2014年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）.doc

2014高考数学山东【理】
一、选择题
1.已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.函数的定义域为 ( )
A. B. C. D.
4.用反证法证明命题:“已知为实数,则方程至少有一个实根”时,要做的假设是( )
A.方程没有实根 B.方程至多有一个实根
C.方程至多有两个实根 D.方程恰好有两个实根
5.已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是( )
A. B. C. D.
6.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C.2 D.4
7.为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
A.1 B.8 C.12 D.18
8.已知函数,,若有两个不相等的实根,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为( )
A.5 B.4 C. D.2
10.已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.

二、填空题
11.执行右面的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为 ；开始

输入x
是
结束

否
输出n

12.在中，已知，当时，的面积为 ；
13.三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则 ；
14.若的展开式中项的系数为，则的最小值为 ；
15.已知函数.对函数，定义关于的“对称函数”为，满足：对任意，两个点，关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是 ；

三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.（本小题满分12分）
已知向量，，设函数，且的图象过点和点.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.

17.（本小题满分12分）
如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.

18.（本小题满分12分）
乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，
甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.
19.（本小题满分12分）
已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和.

20.（本小题满分13分）
设函数（为常数，是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.

21.（本小题满分14分）
已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，
（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

参考答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学参考答案
一．1、D 2、C 3、C 4、A 5、D 6、D 7、C 8、B 9、B 10、A
二．11、 12、 13、 14、 15、
三．16、解：（Ⅰ）已知 ，
的图像过点
，

解得
（Ⅱ），
设的对称轴为，解得
，解得

的单调赠区间
17、解：（Ⅰ）证明：因为四边形是等腰梯形，
且
所以,又由是中点，
因此且．
连接
在四棱柱中，
因为,
可得
所以四边形为平行四边形
因此
又,,
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面过向做垂线交于，连接,
由,可得,故为二面角的平面角
在中，
所以
在中，,
所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为．

18、解：（Ⅰ）设恰有一次的落点在乙上为事件

（Ⅱ）的可能取值为
，

的分布列为

0
1
2
3
4
6
P

其数学期望为
19、解：（Ⅰ）
成等比数列

解得
（Ⅱ）
当为偶数时，

当为奇数时，

20、解：（Ⅰ）

当时，
令，则
当时，单调递减；
当时，单调递增．
（Ⅱ）令
则
当时，恒成立，上单调递增，不符合题意．
当时
令，

综上：的取值范围为．
21、解：（Ⅰ）当的横坐标为时，过作轴于，

为等边三角形

又
，，
（Ⅱ）（ⅰ）设，

又与相切，设切点,
， ，

即恒过点直线过定点．
（ⅱ），
即

点到的距离
，当且仅当时，“”成立．

选择填空解析
2014年全国统一高考（山东）理科真题及详解
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1. 已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则
（A） (B) (C) (D)
答案：D
解析：与互为共轭复数，

2. 设集合则
(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)
答案：C
解析：

3. 函数的定义域为
(A) (B) (C) (D)
答案：C
解析：

或
或。
4. 用反证法证明命题“设则方程至少有一个实根”时要做的假设是
(A)方程没有实根 (B)方程至多有一个实根
(C)方程至多有两个实根 (D)方程恰好有两个实根
5. 已知实数满足，则下列关系式恒成立的是
(A) (B) (C) (D)
答案：D
解析：
，排除A,B，对于C ，是周期函数，排除C。
6.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为
（A）（B）（C）2（D）4
答案：D
解析：
，
第一象限

7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为

（A） （B） （C） （D）
答案：C
解析：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4

8.已知函数,.若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
答案：B
解析：画出的图象最低点是，过原点和时斜率最小为，斜率最大时的斜率与的斜率一致。
9.已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时，的最小值为
（A）（B）（C）（D）
答案：B
解析：求得交点为，则，即圆心到直线的距离的平方。

10.已知,椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为
（A）（B）（C）（D）
答案：A
解析：

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
11. 执行下面的程序框图，若输入的的值为1，
则输出的的值为。
答案：3
解析：根据判断条件，得，
输入
第一次判断后循环，
第二次判断后循环，
第三次判断后循环，
第四次判断不满足条件，退出循环，输出

12. 在中，已知，当时，的面积为。
答案：
解析：由条件可知，
当，

13. 三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则。
答案：
解析：分别过向平面做高，由为的中点得，
由为的中点得，所以
14. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为。
答案：2

解析：将展开，得到，令.
由，得，所以.

15. 已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：对任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是。
答案：
解析：根据图像分析得，当与在第二象限相切时，
，由恒成立得.