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2000年北京高考文科数学真题及答案

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第ⅠⅡ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。
　　　　　　　　　　　　　第Ⅰ卷（选择题共60分）
参考公式：
三角函数和差化积公式　　　　　　 正棱台、圆台的侧面积公式
inθ＋sinΦ＝2sincos　　　　 　s台侧－(c'＋c)L
sinθ－sinΦ＝2cossin　　　 　　 其中c'、c分别表示、下底面周长，L表
示棱高或母线长
cosθ＋cosΦ＝2coscos　　　台体的体积公式　　V台体＝(S'＋＋S)h
cosθ－cosΦ＝－2sinsin 　 其中S'、S分别表示上、下底面积，h表示高
一、选择题：本大题共14小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(14)题每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1z2在复平面内的对应点位于
A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么∩ 是
　　A．φ　　B．{d}　　C．{a，c} D．{b，e}
3．双曲线＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是
A．2　 　B．　　　　C．　　　　D．3/2
4．下列方程的曲线关于x＝y对称的是
A．x2－x＋y2＝1　　B．x2y＋xy2＝1　　C.x－y＝1　　　　D．x2－y2＝1
5．一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥的体积之比是
A．1∶3　　　B．2∶3　　C．1∶2　　　　D．2∶9
6．直线(－)x＋y＝3和直线x＋(－)y＝2的位置关系是
　A．相交不垂直　　B．垂直　　C．平行　　D．重合
7．函数y＝lg|x|
　A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增　
　B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
　C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增　
　D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
8．从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有
A．120个　　B．480个　　　C．720个　　　D．840个
9．椭圆短轴长2，长短是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线的距离是
A．8/5　　　B．4/5　　　C．8/3　　　D．4/3
10．函数y＝sinx＋cosx＋2 的最小值是
A．2－　　　B．2＋　　　　C．0　　　　D．1
11．设复数z1＝－1－i在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转π后得到向量，令对应的复数z2的辐角主值为θ，则tgθ＝
A．2－　　B．－2＋ 　　C．2＋　　　 D．－2－
12．设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是
A．tgαtgβ＜1　　　B．sinα＋sinβ＜
C．cosα＋cosβ＞1　　D．tg(α＋β)＜(tgα＋β)/2
13．已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有
A．α1＋α101＞0　　B．α2＋α100＜0　　　C．α3＋α90＝0　　　　D．α51＝51
14．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如右图，则
A．b∈(－∞，0)　　　B．b∈(0，1)　
C．b∈(1，2)　　　　D．b∈(2，＋∞)

　　　　　　　　　　　　　第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
15．函数y＝cos(2π/3＋)的最小正周期是___________
16．右图是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是_________

17．(－)10展开式中的常数项是__________
18．在空间，下列命题正确的是(注：把你认为正确的命题的序号填上)
①如果两直线a、b分别与直线l平行，那么a∥b
②如果直线α与平面β内的一条直线b平行，那么α∥β
③如果直线α与平面β内的两条直线b、c都垂直，那么α⊥β
④如果平面β内的一条直线a垂直平面γ，那么β⊥γ
三、解答题：本大题共6小题；共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．已知二次函数f(x)＝(lga)x2＋2x＋4lga的最大值为3，求a的值。
20．(本小题满分12分)。
在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c。证明：(a2－b2)/c2＝sin(A－B)/sinC

21．(本小题满分12分)
在直角梯形ABCD中，∠D＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝AB＝α(如图一)，将△ADC沿AC折起，使D到D'。记面ACD'为α，面ABC为β，面BCD'为γ。

(1)若二面角α－AC－β为直二面角(如图二)求二面角β－BC－γ的大小；
(2)若二面角α－AC－β为60°(如图三)，求三棱锥D'－ABC的体积。
22．(本小题满分12分)
已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比相等，且都等于d(d＞0，d≠1)，若a1＝b1，a3＝3b3， a5＝5b5，求an，bn。

23．(本小题满分12分)
如图，设点A和B为抛物线y2＝4x(p＞0)上原点以外的两个动点。已知OA⊥OB，OM⊥AB。求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

24．(本小题满分12分)
某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为akW.h。本年度计划将电价降到0.55年/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h。经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)。该地区电力的成本价为0.3元/kW·h
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电部门的收益比上年至少增长20％？
(注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价))

