2*i,…,k]；
例1.11 等差数列的生成。
>>1:5 %步长为1的等差数列
ans =
1 2 3 4 5
>>linspace(1, 5, 5) %给出区间[1, 5]的5个等分点数据
ans=
1 2 3 4 5
>>1:2:7 %步长为2的等差数列
ans=
1 3 5 7
>>8:-2:0 %步长为-2的等差、递减数列
ans=
8 6 4 2 0
1.3.2 MATLAB矩阵的运算
1. MATLAB矩阵元素操作
下面介绍矩阵元素的抽取与赋值、矩阵扩充、矩阵元素的删除等操作。详细用法见表1.4。
1）矩阵元素的抽取与赋值
例1.12 已知矩阵，抽取与修改的一些元素。
>>A=[1 23 56; sin(3) 7 9; log(2) 6 1] % 输入矩阵A
A =
1.0000 23.0000 56.0000
0.1411 7.0000 9.0000
0.6931 6.0000 1.0000
>>A(2, 3) %抽取矩阵A的第二行第三列元素
ans=
9
>>A(4) %抽取矩阵A(:)的第四个元素
ans=
23
>>A(2: 4) %抽取矩阵A(:)的第二、三、四个元素
ans=
0.1411 0.6931 23.0000
>>A(1, :) %抽取矩阵A的第一行
ans=
1 23 56
>>A(:, 3) %抽取矩阵A的第三列
ans=
56
9
1
>>a=A(1, 3) % 把矩阵A的第一行第三列元素赋值给变量a
a =
56
>>A(2, 1)=100 % 把矩阵A的第二行第一列元素修改为100
A =
1.0000 23.0000 56.0000
100.0000 7.0000 9.0000
0.6931 6.0000 1.0000
>>B=A([3,1],[2,3])
B =
6 1
23 56
2）矩阵的扩充
例1.13 已知矩阵，，利用与生成矩阵
，和。
>> A=[1, 3; 6, 9]; %输入矩阵A
>> C= A;
>> C(1, 3)=100; %把矩阵A扩充为2行3列矩阵
>> C
C =
1 3 100
6 9 0
>> B=[1, 5; 0, 8]; %输入矩阵B
>> D=[A, B] %由矩阵A与B合成矩阵D
>> D =
1 3 1 5
6 9 0 8
>> F=[A, zeros(2); zeros(2), B] %矩阵A与B合成分块矩阵F
F =
1 3 0 0
6 9 0 0
0 0 1 5
0 0 0 8
3）矩阵部分元素的删除
例1.14 已知矩阵，删除的第一行。
>>A=[1 23 56; sin(3) 7 9; log(2) 6 1];
>>A(1, :)=[ ] %删出A的第一行
A =
0.1411 7.0000 9.0000
0.6931 6.0000 1.0000
表1.4 矩阵元素的操作
用法
功能
A(i, j)
矩阵A的第i行第j列元素
A(:, j)
矩阵A的第j列
A(i, :)
矩阵A的第i行
A(:, :)
矩阵A的所有元素构造一个2维矩阵
A(:)
矩阵A的所有元素按列构造一个列矩阵
A(i)
矩阵A(:)的第i个元素
A(i: j)
矩阵A(:)的第i个到j个元素构成的向量
[ ]
空矩阵
A([i,j],[k,l])
取出矩阵A的第i，j行及第k，l列交点上的元素
2. 矩阵的基本运算
A+B：矩阵加法
A-B：矩阵减法
A*B：矩阵乘法
A\B：矩阵的左除
A/B：矩阵的右除
transpose(A)或A'：A的转置
k*A：数k乘以A
矩阵A的n次幂：A^n
矩阵的点幂：.^
其中，矩阵的左除“＼”和右除“／”。如果矩阵A是非奇异方阵，则A\B等于A的逆矩阵乘B，即inv(A)*B；同理B/A等于B乘A的逆矩阵，即B*inv(A)。具体计算时可不用逆矩阵而直接计算。右除B/A也可由 (A'\B')'来实现。
例1.15 已知矩阵，，求和。
>> A=[1 2 3; 4 5 6]; B=[3 2 1; 6 5 4];
>> C=A+B
C =
4 4 4
10 10 10
>> C=A.^B
C =
1 4 3
4096 3125 1296
注：点和算术运算符之间不能有空格。
例1.16 已知，，求，和。
>>X=[1 2 3]; Y=[4 5 6];
>> X.^2
ans =
1 4 9
>>2 .^X
ans =
2 4 8
>>2 .^[X; Y]
ans =
2 4 8
16 32 64
例1.17 矩阵，求的3次幂。
>> syms a;
>> A=[a 0 1; 0 a 3; 0 a 2];
>> A^3
ans =
[ a^3, 2*a^2+2*a, a*(a+2)+4+3*a]
[ 0, a*(a^2+3*a)+3*a^2+6*a, 12+a*(6+3*a)+9*a]
[ 0, a*(a^2+3*a)+2*a^2+4*a, 8+a*(6+3*a)+6*a]
注：当矩阵中含有未知变量时，需要用syms声明未知变量，否则会出现“??? Undefined function or variable 'a'”的错误提示。
列于表1.5中的其它的矩阵相关运算函数将在第二章中做详细介绍。
表1.5 矩阵的其它相关运算
函数名称
函数功能
函数名称
函数功能
rank(A)
求A的秩
rref(A)
求A的行最简形
eig(A)
求A的特征值及特征向量
inv(A)
求A的逆矩阵
poly(A)
求A的特征多项式
det(A)
求A的行列式
trace(A)
求A的迹
norm(A, 1)
求A的1范数
cond(A)
求A的条件数

