2012年湖南高考理科数学试题及答案.doc
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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1设集合,则A B C D 2命题“若,则”的逆否命题是A若,则 B若,则C若,则 D若,则 3某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是 A B C D 4设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据,用最小二乘法建立的回归方程为,则下列结论中不正确的是Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心C若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加kgD若该大学某
2、女生身高为170cm,则可断定其体重比为kg 5已知双曲线的焦距为10 ,点在C的渐近线上,则C的方程为A B C D 6函数的值域为A B C D 7在中,则A B C D 8已知两条直线和,与函数的图像从左至右相交于点,与函数的图像从左至右相交于点记线段AC和BD在轴上的投影长度分别为当m变化时,的最小值为A B C D 二、填空题: 本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分 ,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)9 在直角坐标系xOy中,已知曲线(t为参数)与曲线(为参数,)有一个公共点在轴上
3、,则 10不等式的解集为 11如图2,过点的直线与相交于两点若,则的半径等于 (二)必做题(1216题)12已知复数(为虚数单位),则 13的二项展开式中的常数项为 (用数字作答) 14如果执行如图3所示的程序框图,输入,则输出的数 15函数的导函数的部分图象如图4所示,其中,为图象与轴的交点,为图象与轴的两个交点,为图象的最低点(1)若,点的坐标为,则 ; (2)若在曲线段与轴所围成的区域内随机取一点,则该点在内的概率为 16设,将个数依次放入编号为的个位置,得到排列将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列,将此操作称为变换将分成两段,每段个数
4、,并对每段作变换,得到;当时,将分成段,每段个数,并对每段作变换,得到例如,当时,此时位于中的第4个位置(1)当时,位于中的第 个位置; (2)当时,位于中的第 个位置三、解答题:本大题共6小题,共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55()确定的值,并求顾客一次购物的结算时间的分布列与数学期望;()若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过分钟的概
5、率(注:将频率视为概率) 18(本小题满分12分) 如图5,在四棱锥中,平面,是的中点()证明:平面;()若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等,求四棱锥的体积19(本小题满分12分)已知数列的各项均为正数,记,()若,且对任意,三个数组成等差数列,求数列的通项公式.()证明:数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数组成公比为的等比数列.20(本小题满分13分)某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件)已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三
6、种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为(为正整数)()设生产A部件的人数为,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;()假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案21(本小题满分13分)在直角坐标系xOy中,曲线上的点均在圆外,且对上任意一点,到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值.()求曲线的方程;()设为圆外一点,过作圆的两条切线,分别与曲线相交于点和.证明:当在直线上运动时,四点的纵坐标之积为定值.22(本小题满分13分)已知函数,其中.()若对一切,恒成立,求的取值集合.()在函数的图像上
7、取定两点,记直线的斜率为.问:是否存在,使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M=-1,0,1,N=x|x2x,则MN=A.0 B.0,1 C.-1,1 D.-1,0,0【答案】B【解析】 M=-1,0,1 MN=0,1.【点评】本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分.先求出,再利用交集定义得出MN.2.命题“若=,则tan=1”的逆否命题是A.若,则tan1 B. 若=,则tan1C. 若tan1,则 D. 若tan1,则=【答案】C【解析】因为“若,则”的逆否
8、命题为“若,则”,所以 “若=,则tan=1”的逆否命题是 “若tan1,则”.【点评】本题考查了“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,考查分析问题的能力.3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知,原图下面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,都可能是该几何体的俯视图,不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.4.设某大学的女生体重y(单位:kg)与
9、身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(,)C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重比为58.79kg【答案】D【解析】【解析】由回归方程为=0.85x-85.71知随的增大而增大,所以y与x具有正的线性相关关系,由最小二乘法建立的回归方程得过程知,所以回归直线过样本点的中心(,),利用回归方程可以预测估计总体,所以D不正确.【点评】本题组要考查
10、两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念,并且是找不正确的答案,易错.5. 已知双曲线C :-=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为A-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1w#ww.zz&st【答案】A【解析】设双曲线C :-=1的半焦距为,则.又C 的渐近线为,点P (2,1)在C 的渐近线上,即.又,C的方程为-=1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是近年来常考题型.6. 函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为 A -2 ,2 B.-, C.-1,1 D.- , 【答案】B【
11、解析】f(x)=sinx-cos(x+),值域为-,.【点评】利用三角恒等变换把化成的形式,利用,求得的值域.7. 在ABC中,AB=2,AC=3,= 1则.中&%国教*育出版网A. B. C. D.【答案】A【解析】由下图知.又由余弦定理知,解得.【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意的夹角为的外角.8已知两条直线 :y=m 和: y=(m0),与函数的图像从左至右相交于点A,B ,与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时,的最小值为来源%&:中国*
12、教育#出版网A B. C. D. 【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m,y=(m0),图像如下图,由= m,得,= ,得.依照题意得.,.【点评】在同一坐标系中作出y=m,y=(m0),图像,结合图像可解得.二 、填空题: 本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分 ,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.(一)选做题(请考生在第9、10、 11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分 )9. 在直角坐标系xOy 中,已知曲线: (t为参数)与曲线 :(为参数,) 有一个公共点在X轴上,则.【答案】【解析】曲线:直角坐标方程为,与轴交点为;曲线 :直角坐标方程为,其与轴交点
13、为,由,曲线与曲线有一个公共点在X轴上,知.【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程,考查等价转化的思想方法等.曲线与曲线的参数方程分别等价转化为直角坐标方程,找出与轴交点,即可求得.10.不等式|2x+1|-2|x-1|0的解集为_.【答案】【解析】令,则由得的解集为.【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值,转化为代数不等式(组).11.如图2,过点P的直线与圆O相交于A,B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则圆O的半径等于_.【答案】【解析】设交圆O于C,D,如图,设圆的半径为R,由割线定理知【点评】本题考查切割线定理,考查数形结合思想,由切割线定理知,从而求得圆的半径.
14、(二)必做题(1216题)12.已知复数 (i为虚数单位),则|z|=_.【答案】10【解析】=,.【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的形式,利用求得.13.( -)6的二项展开式中的常数项为 .(用数字作答)【答案】-160【解析】( -)6的展开式项公式是.由题意知,所以二项展开式中的常数项为.【点评】本题主要考察二项式定理,写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.14.如果执行如图3所示的程序框图,输入,n=3,则输出的数S= .【答案】【解析】输入,n=3,,执行过程如下:;,所以输出的是.【点评】本题考查算法流程图,要明白循环结构中的内容,一般解法是逐步执
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