2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(含解析版).doc
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1、2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)1(5分)设z=,则z的共轭复数为()A1+3iB13iC1+3iD13i2(5分)设集合M=x|x23x40,N=x|0x5,则MN=()A(0,4B0,4)C1,0)D(1,03(5分)设a=sin33,b=cos55,c=tan35,则()AabcBbcaCcbaDcab4(5分)若向量、满足:|=1,(+),(2+),则|=()A2BC1D5(5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A60种B70种C75种D150种6(5分)已知椭圆C:
2、+=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若AF1B的周长为4,则C的方程为()A+=1B+y2=1C+=1D+=17(5分)曲线y=xex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2eBeC2D18(5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()AB16C9D9(5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上,若|F1A|=2|F2A|,则cosAF2F1=()ABCD10(5分)等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lgan的前8项和等于()A6B5C4D311(5分)已知二面角l为60,AB
3、,ABl,A为垂足,CD,Cl,ACD=135,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()ABCD12(5分)函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称,则y=f(x)的反函数是()Ay=g(x)By=g(x)Cy=g(x)Dy=g(x)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13(5分)的展开式中x2y2的系数为 (用数字作答)14(5分)设x、y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为 15(5分)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线,若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于 16(5分)若函数f(x)=cos2x+asinx在区间(,)是
4、减函数,则a的取值范围是 三、解答题17(10分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B18(12分)等差数列an的前n项和为Sn,已知a1=13,a2为整数,且SnS4(1)求an的通项公式;(2)设bn=,求数列bn的前n项和Tn19(12分)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,ACB=90,BC=1,AC=CC1=2()证明:AC1A1B;()设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1ABC的大小20(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5
5、、0.4,各人是否需使用设备相互独立()求同一工作日至少3人需使用设备的概率;()X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望21(12分)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|()求C的方程;()过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程22(12分)函数f(x)=ln(x+1)(a1)()讨论f(x)的单调性;()设a1=1,an+1=ln(an+1),证明:an(nN*)2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)参考答案与试题解析一
6、、选择题(本大题共12小题,每小题5分)1(5分)设z=,则z的共轭复数为()A1+3iB13iC1+3iD13i【考点】A1:虚数单位i、复数;A5:复数的运算菁优网版权所有【专题】5N:数系的扩充和复数【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简,则z的共轭可求【解答】解:z=,故选:D【点评】本题考查复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题2(5分)设集合M=x|x23x40,N=x|0x5,则MN=()A(0,4B0,4)C1,0)D(1,0【考点】1E:交集及其运算菁优网版权所有【专题】5J:集合【分析】求解一元二次不等式化简集合M,然后直接利用交集运算求解【解答】解:由x
7、23x40,得1x4M=x|x23x40=x|1x4,又N=x|0x5,MN=x|1x4x|0x5=0,4)故选:B【点评】本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题3(5分)设a=sin33,b=cos55,c=tan35,则()AabcBbcaCcbaDcab【考点】HF:正切函数的单调性和周期性菁优网版权所有【专题】56:三角函数的求值【分析】可得b=sin35,易得ba,c=tan35=sin35,综合可得【解答】解:由诱导公式可得b=cos55=cos(9035)=sin35,由正弦函数的单调性可知ba,而c=tan35=sin35=b,cba故选:C【点评】本题考
8、查三角函数值大小的比较,涉及诱导公式和三角函数的单调性,属基础题4(5分)若向量、满足:|=1,(+),(2+),则|=()A2BC1D【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】5A:平面向量及应用【分析】由条件利用两个向量垂直的性质,可得(+)=0,(2+)=0,由此求得|【解答】解:由题意可得,(+)=+=1+=0,=1;(2+)=2+=2+=0,b2=2,则|=,故选:B【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量垂直,则它们的数量积等于零,属于基础题5(5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A60种