2000年普通高等到学校春季招生考试（北京、安徽卷）
数学试题（文史类）参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考。如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基本知识的基本运算，第1—10题每小题4分，第11—14题每小题5分，满分60分。
1、D　　　　2、A　　　　3、C　　　　4、B　　　　5、C
6、B　　　　7、B　　　　8、B　　　　9、D　　　　10、A
11、C　　　 12、D　　　 13、C　　　 14、A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
　　15、3　　　　16、2　　　17、－252　　　18、① ，④
三、解答题
19．本小题主要考查二次函数最大值和最小值的概念，以及对于配方法、对数方程、二次方程的解法的运用能力。满分12分。
　　解：原函数可化成
　f(x)＝lga(x＋)2－＋4lga　　　　　　　　…………4分
　　由已知，f(x)有最大值3，所以lga＜0，并且
　　　　　　－＋4lga＝3
　　整理得　4(lga)2－3lga－1＝0　　 　　 …………8分
　　解得　　　lga＝1，lga＝－1/4　　 　 　　…………10分
　　　　∵　　lga＜0
　　故取　lga＝－1/4
　　　　∴　a＝＝　　　 　　 …………12分
20．本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函数简单的变形技能。满分12分。
　　证明：由余弦定理　a2＝b2＋c2－2bccosA
b2＝a2＋c2－2accosB　　　　　　　　…………3分
　　∴　　 a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2accosB
　　整理得　　 ＝ 　　　 …………6分
　　依正弦定理，有　　，　　　　   …………9分
　　∴　　　　　 ＝
＝　   …………12分
21．本小题主要考查空间线面关系，及运算、推理、空间想象能力。(满分12分)
解：(1)在直角梯形ABCD中 由已知△DAC为等腰直角三角形，

　　∴　　AC＝a ，　　∠CAB＝45°

　　　　　过C作CH⊥AB，由AB＝2a　　可推得AC＝BC＝a

　　∴　　AC⊥BC 　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………2分
取AC的中点E，连结D'E， 则D'E⊥AC
　　又∵　二面角α－AC－β为直二面角， 　　∴　D'E⊥β
　　又∵　BC 平面β　　∴　BC⊥D'E　　　　
　　∴　　BC⊥α，而D'Cα　　　∴　　BC⊥D'C　　　　…………4分　　
　　∴　　∠D'CA为二面角β－BC－γ的平面角
　 由于∠D'CA＝45°
　 ∴　二面角β－BC－γ为45°。　　…………6分　
(2)取AC的中点E，连结D'E，再过D'作D'O⊥β，垂足为O，连结OE。

　　∵　　AC⊥D'E　　　　∴　AC⊥OE

　　∴　　∠D'EO为二面角α－AC－β的平面角，

　　∴　　∠D'EO＝60°　　　　　　　　　　　　　　　　　…………9分
在Rt△D'OE中，D'E＝AC/2＝a/2
　　∴　　VD'－ABC＝(1/3)S△ABC·D'O ＝(1/3)×(1/2)AC·BC·D'O
　 ＝(1/6)×a×a×a/4＝(/12)a3　　…………12分
22．本小题考查等差数列和等比数列的概念、性质，方程组的解法，以及运算能力和分析能力。满分12分。
　　解：由已知
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………4分
由①得　　a1(3d2－1)＝2d　　 ③
　　由②得　　a1(5d4－1)＝4d　　 ④
　　因为　d≠0，由③式和④式得　　2(3d2－1)＝5d4－1
　　即　　5d4－6d2＋1＝0　　　…………7分
　　解得　　d＝±1，d=±
　　　∵　　d＞0，d≠1，∴　　d＝
　　代入③，得　a1＝－，故b1＝－
　　　an＝－＋(n－1)＝(n－6)　　…………10分
　　　　　　　　b1＝－×　　 …………12分
23．本小题考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能。满分12分。
解：如图，点A，B在抛物线y2＝4px上

　　设A(，yA)，B(，yA)，OA，OB的斜率分别为kOA、kOB。

　　∴　kOA＝＝4p/yA，kOB＝4p/yB　　　　　　…………2分
　　由OA⊥OB，得　　kOA·kOB＝＝－1　　①　…………4分
依点A在AB上，得直线AB方程
　　(yA＋yB)(y－yA)＝4p(x－)　　②　　　　…………6分
　　由OM⊥AB，得直线OM方程　　　y＝ x　　③…………8分
　　设点M(x，y)，则x，y满足②、③现式，将②式两边同时乘以－x/4p，并利用③式整理得
　　　　　x.＋yyA－(x2＋y2)＝0　　④　　…………10分
　　由③、④两式得　　(－x/4p)yAyB－(x2＋y2)＝0
　　由①式知　yAyB＝－16p2　　　∴　x2＋y2－4px＝0
　　因为A、B是原点以外的两点，所以x≠0。
　　所以点M的轨迹是以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。…………12分
24．本小题主要考查建立函数关系、解不等式基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分。
解：(1)设下调后的电价为x元/kW·h，依题意知用电量增至＋a，电力部门的收益为
　　　　y＝(＋a)(x－0．3)(0．55≤x≤0．75)
　　(2)依题意有

　　　整理得　　
　　　解此不等式得　　0．60≤x≤0．75
　　答：当电价最低定为0．60元/kW·h，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％。