2014年天津高考文科数学试题及答案(Word版).doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）是虚数单位，复数（ ）
A. B. C. D.
（2）设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知命题（ ）
A. B.
C. D.
4. 设则（ ）
A. B. C. D.
5. 设是首项为，公差为的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（ ）
A.2 B.-2 C. D .
6. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，是圆的内接三角行，的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分；②；③；④.则所有正确结论的序号是（ ）
A.①② B.③④ C.①②③ D. ①②④
8.已知函数在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取 名学生.
10.一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 .

11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出的值为________.

12.函数的单调递减区间是________.
13.已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，
，.若，则的值为________.

（14） 已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______
三． 解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
（15） （本小题满分13分）
某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）
（1） 用表中字母列举出所有可能的结果
（2） 设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发生的概率.

（16） （本小题满分13分）
在中，内角所对的边分别为，已知，
（1） 求的值；
（2） 求的值.

17、（本小题满分13分）
如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点.
（1） 证明平面；
（2） 若二面角P-AD-B为，
① 证明：平面PBC⊥平面ABCD
② 求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.

18、（本小题满分13分）
设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A，上顶点为B.已知=.
（1） 求椭圆的离心率；
（2） 设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M，=.求椭圆的方程.

19 （本小题满分14分）
已知函数
（1） 求的单调区间和极值；
（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围
20（本小题满分14分）
已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，集合，
（1） 当时，用列举法表示集合A；
设其中证明：若则.

2014年天津高考文科数学试题逐题详解 （纯word解析版）
一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【2014年天津卷（文01）】是虚数单位，复数
A. B. C. D.

【答案】A
【解析】

【2014年天津卷（文02）】设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为
A. B. C. D.

【答案】B
【解析】画出可行域，如图所示．解方程组得即点A(1，1)．

当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即zmin＝1×1＋2×1＝3.

【2014年天津卷（文03）】已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则￢p为（　　）
　 A．∃x0≤0，使得（x0+1）ex0≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）ex0≤1
　 C．∀x＞0，总有（x+1）ex≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）ex≤1

【答案】B
【解析】根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1，

【2014年天津卷（文04）】设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（　　）

A．
a＞b＞c
B．
b＞a＞c
C．
a＞c＞b
D．
c＞b＞a

【答案】C
【解析】log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b

【2014年天津卷（文05）】设{an}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（　　）

A．
2
B．
﹣2
C．

D．
﹣

【答案】D
【解析】∵{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，
由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：

【2014年天津卷（文06）】已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　）

A．
﹣=1
B．
﹣=1

C．
﹣=1
D．
﹣=1

【答案】A

【解析】令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，
∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，
∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1

【2014年天津卷（文07）】如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：
①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．
所有正确结论的序号是（　　）

A．
①②
B．
③④
C．
①②③
D．
①②④

【答案】D
【解析】∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．
∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．
∵BD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．
又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．
由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立

【2014年天津卷（文08）】已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（　　）

A．

B．

C．
π
D．
2π

【答案】C
【解析】 ∵已知函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）（ω＞0），x∈R，
在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于f（x）的周期的倍，
设函数f（x）的最小正周期为T，则=，∴T=π

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
【2014年天津卷（文09）】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取____名学生.

【答案】60
【解析】由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为300×＝60

【2014年天津卷（文10）】一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为_________.

【答案】
【解析】 由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V＝π×12×4＋π×22×2＝.

【2014年天津卷（文11）】阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为　　．

【答案】-4
【解析】依题由框图知，第一次循环得到：S=﹣8，n=2；第二次循环得到：S=﹣4，n=1；退出循环，输出﹣4

【2014年天津卷（文12）】函数f（x）=lgx2的单调递减区间是　 　．
【答案】（﹣∞，0）
【解析】 方法一：y=lgx2=2lg|x|，∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数；
当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．
∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．
方法二：原函数是由复合而成，∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；
又y=lgt在其定义域上为增函数，∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增 函数，∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）

【2014年天津卷（文13）】已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF、若•=1，则λ的值为　　．
【答案】2
【解析】∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，
=+=+=+，=+=+=+，
∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，
∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，
即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2

【2014年天津卷（文14）】已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为　　．

【答案】（1，2）
【解析】由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，
当a≤0，不满足条件，∴a＞0，
当a=2时，此时y=a|x|与f（x）有三个 交点，
当a=1时，此时y=a|x|与f（x）有五个 交点，
∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
【2014年天津卷（文15）】（本小题满分13分）
某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：

一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）
（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；
（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．

解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、
（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X，Z ）、（Y，Z）
共计15个结果．
（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，
则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6个结果，
故事件M发生的概率为 =
【2014年天津卷（文16）】（本小题满分13分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．
解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，
∴cosA===；
（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，
∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，
则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=

【2014年天津卷（文17）】（本小题满分13分）
如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．
（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，
（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；
（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，

∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，
又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB．
又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB；

（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．∵BA=BD=，AD=2，PA=PD=，∴BE=1，PE=2．

又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，

∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=．

∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，∴PB⊥平面ABD，
∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；
（ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，∵BA=BD=，AD=2，∴BD⊥BA，

∴BD，BA，BP两两垂直，

以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP，

则有A（0，，0），B（0，0，0），C（，﹣，0），D（，0，0），P（0，0，），

∴=（，﹣，0），=（0，0，），

设平面PBC的法向量为，∵，∴，令x=1，则y=1，z=0，

故=（1，1，0），∵E，F分别是棱AD，PC的中点，∴E（，，0），F（，﹣，），

∴=（0，，），∴===﹣，
即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为

【2014年天津卷（文18）】（本小题满分13分）
设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|=2，求椭圆的方程．

解：（Ⅰ）依题意可知=•2c，∵b2=a2﹣c2，∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2，∴a2=2c2，∴e==．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=2c2，∴b2=a2﹣c2=c2，∴椭圆方程为+=1，B（0，c），F1（﹣c，0）
设P点坐标（csinθ，ccosθ），圆心为O∵PB为直径，∴BF1⊥PF1，

∴k•BF1kPF1=•=﹣1，求得sinθ=﹣或0（舍去），

由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x轴上方时，

cosθ==∴P坐标为（﹣c，c），∴圆心坐标为（﹣c，c），

∴r=|OB|==c，|OF2|==c，

∵r2+|MF2|2=|OF2|2，∴+8=c2，∴c2=3，∴a2=6，b2=3，∴椭圆的方程为+=1

【2014年天津卷（文19）】（本小题满分14分）
已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a的取值范围．

解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），
∵a＞0，∴当x＜0或x时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，
f（x）单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，
当x=0时，有极小值f（0）=0，当x=时，有极大值f（）=；

（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．
设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+ ∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，显然A≠∅

下面分三种情况讨论：
（1）当＞2，即0＜a＜时，由f（）=0可知，0∈A，而0∈B，∴A不是B的子集；

（2）当1≤≤2，即时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f（2）），∴A
⊆（﹣∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B；
（3）当＜1，即a＞时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞， f（2）），∴A不是B的子集．综上，a的取值范围是[]

【2014年天津卷（文20）】（本小题满分14分）
已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1，xi∈M，i=1，2，…n}．
（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；
（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证明：若an＜bn，则s＜t．

（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，xi∈M，i=1，2，3}．

可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．

（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an＜bn，

∴an﹣bn≤﹣1．可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++

≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1]
=＜0．
∴s＜t