1.4 M文件的编写与调用
在初学阶段，通常在命令窗口中输入MATLAB语句。输入一行命令后系统立即执行该命令，这种方式称为命令窗口下的命令行方式。用命令行方式编写的程序可读性差且不易存储。因而，对于相对复杂问题的求解，一般先编写成可存储的程序文件，然后在MATLAB中执行该程序文件，这种方式称为程序文件方式。
由MATLAB语句组成的程序文件类型是M文件，M文件的扩展名为m。M文件可分为两种形式：一种是命令文件或脚本文件（script file），是用户为解决特定的问题而编制的。另一种是函数文件（function file），通常被其它M文件调用。它们都是由若干MATLAB语句或命令组成的文件。要注意在编写M文件时，M文件名一定以字母开头，且不要与内置函数重名。
1.4.1 文件的操作
MATLAB类型文件的打开、关闭和保存等操作与Word非常相似。新建M文件的操作是在命令窗口中选择FileNewM-File（见图1.7），然后用鼠标单击M-File，打开了MATLAB中的“M函数与M文件编辑器”（见图1.8），用户可以在该编辑窗口中编辑一个新的M文件。此编辑器还可以用来对已存在的M文件进行编辑、调试和运行。实际上，M文件也可用其它文本编辑器来建立、编辑。

图1.7 新建M文件

图1.8 M函数与M文件编辑器（编辑窗口）
M文件有三种运行方式：一是在命令窗口中直接键入文件名，按Enter键; 二是在编辑窗口中打开菜Tools，再单Run(快捷键F5)；三是直接单击工具栏中的Run图标。M文件保存的路径一定要在其设置的搜索路径上，否则MATLAB找不到此文件，导致无法运行。后面的例题如果不特别说明，都是以第一种方式运行的。
在M文件中，当表达式后面接分号时，与命令行方式的语句一样，表达式的计算结果不显示，但中间结果仍保存在内存中。
1.4.2 命令文件
命令文件（也称脚本文件）的一般形式为：<文件名>.m，如a1.m，pp.m等都是合法的M文件名。
命令文件的格式特征如下：
（1）用clear，close all等语句开始，清除工作空间中原有的变量和图形，以避免其它已执行程序所残留数据对当前程序的影响。
（2）前几行通常是注释行，用于对此程序用途的说明，特别是在运行时对用户输入数据的要求，更要叙述清楚，否则程序的可读性将很差。这些注释行必须以%开始（这与C语言中的/* */类似），此后程序运行时将忽略%后的该行内容。MATLAB规定可以通过输入“help 文件名”来输出该文件中的所有注释。
（3）程序的主体。如果文件中有全局变量，即可以在子程序即函数文件和主程序命令文件中共用的变量，应在程序的起始部分注明。其语句是
global 变量名1 变量名2 ……
为了改善程序的可读性，应注重语句的缩进及与end的对应关系。在程序中有时误操作输入中文符号，可能导致程序无法运行，MATLAB用红色标注有问题的语句。因而在输入程序中，要注意中英文的切换。
（4）命令文件常会调用用