2021年全国高考甲卷数学(理)试题(解析版).doc
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1、 绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试(甲卷)理科数学注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 设集合,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为,所以,故选:B.【点睛】本题考查集合的运算,属基础题,在高考中
2、要求不高,掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2. 为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( )A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D. 估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【解析】【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率,即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率,然后求和即得到样本
3、的平均数的估计值,也就是总体平均值的估计值,计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确;该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确;该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确;该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元),超过6.5万元,故C错误.综上,给出结论中不正确的是C.故选:C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值,属基础题,样本的频率可作为总体的频率的估计值
4、,样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值,可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于.3. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知得,根据复数除法运算法则,即可求解.【详解】,.故选:B.4. 青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为( )()A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6【答案】C【解析】分析】根据关系,当时,求出,再用指数表示,即可求解.【详
5、解】由,当时,则.故选:C.5. 已知是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且,则C的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件,表示出,结合余弦定理可得答案.【详解】因为,由双曲线的定义可得,所以,;因为,由余弦定理可得,整理可得,所以,即.故选:A【点睛】关键点睛:双曲线的定义是入手点,利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.6. 在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G该正方体截去三棱锥后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出
6、几何体的直观图,结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图,如图所示,所以其侧视图为故选:D7. 等比数列的公比为q,前n项和为,设甲:,乙:是递增数列,则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】【分析】当时,通过举反例说明甲不是乙的充分条件;当是递增数列时,必有成立即可说明成立,则甲是乙的必要条件,即可选出答案【详解】由题,当数列时,满足,但是不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件若是递增数列,则必有成立,若不成立,则会出现一正一负的情况,是矛盾的,则成立
7、,所以甲是乙的必要条件故选:B【点睛】在不成立的情况下,我们可以通过举反例说明,但是在成立的情况下,我们必须要给予其证明过程8. 2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影满足,由C点测得B点的仰角为,与的差为100;由B点测得A点的仰角为,则A,C两点到水平面的高度差约为()( )A. 346B. 373C. 446D. 473【答案】B【解析】【分析】通过做辅助线,将已知所求量转化到一个三角形中,借助正弦定理,求得,进而得
8、到答案详解】过作,过作,故,由题,易知为等腰直角三角形,所以所以因为,所以在中,由正弦定理得:,而,所以,所以故选:B【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为9. 若,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得,再结合已知可求得,利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】,解得,.故选:A.【点睛】关键点睛:本题考查三角函数的化简问题,解题的关键是利用二倍角公式化简求出.10. 将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】采用插空法,4个1产生5个空,分2个0相邻和2个0不相
9、邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行,可利用插空法,4个1产生5个空,若2个0相邻,则有种排法,若2个0不相邻,则有种排法,所以2个0不相邻的概率为.故选:C.11. 已如A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且,则三棱锥的体积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题可得为等腰直角三角形,得出外接圆的半径,则可求得到平面的距离,进而求得体积.【详解】,为等腰直角三角形,则外接圆的半径为,又球的半径为1,设到平面的距离为,则,所以.故选:A.【点睛】关键点睛:本题考查球内几何体问题,解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.12
10、. 设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,若,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过是奇函数和是偶函数条件,可以确定出函数解析式,进而利用定义或周期性结论,即可得到答案【详解】因为是奇函数,所以;因为是偶函数,所以令,由得:,由得:,因为,所以,令,由得:,所以思路一:从定义入手所以思路二:从周期性入手由两个对称性可知,函数的周期所以故选:D【点睛】在解决函数性质类问题的时候,我们通常可以借助一些二级结论,求出其周期性进而达到简便计算的效果二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】先验证点在曲线上,再求
11、导,代入切线方程公式即可【详解】由题,当时,故点在曲线上求导得:,所以故切线方程为故答案为:14. 已知向量若,则_【答案】.【解析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标,利用向量的数量积为零求得的值【详解】,,解得,故答案为:.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,平面向量垂直的条件,属基础题,利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.15. 已知为椭圆C:两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为_【答案】【解析】【分析】根据已知可得,设,利用勾股定理结合,求出,四边形面积等于,即可求解.【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点,且,所以四边形为矩形,设,则,所
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