2011年辽宁高考理科数学真题及答案.doc
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1、2011年辽宁高考理科数学真题及答案注意事项:1. 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。3. 回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1) a为正实数,i为虚数单位,则a=(A)2 (B) (C) (D)1(2)已知M,N为集合I的非空真
2、子集,且M,N不相等,若(A)M (B) N (C)I (D)(3)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,则线段AB的中点到y轴的距离为(A) (B) 1 (C) (D)(4)ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,asin AsinB+bcos2A=则(A) (B) (C) (D)(5)从1.2.3.4.5中任取2各不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(BA)=(A) (B) (C) (D)(6)执行右面的程序框图,如果输入的n是4,则输出的P是(A) 8 (B) 5 (C) 3 (D) 2(7)设sin,则(A)
3、 (B) (C) (D)(8)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中不正确的是(A) ACSB (B) AB平面SCD (C) SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 (D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角(9)设函数f(x)=则满足f(x)2的x的取值范围是 (A)-1,2 (B)0,2 (C)1,+) (D)0,+)(10)若a,b,c均为单位向量,且ab=0,(a-c)(b-c)0,则的最大值为(A) (B)1 (C) (D)2(11)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x+4的解集为(A)(
4、-1,1) (B)(-1,+) (C)(-,-1) (D)(-,+)(12)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,则棱锥S-ABC的体积为(A) (B) (C) (D)1第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22题-第24题为选考题,考生根据要求做答。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。(13)已知点(2,3)在双曲线C:(a0,b0)上,C的焦距为4,则它的离心率为_.(14)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出y(单位:万元),调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x
5、的回归直线方程:.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加_万元.(15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为,它的三视图中的俯视图如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是_.(16)已知函数f(x)=Atan(x+)(0,),y=f(x)的部分图像如下图,则f()=_.三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)已知等差数列an满足a2=0,a6+a8= -10(I)求数列an的通项公式;(II)求数列的前n项和。(18)(本小题满分12分)如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,PDQA,QA=AB=PD。(I)
6、证明:平面PQC平面DCQ(II)求二面角Q-BP-C的余弦值。19.(本小题满分12分)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进行田间试验。选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙。(I)假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和数学期望;(II)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?附:
7、样本数据x1,x2,xa的样本方差,其中为样本平均数。(20)(本小题满分12分)如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线lMN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D。(I)设,求与的比值;(II)当e变化时,是否存在直线l,使得BOAN,并说明理由(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=lnx-ax2=(2-a)x.(I)讨论f(x)的单调性;(II)设a0,证明:当0x时,f(+x)f(-x);(III)若函数y=f(x)的图像与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐
8、标为x0,证明:f( x0)0.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED。(I)证明:CD/AB;(II)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明:A,B,G,F四点共圆。(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为曲线C2的参数方程为在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:=a与C
9、1,C2各有一个交点。当a=0时,这两个交点间的距离为2,当a=时,这两个交点重合。(I)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;(II)设当a=时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当a=-时,l与C1,C2的交点为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积。(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|。(I)证明:-3f(x)3;(II)求不等式f(x)x2-8x+15的解集。参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1(5分)(2011辽宁)a为正实数,i为虚数单位,则a=()A2BCD1【解答】解:=1a
10、i|=|1ai|=2即a2=3由a为正实数解得a=故选B2(5分)(2011辽宁)已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N(IM)=,则MN=()AMBNCID【解答】解:利用韦恩图画出满足题意M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N(IM)=的集合由图可得:MN=M故选A3(5分)(2011辽宁)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()AB1CD【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列
11、出方程求出A,B的中点横坐标,求出线段AB的中点到y轴的距离【解答】解:F是抛物线y2=x的焦点,F()准线方程x=,设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=,|BF|=,|AF|+|BF|=3解得,线段AB的中点横坐标为,线段AB的中点到y轴的距离为故选C【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题,利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离4(5分)(2011辽宁)ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a,则=()A2B2CD【考点】正弦定理的应用【专题】计算题【分析】
