2010年江苏高考数学试题及答案.doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析
数学Ⅰ试题

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。
5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

参考公式：
锥体的体积公式: V锥体=Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____.
2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____.
3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__.
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。

5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_______▲_________
6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______
7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______

8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____
9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____
10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。
11、已知函数,则满足不等式的x的范围是__▲___。
12、设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 ▲ 。

13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=____▲_____。

14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是____▲____。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2) 设实数t满足()·=0，求t的值。

16、（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
(1) 求证：PC⊥BC；
(2) 求点A到平面PBC的距离。

17、（本小题满分14分）
某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。
(1) 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？

18、（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

19、（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。
（1）求数列的通项公式（用表示）；
（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。

20、（本小题满分16分）
设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。
(1)设函数，其中为实数。
(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。
(2)已知函数具有性质。给定设为实数，
，，且，
若||<||，求的取值范围。

数学Ⅱ（附加题）
21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A． 选修4-1：几何证明选讲
（本小题满分10分）
AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

B． 选修4-2：矩阵与变换
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。

C． 选修4-5：不等式选讲
（本小题满分10分）
设a、b是非负实数，求证：。

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22、 （本小题满分10分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。
（1） 记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（2） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

23、 （本小题满分10分）
已知△ABC的三边长都是有理数。
（1） 求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____.
[解析] 考查集合的运算推理。3B, a+2=3, a=1.
2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____.
[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。
3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__.
[解析]考查古典概型知识。
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。
[解析]考查频率分布直方图的知识。
100×（0.001+0.001+0.004）×5=30
5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_______▲_________
[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。
6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______
[解析]考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。
7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______

[解析]考查流程图理解。输出。
8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____
[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，
所以。
9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____
[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，
圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）。
10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。
[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，
且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。线段P1P2的长为
11、已知函数,则满足不等式的x的范围是__▲___。
[解析] 考查分段函数的单调性。
12、设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 ▲ 。
[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。
，，，的最大值是27。

13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=____▲_____。
[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。
（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。
当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，，
，= 4。
（方法二），
由正弦定理，得：上式=

14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是____▲____。
[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为，则：
（方法一）利用导数求函数最小值。
，

，
当时，递减；当时，递增；
故当时，S的最小值是。
（方法二）利用函数的方法求最小值。
令，则：
故当时，S的最小值是。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(3) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(4) 设实数t满足()·=0，求t的值。
[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。
（1）（方法一）由题设知，则

所以
故所求的两条对角线的长分别为、。
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:
E为B、C的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；
（2）由题设知：=(－2,－1)，。
由()·=0，得：，
从而所以。
或者：，

16、（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
(3) 求证：PC⊥BC；
(4) 求点A到平面PBC的距离。
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。
（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。
由∠BCD=900，得CD⊥BC，
又PDDC=D，PD、DC平面PCD，
所以BC⊥平面PCD。
因为PC平面PCD，故PC⊥BC。
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。
易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。
（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。
因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。
从而AB=2，BC=1，得的面积。
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。
因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。
又PD=DC=1，所以。
由PC⊥BC，BC=1，得的面积。
由，，得，
故点A到平面PBC的距离等于。

17、（本小题满分14分）
某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。
(3) 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
(4) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？
[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
（1），同理：，。
AD—AB=DB，故得，解得：。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知，得，

，（当且仅当时，取等号）
故当时，最大。
因为，则，所以当时，-最大。
故所求的是m。

18、（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。
（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由，得 化简得。
故所求点P的轨迹为直线。
（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）
直线MTA方程为：，即，
直线NTB 方程为：，即。
联立方程组，解得：，
所以点T的坐标为。
（3）点T的坐标为
直线MTA方程为：，即，
直线NTB 方程为：，即。
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，
解得：、。
（方法一）当时，直线MN方程为：
令，解得：。此时必过点D（1，0）；
当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
（方法二）若，则由及，得，
此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。
若，则，直线MD的斜率，
直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。
因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。

19、（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。
（1）求数列的通项公式（用表示）；
（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。
（1）由题意知：，
，
化简，得：
，
当时，，适合情形。
故所求
（2）（方法一）
， 恒成立。
又，，
故，即的最大值为。
（方法二）由及，得，。
于是，对满足题设的，，有
。
所以的最大值。
另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。
于是，只要，即当时，。
所以满足条件的，从而。
因此的最大值为。

20、（本小题满分16分）
设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。
(1)设函数，其中为实数。
(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。
(2)已知函数具有性质。给定设为实数，
，，且，
若||<||，求的取值范围。
[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。
（1）(i)
∵时，恒成立，
∴函数具有性质；
(ii)（方法一）设，与的符号相同。
当时，，，故此时在区间上递增；
当时，对于，有，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，而，
对于，总有，，故此时在区间上递增；
（方法二）当时，对于，
所以，故此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而
当时，，，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
(2)（方法一）由题意，得：
又对任意的都有>0，
所以对任意的都有，在上递增。
又。
当时，，且，

综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。
①当时，有，
，得，同理可得，所以由的单调性知、，
从而有||<||，符合题设。
②当时，，
，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。
③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。

数学Ⅱ（附加题）
21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
D． 选修4-1：几何证明选讲
（本小题满分10分）
AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。
[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。
（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=300，∠DOC=600，
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。
（方法二）证明：连结OD、BD。
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。
因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。
又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。
即2OB=OB+BC，得OB=BC。
故AB=2BC。

E． 选修4-2：矩阵与变换
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。
[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。
解：由题设得
由，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（，-2）。
计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是，则由题设知：。
所以k的值为2或-2。

F． 选修4-4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。
[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。
解：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：，
直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：，
又圆与直线相切，所以解得：，或。

G． 选修4-5：不等式选讲
（本小题满分10分）
设a、b是非负实数，求证：。
[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。
（方法一）证明：

因为实数a、b≥0，
所以上式≥0。即有。
（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得

当时，，从而，得；
当时，，从而，得；
所以。

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

23、 （本小题满分10分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。
（3） 记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（4） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。
解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且
P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18，
P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。
由此得X的分布列为：
X
10
5
2
-3
P
0.72
0.18
0.08
0.02
（2）设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有件。
由题设知，解得，
又，得，或。
所求概率为
答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

24、 （本小题满分10分）
已知△ABC的三边长都是有理数。
（2） 求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。
[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。
（方法一）（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数，
是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
∴必为有理数，∴cosA是有理数。
（2）①当时，显然cosA是有理数；
当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数；
②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。
当时，，
，
，
解得：
∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，
∴是有理数。
即当时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。
（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知
是有理数。
（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。
①当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。
②假设当时，和都是有理数。
当时，由，
，
及①和归纳假设，知和都是有理数。
即当时，结论成立。
综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。

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