2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版).pdf
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1、第 1 页(共 15 页)2013 年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)一、选择题共一、选择题共 12 小题每小题小题每小题 5 分,共分,共 60 分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项题目要求的一项 1(5 分)已知集合 A=1,2,3,4,B=x|x=n2,nA,则 AB=()A1,4 B2,3 C9,16 D1,2 2(5 分)=()A1i B1+i C1+i D1i 3(5 分)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是()A B
2、C D 4(5 分)已知双曲线 C:(a0,b0)的离心率为,则 C 的渐近线方程为()Ay=By=Cy=x Dy=5(5 分)已知命题 p:xR,2x3x;命题 q:xR,x3=1x2,则下列命题中为真命题的是()Apq Bpq Cpq Dpq 6(5 分)设首项为 1,公比为的等比数列an的前 n 项和为 Sn,则()ASn=2an1 BSn=3an2 CSn=43an DSn=32an 7(5 分)执行程序框图,如果输入的 t1,3,则输出的 s 属于()A3,4 B5,2 C4,3 D2,5 8(5 分)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF
3、|=4,则POF 的面积为()A2 B2 C2 D4 9(5 分)函数 f(x)=(1cosx)sinx 在,的图象大致为()A B C D 10(5 分)已知锐角ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则 b=()A10 B9 C8 D5 11(5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()第 2 页(共 15 页)A16+8 B8+8 C16+16 D8+16 12(5 分)已知函数 f(x)=,若|f(x)|ax,则 a 的取值范围是()A(,0 B(,1 C2,1 D2,0 二填空题:本大题共四小题,每小题二填空题
4、:本大题共四小题,每小题 5 分分 13(5 分)已知两个单位向量,的夹角为 60,=t+(1t)若 =0,则 t=14(5 分)设 x,y 满足约束条件,则 z=2xy 的最大值为 15(5 分)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH:HB=1:2,AB平面,H 为垂足,截球 O所得截面的面积为,则球 O 的表面积为 16(5 分)设当 x=时,函数 f(x)=sinx2cosx 取得最大值,则 cos=三三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17(12 分)已知等差数列an的前 n 项和 Sn满足 S3=0,S5=5()求
5、an的通项公式;()求数列的前 n 项和 18(12 分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)实验的观测结果如下:服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间:0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间:3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6
6、1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5()分别计算两种药的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?()根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?第 3 页(共 15 页)19(12 分)如图,三棱柱 ABCA1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60()证明:ABA1C;()若 AB=CB=2,A1C=,求三棱柱 ABCA1B1C1的体积 20(12 分)已知函数 f(x)=ex(ax+b)x24x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处切线方程为y=4x+4()求 a,b 的值;()讨论 f(x)的单调性,并
7、求 f(x)的极大值 21(12 分)已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C()求 C 的方程;()l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|请考生在第请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。铅笔在答题卡上将所选题
8、号后的方框涂黑。22(10 分)(选修 41:几何证明选讲)如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直BE 交圆于 D()证明:DB=DC;()设圆的半径为 1,BC=,延长 CE 交 AB 于点 F,求BCF 外接圆的半径 第 4 页(共 15 页)23已知曲线 C1的参数方程为(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为=2sin(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求 C1与 C2交点的极坐标(0,02)24已知函数 f(x)=|2x1|+|2x+a|,g(x)=x+
