2008年湖南高考理科数学试题及答案.doc

2008高考湖南理科数学试题及全解全析

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．复数等于( )
A.8 B.－8 C.8i D.－8i
2．“成立”是“成立”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知变量x、y满足条件则的最大值是( )
A.2 B.5 C.6 D.8
4.设随机变量服从正态分布,若,则c= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.设有直线m、n和平面、,下列四个命题中，正确的是( )
A.若m∥,n∥,则m∥n
B.若m,n,m∥,n∥,则∥
C.若，m,则m
D.若，m，m,则m∥
6.函数在区间上的最大值是( )
A.1 B. C. D.1+
7.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且
则与( )
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
8.若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离
大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)
9.长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,
则顶点A、B间的球面距离是( )
A.2 B. C. D.

10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［］=1）,对于给定的nN*,
定义x,则当x时，函数的
值域是( )
A. B.
C. D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。
11..

12.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=
过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
13.设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),
则函数的图象一定过点 .
14.已知函数
（1）若a＞0,则的定义域是 ;
(2) 若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 .
15.对有n(n≥4)个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体
和 (m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从
每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用表示元素i和j同时出现在样
本中的概率，则= ; 所有 (1≤i＜j≤的和等于 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试
合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;
（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.

17.（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，
E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

18.（本小题满分12分）
数列
(Ⅰ)求并求数列的通项公式；
(Ⅱ)设证明：当

19.（本小题满分13分）
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.

20.（本小题满分13分）
若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与
x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）
存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.
（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦” 中的中点的横坐标相同；
(II) 试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分13分）
已知函数
(I) 求函数的单调区间;
（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.
求a的最大值.

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．复数等于( )
A.8 B.－8 C.8i D.－8i
【答案】D
【解析】由,易知D正确.
2．“成立”是“成立”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由得，由得，所以易知选B.
3.已知变量x、y满足条件则的最大值是( )
A.2 B.5 C.6 D.8
【答案】C
【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点
分别为代入验证知在点
时,最大值是
故选C.
4.设随机变量服从正态分布,若,则c= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】

解得=2, 所以选B.
5.设有直线m、n和平面、,下列四个命题中，正确的是( )
A.若m∥,n∥,则m∥n
B.若m,n,m∥,n∥,则∥
C.若，m,则m
D.若，m，m,则m∥
【答案】D
【解析】由立几知识,易知D正确.
6.函数在区间上的最大值是( )
A.1 B. C. D.1+
【答案】C
【解析】由,
故选C.
7.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且
则与( )
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
【答案】A
【解析】由定比分点的向量式得:
以上三式相加得
所以选A.
8.若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离
大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)
【答案】B
【解析】或
(舍去),故选B.
9.长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,
则顶点A、B间的球面距离是( )
A.2 B. C. D.
【答案】C
【解析】设
则
故选C.
10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［］=1）,对于给定的nN*,
定义x,则当x时，函数的
值域是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当x时，当时， 所以;
当时，当时，
故函数的值域是.选D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。
11..
【答案】
【解析】
12.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=
过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
【答案】
【解析】
13.设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),
则函数的图象一定过点 .
【答案】(-1,2)
【解析】由函数的图象过点(1,2)得: 即函数过点 则其反函数过点所以函数的图象一定过点
14.已知函数
（1）若a＞0,则的定义域是 ;
(2) 若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 .
【答案】 ,
【解析】（1）当a＞0时，由得,所以的定义域是;
(2) 当a＞1时，由题意知;当0<a<1时，为增函数,不合;
当a<0时，在区间上是减函数.故填.
15.对有n(n≥4)个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体
和 (m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从
每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用表示元素i和j同时出现在样
本中的概率，则= ; 所有 (1≤i＜j≤的和等于 .
【答案】 , 6
【解析】第二空可分:
①当 时, ;
②当 时, ;
③当时, ;
所以 也可用特殊值法或i和j同时出现6次.

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试
合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;
（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.
解: 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，
且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是

（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.

＝
＝

=
=

所以， 的分布列是

0
1
2
3

P

的期望

17.（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，
E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

解: 解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，
△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD,
所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以
PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.
过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知
平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，
所以，AF=2AB=2=AP.
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.
则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，
PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.
在等腰Rt△PAF中，
在Rt△PAB中，
所以，在Rt△AHG中，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是

解法二: 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关
各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），
P（0，0，2）,
（Ⅰ）因为，
平面PAB的一个法向量是，
所以共线.从而BE⊥平面PAB.
又因为平面PBE，
故平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)易知
设是平面PBE的一个法向量，则由得
所以
设是平面PAD的一个法向量，则由得
所以故可取
于是，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是

18.（本小题满分12分）
数列
(Ⅰ)求并求数列的通项公式；
(Ⅱ)设证明：当
解: (Ⅰ)因为所以

一般地，当时，
＝，即
所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此
当时，
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列的通项公式为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ①
②
①-②得，

所以
要证明当时，成立，只需证明当时，成立.
证法一
(1)当n = 6时，成立.
(2)假设当时不等式成立，即
则当n=k+1时，
由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时，
证法二
令，则
所以当时，.因此当时，
于是当时，
综上所述，当时，

19.（本小题满分13分）
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解: （I）如图，AB=40，AC=10，

由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为（海里/小时）.
（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,
BC与x轴的交点为D.
由题设有，x1=y1= AB=40,
x2=ACcos,
y2=ACsin
所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.
又点E（0，-55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.

解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中，由余弦定理得，

==.
从而
在中，由正弦定理得，
AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.
过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt中，PE=QE·sin
=
所以船会进入警戒水域.

20.（本小题满分13分）
若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与
x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）
存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.
（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦” 中的中点的横坐标相同；
(II) 试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.
解: （I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1, y22=4x2,
两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1x2,所以y1+y20.
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）,则
k=.从而AB的垂直平分线l的方程为
又点P（x0,0）在直线上，所以
而于是故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，
整理得 （·）
则是方程（·）的两个实根，且
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则

因为0<<4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是设t=,则t(0,4x0-8).
记l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.
若x0>3,则2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即=2(x0-3)时,
l有最大值2(x0-1).
若2<x0<3,则2(x0-3)0,g(t)在区间（0，4 x0-8）上是减函数，
所以0<l2<16(x0-2),l不存在最大值.
综上所述，当x0>3时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值
为2（x0-1）；当2< x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.

21.（本小题满分13分）
已知函数
(I) 求函数的单调区间;
（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.
求a的最大值.
解: （Ⅰ）函数的定义域是，

设则
令则
当时， 在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时，在上为减函数.
所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，
函数g(x)在上为减函数.
于是当时，
当x＞0时，
所以，当时，在（-1，0）上为增函数.
当x＞0时，在上为减函数.
故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.
（Ⅱ）不等式等价于不等式由知，
设则

由（Ⅰ）知，即
所以于是G(x)在上为减函数.
故函数G（x）在上的最小值为
所以a的最大值为