9、B70种C75种D150种【考点】D9:排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】5O:排列组合【分析】根据题意,分2步分析,先从6名男医生中选2人,再从5名女医生中选出1人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案【解答】解:根据题意,先从6名男医生中选2人,有C62=15种选法,再从5名女医生中选出1人,有C51=5种选法,则不同的选法共有155=75种;故选:C【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同6(5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若AF1B的周长为4,则C的方程为(
10、)A+=1B+y2=1C+=1D+=1【考点】K4:椭圆的性质菁优网版权所有【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用AF1B的周长为4,求出a=,根据离心率为,可得c=1,求出b,即可得出椭圆的方程【解答】解:AF1B的周长为4,AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,4a=4,a=,离心率为,c=1,b=,椭圆C的方程为+=1故选:A【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题7(5分)曲线y=xex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2eBeC2D1【考点】62:导数及其几何意义菁优网版权所有【
11、专题】52:导数的概念及应用【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率【解答】解:函数的导数为f(x)=ex1+xex1=(1+x)ex1,当x=1时,f(1)=2,即曲线y=xex1在点(1,1)处切线的斜率k=f(1)=2,故选:C【点评】本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础8(5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()AB16C9D【考点】LG:球的体积和表面积;LR:球内接多面体菁优网版权所有【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离【分析】正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高P
12、O1上,记为O,求出PO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积【解答】解:设球的半径为R,则棱锥的高为4,底面边长为2,R2=(4R)2+()2,R=,球的表面积为4()2=故选:A【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题9(5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上,若|F1A|=2|F2A|,则cosAF2F1=()ABCD【考点】KC:双曲线的性质菁优网版权所有【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线的定义,以及余弦定理建立方程关系即可得到结论【解答】解:双曲线C的离心率为2,e=,即c=2a,点A在双曲线上,则|F1A
13、|F2A|=2a,又|F1A|=2|F2A|,解得|F1A|=4a,|F2A|=2a,|F1F2|=2c,则由余弦定理得cosAF2F1=故选:A【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算,利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键,考查学生的计算能力10(5分)等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lgan的前8项和等于()A6B5C4D3【考点】89:等比数列的前n项和菁优网版权所有【专题】54:等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10再利用对数的运算性质即可得出【解答】解:数列an是等比数列,a4=2,a5=5,a1a8=a2a7=a3
14、a6=a4a5=10lga1+lga2+lga8=lg(a1a2a8)=4lg10=4故选:C【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质,属于基础题11(5分)已知二面角l为60,AB,ABl,A为垂足,CD,Cl,ACD=135,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()ABCD【考点】LM:异面直线及其所成的角菁优网版权所有【专题】5G:空间角【分析】首先作出二面角的平面角,然后再构造出异面直线AB与CD所成角,利用解直角三角形和余弦定理,求出问题的答案【解答】解:如图,过A点做AEl,使BE,垂足为E,过点A做AFCD,过点E做EFAE,连接BF,AElEAC=90CDAF又ACD=
15、135FAC=45EAF=45在RtBEA中,设AE=a,则AB=2a,BE=a,在RtAEF中,则EF=a,AF=a,在RtBEF中,则BF=2a,异面直线AB与CD所成的角即是BAF,cosBAF=故选:B【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角,关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角,考查了学生的空间想象能力和作图能力,属于难题12(5分)函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称,则y=f(x)的反函数是()Ay=g(x)By=g(x)Cy=g(x)Dy=g(x)【考点】4R:反函数菁优网版权所有【专题】51:函数的性质及应用【分析】设P(x,y)为
16、y=f(x)的反函数图象上的任意一点,则P关于y=x的对称点P(y,x)一点在y=f(x)的图象上,P(y,x)关于直线x+y=0的对称点P(x,y)在y=g(x)图象上,代入解析式变形可得【解答】解:设P(x,y)为y=f(x)的反函数图象上的任意一点,则P关于y=x的对称点P(y,x)一点在y=f(x)的图象上,又函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称,P(y,x)关于直线x+y=0的对称点P(x,y)在y=g(x)图象上,必有y=g(x),即y=g(x)y=f(x)的反函数为:y=g(x)故选:D【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题二、填空题(本大
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