9、3()当 a=2 时,求不等式 f(x)g(x)的解集;()设 a1,且当 x,时,f(x)g(x),求 a 的取值范围 第 5 页(共 15 页)2013 年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 12 小题每小题小题每小题 5 分,共分,共 60 分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项题目要求的一项 1(5 分)已知集合 A=1,2,3,4,B=x|x=n2,nA,则 AB=()A1,4 B2,3 C9,16 D1,2 【考点】
10、1E:交集及其运算菁优网版权所有【专题】5J:集合【分析】由集合 A 中的元素分别平方求出 x 的值,确定出集合 B,找出两集合的公共元素,即可求出交集【解答】解:根据题意得:x=1,4,9,16,即 B=1,4,9,16,A=1,2,3,4,AB=1,4 故选:A【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2(5 分)=()A1i B1+i C1+i D1i 【考点】A5:复数的运算菁优网版权所有【专题】11:计算题【分析】利用分式的分母平方,复数分母实数化,运算求得结果【解答】解:=1+i 故选:B【点评】本题考查复数代数形式的混合运算,复数的乘方运算,考查计算能力
11、3(5 分)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是()A B C D 【考点】CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率菁优网版权所有【专题】5I:概率与统计【分析】本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是从 4 个不同的数中随机的抽 2个,共有 C42种结果,满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于 2 的有两种,得到概率【解答】解:由题意知本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是从 4 个不同的数中随机的抽 2 个,共有 C42=6 种结果,满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于 2,有 2 种结果,分别是(1,3),(
12、2,4),要求的概率是=故选:B【点评】本题考查等可能事件的概率,是一个基础题,本题解题的关键是事件数是一个组合数,若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果 4(5 分)已知双曲线 C:(a0,b0)的离心率为,则 C 的渐近线方程为()Ay=By=Cy=x Dy=【考点】KC:双曲线的性质菁优网版权所有【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由离心率和 abc 的关系可得 b2=4a2,而渐近线方程为 y=x,代入可得答案 第 6 页(共 15 页)【解答】解:由双曲线 C:(a0,b0),则离心率 e=,即 4b2=a2,故渐近线方程为 y=x=x,故选:D【点评】本题考查双曲线的
13、简单性质,涉及的渐近线方程,属基础题 5(5 分)已知命题 p:xR,2x3x;命题 q:xR,x3=1x2,则下列命题中为真命题的是()Apq Bpq Cpq Dpq 【考点】2E:复合命题及其真假菁优网版权所有【专题】21:阅读型;5L:简易逻辑【分析】举反例说明命题 p 为假命题,则p 为真命题引入辅助函数 f(x)=x3+x21,由函数零点的存在性定理得到该函数有零点,从而得到命题 q 为真命题,由复合命题的真假得到答案【解答】解:因为 x=1 时,2131,所以命题 p:xR,2x3x为假命题,则p 为真命题 令 f(x)=x3+x21,因为 f(0)=10,f(1)=10所以函数
14、f(x)=x3+x21 在(0,1)上存在零点,即命题 q:xR,x3=1x2为真命题 则pq 为真命题 故选:B【点评】本题考查了复合命题的真假,考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法,解答的关键是熟记复合命题的真值表,是基础题 6(5 分)设首项为 1,公比为的等比数列an的前 n 项和为 Sn,则()ASn=2an1 BSn=3an2 CSn=43an DSn=32an 【考点】89:等比数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】54:等差数列与等比数列【分析】由题意可得数列的通项公式,进而可得其求和公式,化简可得要求的关系式【解答】解:由题意可得 an=1=,Sn=3=32=32an,
15、故选:D【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式,涉及指数的运算,属中档题 7(5 分)执行程序框图,如果输入的 t1,3,则输出的 s 属于()A3,4 B5,2 C4,3 D2,5 【考点】3B:分段函数的解析式求法及其图象的作法;EF:程序框图菁优网版权所有【专题】27:图表型;5K:算法和程序框图【分析】本题考查的知识点是程序框图,分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示第 7 页(共 15 页)的顺序,可知:该程序的作用是计算一个分段函数的函数值,由条件为 t1 我们可得,分段函数的分类标准,由分支结构中是否两条分支上对应的语句行,我们易得函数的解析式【解答】解:由判断框