12、利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦,化简整理可气的sinA和sinB的关系,最后利用正弦定理求得a和b的比【解答】解:asin AsinB+bcos2A=a由正弦定理可知sin2AsinB+sinBcos2A=sinAsinB(sin2A+cos2A)=sinB=sinA=选D【点评】本题主要考查了正弦定理的应用考查了利用正弦定理进行边角问题的互化5(5分)(2011辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A:“取到的2个数之和为偶数”,事件B:“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=()ABCD【考点】条件概率与独立事件【专题】计算题【分析】用列举法求出事件A=“取到的2
13、个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数,求p(A),同理求出P(AB),根据条件概率公式P(B|A)=即可求得结果【解答】解:事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有:(1,3)、(1,5)、(3,5)、(2,4),p(A)=,事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4),P(AB)=P(B|A)=故选B【点评】此题是个基础题考查条件概率的计算公式,同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度6(5分)(2011辽宁)执行如图的程序框图,如果输入的n是4,则输出的p是() A8B5C3D2【考点】循环结构【专题】图表型【分析】根据输入的n是4,然后判定k=1,满足条
14、件k4,则执行循环体,依此类推,当k=4,不满足条件k4,则退出执行循环体,求出此时p的值即可【解答】解:k=1,满足条件k4,则执行循环体,p=0+1=1,s=1,t=1k=2,满足条件k4,则执行循环体,p=1+1=2,s=1,t=2k=3,满足条件k4,则执行循环体,p=1+2=3,s=2,t=3k=4,不满足条件k4,则退出执行循环体,此时p=3故选:C【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型,处理的步骤一般为:分析流程图,从流程图中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型解模7(5分)(2011辽宁)设sin(
15、+)=,则sin2=()ABCD【考点】二倍角的余弦;三角函数的恒等变换及化简求值【专题】计算题【分析】根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件,然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简,即可sin2的值【解答】解:由sin(+)=sincos+cossin=(sin+cos)=,两边平方得:1+2sincos=,即2sincos=,则sin2=2sincos=故选A【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值,是一道基础题8(5分)(2011辽宁)如图,四棱锥SABCD的底面为正方形,SD底面
16、ABCD,则下列结论中不正确的是()AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【考点】直线与平面垂直的性质【专题】综合题;探究型【分析】根据SD底面ABCD,底面ABCD为正方形,以及三垂线定理,易证ACSB,根据线面平行的判定定理易证AB平面SCD,根据直线与平面所成角的定义,可以找出ASO是SA与平面SBD所成的角,CSO是SC与平面SBD所成的角,根据三角形全等,证得这两个角相等;异面直线所成的角,利用线线平行即可求得结果【解答】解:SD底面ABCD,底面ABCD为正方形,连接BD,则BDAC,根据三垂线定理
17、,可得ACSB,故A正确;ABCD,AB平面SCD,CD平面SCD,AB平面SCD,故B正确;SD底面ABCD,ASO是SA与平面SBD所成的角,CSO是SC与平面SBD所成的,而SAOCSO,ASO=CSO,即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角,故C正确;ABCD,AB与SC所成的角是SCD,DC与SA所成的角是SAB,而这两个角显然不相等,故D不正确;故选D【点评】此题是个中档题考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理,以及直线与平面所成的角,异面直线所成的角等问题,综合性强9(5分)(2011辽宁)设函数f(x)=,则满足f(x)2的x的取值范围是()A1,2B0,2
18、C1,+)D0,+)【考点】对数函数的单调性与特殊点【专题】分类讨论【分析】分类讨论:当x1时;当x1时,再按照指数不等式和对数不等式求解,最后求出它们的并集即可【解答】解:当x1时,21x2的可变形为1x1,x0,0x1当x1时,1log2x2的可变形为x,x1,故答案为0,+)故选D【点评】本题主要考查不等式的转化与求解,应该转化特定的不等式类型求解10(5分)(2011辽宁)若为单位向量,且=0,则的最大值为()A1B1CD2【考点】平面向量数量积的运算;向量的模【专题】计算题;整体思想【分析】根据及为单位向量,可以得到,要求的最大值,只需求的最大值即可,然后根据数量积的运算法则展开即可
19、求得【解答】解:,即+0,又为单位向量,且=0,而=3232=1的最大值为1故选B【点评】此题是个中档题考查平面向量数量积的运算和模的计算问题,特别注意有关模的问题一般采取平方进行解决,考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力11(5分)(2011辽宁)函数f(x)的定义域为R,f(1)=2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x+4的解集为()A(1,1)B(1,+)C(,l)D(,+)【考点】其他不等式的解法【专题】压轴题;函数思想【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后,设左边的式子为F(x)构成一个函数,把x=1代入F(x)中,由f(1)=2出F(1)的值,然后求出F(x)的导函数,根
20、据f(x)2,得到导函数大于0即得到F(x)在R上为增函数,根据函数的增减性即可得到F(x)大于0的解集,进而得到所求不等式的解集【解答】解:设F(x)=f(x)(2x+4),则F(1)=f(1)(2+4)=22=0,又对任意xR,f(x)2,所以F(x)=f(x)20,即F(x)在R上单调递增,则F(x)0的解集为(1,+),即f(x)2x+4的解集为(1,+)故选B【点评】此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集,是一道中档题12(5分)(2011辽宁)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,ASC=BSC=30,则棱锥SABC的体积为()A3B2CD1【考点】棱柱、
21、棱锥、棱台的体积【专题】计算题;压轴题【分析】设球心为点O,作AB中点D,连接OD,CD,说明SC是球的直径,利用余弦定理,三角形的面积公式求出SSCD,和棱锥的高AB,即可求出棱锥的体积【解答】解:设球心为点O,作AB中点D,连接OD,CD 因为线段SC是球的直径,所以它也是大圆的直径,则易得:SAC=SBC=90 所以在RtSAC中,SC=4,ASC=30 得:AC=2,SA=2又在RtSBC中,SC=4,BSC=30 得:BC=2,SB=2 则:SA=SB,AC=BC因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中,SDAB且SD=在等腰三角形CAB中,CDAB且CD=又SD交CD于点D 所
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