2020年高考真题数学【新高考全国Ⅰ卷】(山东卷)(含解析版).pdf
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1、 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试新高考全国新高考全国 一、选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设集合 Ax|1x3,Bx|2x4,则 AB 等于()Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|1x4 Dx|1x4 答案C 解析ABx|1x3x|2x4 x|1x4 2.等于()2i12iA1 B1 Ci Di 答案D 解析i.2i12i2i12i12i12i5i536 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去 1 个场馆,甲场馆安排 1 名,乙场馆安排 2 名,丙场馆安排 3 名,则不同
2、的安排方法共有()A120 种 B90 种 C60 种 D30 种 答案C 解析先从 6 名同学中选 1 名安排到甲场馆,有 C 种选法,再从剩余的 5 名同学中选 2 名安排到乙场馆,有 C1 6种选法,最后将剩下的 3 名同学安排到丙场馆,有 C 种选法,由分步乘法计数原理知,共有 C C C 60(种)2 53 31 62 53 3不同的安排方法 4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为 O),地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角,点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面在点 A 处
3、放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点 A 处的纬度为北纬 40,则晷针与点 A 处的水平面所成角为()A20 B40 C50 D90 答案B 解析如图所示,O 为赤道平面,O1为 A 点处的日晷面所在的平面,由点 A 处的纬度为北纬 40可知OAO140,又点 A 处的水平面与 OA 垂直,晷针 AC 与O1所在的面垂直,则晷针 AC 与水平面所成角为 40.5某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有 96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A62%B56%C46%D42%答案C 解析用 Venn
4、图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图,设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为 x,则(60%x)(82%x)x96%,解得 x46%.6基本再生数 R0与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)ert描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的变化规律,指数增长率 r 与 R0,T 近似满足 R01rT.有学者基于已有数据估计出 R03.28,T6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln 2
5、0.69)()A1.2 天 B1.8 天 C2.5 天 D3.5 天 答案B 解析由 R01rT,R03.28,T6,得 r0.38.R01T3.2816由题意,累计感染病例数增加 1 倍,则 I(t2)2I(t1),即 e0.38t22e0.38t1,所以 e0.38(t2t1)2,即 0.38(t2t1)ln 2,所以 t2t11.8.ln 20.380.690.387已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点,则 的取值范围是()AP AB A(2,6)B(6,2)C(2,4)D(4,6)答案A 解析如图,取 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,则
6、 A(0,0),B(2,0),C(3,),F(1,)33设 P(x,y),则(x,y),(2,0),且1x0 时,要满足 xf(x1)0,则 f(x1)0,得 1x3.故满足 xf(x1)0 的 x 的取值范围是1,01,3 二、选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分)9已知曲线 C:mx2ny21.()A若 mn0,则 C 是椭圆,其焦点在 y 轴上 B若 mn0,则 C 是圆,其半径为 nC若 mn0,则 C 是两条直线 答案ACD 解析对于 A,当 mn0 时,有 0,方
7、程化为 1,表示焦点在 y 轴上的椭圆,故 A 正确 1n1mx21my21n对于 B,当 mn0 时,方程化为 x2y2,表示半径为的圆,故 B 错误 1n1n对于 C,当 m0,n0 时,方程化为1,表示焦点在 x 轴上的双曲线,其中 a,b,渐近x21my21n1m1n线方程为 yx;当 m0 时,方程化为1,表示焦点在 y 轴上的双曲线,其中 a,bmny21nx21m1n,渐近线方程为 yx,故 C 正确 1mmn对于 D,当 m0,n0 时,方程化为 y,表示两条平行于 x 轴的直线,故 D 正确 1n10如图是函数 ysin(x)的部分图象,则 sin(x)等于()Asin Bs