16、中的条件为 t1,可得:函数分为两段,即 t1 与 t1,又由满足条件时函数的解析式为:s=3t;不满足条件时,即 t1 时,函数的解析式为:s=4tt2 故分段函数的解析式为:s=,如果输入的 t1,3,画出此分段函数在 t1,3时的图象,则输出的 s 属于3,4 故选:A 【点评】要求条件结构对应的函数解析式,要分如下几个步骤:分析流程图的结构,分析条件结构是如何嵌套的,以确定函数所分的段数;根据判断框中的条件,设置分类标准;根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作,分析函数各段的解析式;对前面的分类进行总结,写出分段函数的解析式 8(5 分)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4x
17、的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4,则POF 的面积为()A2 B2 C2 D4 【考点】K8:抛物线的性质菁优网版权所有【专题】11:计算题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线方程,算出焦点 F 坐标为()设 P(m,n),由抛物线的定义结合|PF|=4,算出 m=3,从而得到 n=,得到POF 的边 OF 上的高等于 2,最后根据三角形面积公式即可算出POF 的面积【解答】解:抛物线 C 的方程为 y2=4x 2p=4,可得=,得焦点 F()设 P(m,n)根据抛物线的定义,得|PF|=m+=4,即 m+=4,解得 m=3 点 P 在抛物线 C 上,得 n2=43=
18、24 n=|OF|=POF 的面积为 S=|OF|n|=2 故选:C 【点评】本题给出抛物线 C:y2=4x 上与焦点 F 的距离为 4的点 P,求POF 的面积着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题 第 8 页(共 15 页)9(5 分)函数 f(x)=(1cosx)sinx 在,的图象大致为()A B C D 【考点】3A:函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【专题】51:函数的性质及应用【分析】由函数的奇偶性可排除 B,再由 x(0,)时,f(x)0,可排除 A,求导数可得 f(0)=0,可排除 D,进而可得答案【解答】解:由题意可知:f(x)=(1
19、cosx)sin(x)=f(x),故函数 f(x)为奇函数,故可排除 B,又因为当 x(0,)时,1cosx0,sinx0,故 f(x)0,可排除 A,又 f(x)=(1cosx)sinx+(1cosx)(sinx)=sin2x+cosxcos2x=cosxcos2x,故可得 f(0)=0,可排除 D,故选:C【点评】本题考查三角函数的图象,涉及函数的奇偶性和某点的导数值,属基础题 10(5 分)已知锐角ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则 b=()A10 B9 C8 D5 【考点】HR:余弦定理菁优网版权所有【专题】58:解
20、三角形【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式,求出 cosA 的值,再由 a 与 c 的值,利用余弦定理即可求出 b 的值【解答】解:23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A1=0,即 cos2A=,A 为锐角,cosA=,又 a=7,c=6,根据余弦定理得:a2=b2+c22bccosA,即 49=b2+36b,解得:b=5 或 b=(舍去),则 b=5 故选:D【点评】此题考查了余弦定理,二倍角的余弦函数公式,熟练掌握余弦定理是解本题的关键 11(5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A16+8 B8+8 C16+16 D8+16 【考点】L!:由
21、三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】16:压轴题;27:图表型【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,依据三视图的数据,得出组合第 9 页(共 15 页)体长、宽、高,即可求出几何体的体积【解答】解:三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,如图,其中长方体长、宽、高分别是:4,2,2,半个圆柱的底面半径为 2,母线长为 4 长方体的体积=422=16,半个圆柱的体积=224=8 所以这个几何体的体积是 16+8;故选:A 【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法,三视图与直观图的关系,柱体体积计算公式,空间想象能力 12(5 分)已知函数 f(x)=,若|
22、f(x)|ax,则 a 的取值范围是()A(,0 B(,1 C2,1 D2,0 【考点】7E:其他不等式的解法菁优网版权所有【专题】16:压轴题;59:不等式的解法及应用【分析】由函数图象的变换,结合基本初等函数的图象可作出函数 y=|f(x)|的图象,和函数y=ax 的图象,由导数求切线斜率可得 l 的斜率,进而数形结合可得 a 的范围【解答】解:由题意可作出函数 y=|f(x)|的图象,和函数 y=ax 的图象,由图象可知:函数 y=ax 的图象为过原点的直线,当直线介于 l 和 x 轴之间符合题意,直线 l 为曲线的切线,且此时函数 y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为 y=x22x
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