8、in(x3)(32x)Ccos Dcos(2x6)(562x)答案BC 解析由图象知 ,得 T,T22362所以 2.2T又图象过点,(6,0)由“五点法”,结合图象可得 ,即,323所以 sin(x)sin,故 A 错误;(2x23)由 sinsinsin知 B 正确;(2x23)(32x)(32x)由 sinsincos知 C 正确;(2x23)(2x26)(2x6)由 sincoscos(2x23)(2x6)(2x56)cos知 D 错误(562x)11已知 a0,b0,且 ab1,则()Aa2b2 B2ab 1212Clog2alog2b2 D.ab2答案ABD 解析因为 a0,b0,
9、ab1,所以 ab2,ab当且仅当 ab 时,等号成立,即有 ab.1214 对于 A,a2b2(ab)22ab12ab12 ,故 A 正确;1412对于 B,2ab22a1 22a,12因为 a0,所以 22a1,即 2ab,故 B 正确;12对于 C,log2alog2blog2ablog22,故 C 错误;14对于 D,由()2ab2122,ababab得,故 D 正确 ab212信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量 X 所有可能的取值为 1,2,n,且 P(Xi)pi0(i1,2,n),i1,定义 X 的信息熵 H(X)ilog2pi.()ni1pni1pA若 n1,则 H(X)0
10、 B若 n2,则 H(X)随着 pi的增大而增大 C若 pi(i1,2,n),则 H(X)随着 n 的增大而增大 1nD若 n2m,随机变量 Y 所有可能的取值为 1,2,m,且 P(Yj)pjp2m1j(j1,2,m),则H(X)H(Y)答案AC 解析对于 A,当 n1 时,p11,H(X)1log210,故 A 正确;对于 B,当 n2 时,有 p1p21,此时,若 p1 或 都有 H(X),故 B 错误;1434(14log21434log234)对于 C,当 pi(i1,2,n)时,1nH(X)log2n log2log2n.ni11n1n1n1n显然 H(X)随 n 的增大而增大,故
11、 C 正确;对于 D,方法一当 n2m 时,H(X)(p1log2p1p2log2p2p2m1log2p2m1p2mlog2p2m)(p1log2p1p2mlog2p2m)(p2log2p2p2m1log2p2m1)(pmlog2pmpm1log2pm1),H(Y)(p1p2m)log2(p1p2m)(p2p2m1)log2(p2p2m1)(pmpm1)log2(pmpm1),由于 p1log2p1p2mlog2p2mlog2()log2(p1p2m)p1 11pp22mpmp212()mpmpplog2(p1p2m)log2(p1p2m),1212()mppmpp同理可证 p2log2p2p
12、2m1log2p2m1(p2p2m1)log2(p2p2m1),pmlog2pmpm1log2pm1H(Y)方法二(特值法)令 m1,则 n2,p1,p2.1434P(Y1)1,H(Y)log210,H(X)0,(14log21434log234)H(X)H(Y)三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13斜率为的直线过抛物线 C:y24x 的焦点,且与 C 交于 A,B 两点,则|AB|_.3答案 163解析如图,由题意得,抛物线焦点为 F(1,0),设直线 AB 的方程为 y(x1)3由Error!Error!得 3x210 x30.设 A(x1,y1),B(x2,y2
13、),则 x1x2,103所以|AB|x1x22.16314将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前 n 项和为_ 答案3n22n 解析方法一(观察归纳法)数列2n1的各项为 1,3,5,7,9,11,13,;数列3n2的各项为 1,4,7,10,13,.观察归纳可知,两个数列的公共项为 1,7,13,是首项为 1,公差为 6 的等差数列,则 an16(n1)6n5.故前 n 项和为 Sn na1an2n16n523n22n.方法二(引入参变量法)令 bn2n1,cm3m2,bncm,则 2n13m2,即 3m2n1,m 必为奇数 令 m2t1,则 n3t2(t1,2,3
14、,)atb3t2c2t16t5,即 an6n5.以下同方法一 15.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心,A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点,B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点,四边形 DEFG 为矩形,BCDG,垂足为 C,tanODC,BHDG,EF12 cm,DE2 cm,A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm,圆孔半径为 1 cm,则35图中阴影部分的面积为_ cm2.答案4 52解析如图,连接 OA,过 A 作 APEF,分别交 EF,DG,OH 于点 P,Q,R.由题意知 APEP7,又 DE2,EF12
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