2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）.pdf

第 1 页（共 15 页）2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题共一、选择题共 12 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项题目要求的一项 1（5 分）已知集合 A=1，2，3，4，B=x|x=n2，nA，则 AB=（）A1，4 B2，3 C9，16 D1，2 2（5 分）=（）A1i B1+i C1+i D1i 3（5 分）从 1，2，3，4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是（）A B C D 4（5 分）已知双曲线 C：（a0，b0）的离心率为，则 C 的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=x Dy=5（5 分）已知命题 p：xR，2x3x；命题 q：xR，x3=1x2，则下列命题中为真命题的是（）Apq Bpq Cpq Dpq 6（5 分）设首项为 1，公比为的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则（）ASn=2an1 BSn=3an2 CSn=43an DSn=32an 7（5 分）执行程序框图，如果输入的 t1，3，则输出的 s 属于（）A3，4 B5，2 C4，3 D2，5 8（5 分）O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|=4，则POF 的面积为（）A2 B2 C2 D4 9（5 分）函数 f（x）=（1cosx）sinx 在，的图象大致为（）A B C D 10（5 分）已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则 b=（）A10 B9 C8 D5 11（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）第 2 页（共 15 页）A16+8 B8+8 C16+16 D8+16 12（5 分）已知函数 f（x）=，若|f（x）|ax，则 a 的取值范围是（）A（，0 B（，1 C2，1 D2，0 二填空题：本大题共四小题，每小题二填空题：本大题共四小题，每小题 5 分分 13（5 分）已知两个单位向量，的夹角为 60，=t+（1t）若 =0，则 t=14（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2xy 的最大值为 15（5 分）已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH：HB=1：2，AB平面，H 为垂足，截球 O所得截面的面积为，则球 O 的表面积为 16（5 分）设当 x=时，函数 f（x）=sinx2cosx 取得最大值，则 cos=三三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（12 分）已知等差数列an的前 n 项和 Sn满足 S3=0，S5=5（）求an的通项公式；（）求数列的前 n 项和 18（12 分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为 A 药，B 药）的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？第 3 页（共 15 页）19（12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明：ABA1C；（）若 AB=CB=2，A1C=，求三棱柱 ABCA1B1C1的体积 20（12 分）已知函数 f（x）=ex（ax+b）x24x，曲线 y=f（x）在点（0，f（0）处切线方程为y=4x+4（）求 a，b 的值；（）讨论 f（x）的单调性，并求 f（x）的极大值 21（12 分）已知圆 M：（x+1）2+y2=1，圆 N：（x1）2+y2=9，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C（）求 C 的方程；（）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|请考生在第请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22（10 分）（选修 41：几何证明选讲）如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直BE 交圆于 D（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为 1，BC=，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径 第 4 页（共 15 页）23已知曲线 C1的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为=2sin（1）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求 C1与 C2交点的极坐标（0，02）24已知函数 f（x）=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3（）当 a=2 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（）设 a1，且当 x，时，f（x）g（x），求 a 的取值范围 第 5 页（共 15 页）2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 12 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项题目要求的一项 1（5 分）已知集合 A=1，2，3，4，B=x|x=n2，nA，则 AB=（）A1，4 B2，3 C9，16 D1，2 【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】由集合 A 中的元素分别平方求出 x 的值，确定出集合 B，找出两集合的公共元素，即可求出交集【解答】解：根据题意得：x=1，4，9，16，即 B=1，4，9，16，A=1，2，3，4，AB=1，4 故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2（5 分）=（）A1i B1+i C1+i D1i 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果【解答】解：=1+i 故选：B【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的乘方运算，考查计算能力 3（5 分）从 1，2，3，4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是（）A B C D 【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从 4 个不同的数中随机的抽 2个，共有 C42种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于 2 的有两种，得到概率【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从 4 个不同的数中随机的抽 2 个，共有 C42=6 种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于 2，有 2 种结果，分别是（1，3），（2，4），要求的概率是=故选：B【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果 4（5 分）已知双曲线 C：（a0，b0）的离心率为，则 C 的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=x Dy=【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由离心率和 abc 的关系可得 b2=4a2，而渐近线方程为 y=x，代入可得答案 第 6 页（共 15 页）【解答】解：由双曲线 C：（a0，b0），则离心率 e=，即 4b2=a2，故渐近线方程为 y=x=x，故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题 5（5 分）已知命题 p：xR，2x3x；命题 q：xR，x3=1x2，则下列命题中为真命题的是（）Apq Bpq Cpq Dpq 【考点】2E：复合命题及其真假菁优网版权所有【专题】21：阅读型；5L：简易逻辑【分析】举反例说明命题 p 为假命题，则p 为真命题引入辅助函数 f（x）=x3+x21，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题 q 为真命题，由复合命题的真假得到答案【解答】解：因为 x=1 时，2131，所以命题 p：xR，2x3x为假命题，则p 为真命题 令 f（x）=x3+x21，因为 f（0）=10，f（1）=10所以函数 f（x）=x3+x21 在（0，1）上存在零点，即命题 q：xR，x3=1x2为真命题 则pq 为真命题 故选：B【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题 6（5 分）设首项为 1，公比为的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则（）ASn=2an1 BSn=3an2 CSn=43an DSn=32an 【考点】89：等比数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列【分析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，化简可得要求的关系式【解答】解：由题意可得 an=1=，Sn=3=32=32an，故选：D【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及指数的运算，属中档题 7（5 分）执行程序框图，如果输入的 t1，3，则输出的 s 属于（）A3，4 B5，2 C4，3 D2，5 【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图菁优网版权所有【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示第 7 页（共 15 页）的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为 t1 我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式【解答】解：由判断框中的条件为 t1，可得：函数分为两段，即 t1 与 t1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即 t1 时，函数的解析式为：s=4tt2 故分段函数的解析式为：s=，如果输入的 t1，3，画出此分段函数在 t1，3时的图象，则输出的 s 属于3，4 故选：A 【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；根据判断框中的条件，设置分类标准；根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式 8（5 分）O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|=4，则POF 的面积为（）A2 B2 C2 D4 【考点】K8：抛物线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线方程，算出焦点 F 坐标为（）设 P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出 m=3，从而得到 n=，得到POF 的边 OF 上的高等于 2，最后根据三角形面积公式即可算出POF 的面积【解答】解：抛物线 C 的方程为 y2=4x 2p=4，可得=，得焦点 F（）设 P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即 m+=4，解得 m=3 点 P 在抛物线 C 上，得 n2=43=24 n=|OF|=POF 的面积为 S=|OF|n|=2 故选：C 【点评】本题给出抛物线 C：y2=4x 上与焦点 F 的距离为 4的点 P，求POF 的面积着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题 第 8 页（共 15 页）9（5 分）函数 f（x）=（1cosx）sinx 在，的图象大致为（）A B C D 【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】由函数的奇偶性可排除 B，再由 x（0，）时，f（x）0，可排除 A，求导数可得 f（0）=0，可排除 D，进而可得答案【解答】解：由题意可知：f（x）=（1cosx）sin（x）=f（x），故函数 f（x）为奇函数，故可排除 B，又因为当 x（0，）时，1cosx0，sinx0，故 f（x）0，可排除 A，又 f（x）=（1cosx）sinx+（1cosx）（sinx）=sin2x+cosxcos2x=cosxcos2x，故可得 f（0）=0，可排除 D，故选：C【点评】本题考查三角函数的图象，涉及函数的奇偶性和某点的导数值，属基础题 10（5 分）已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则 b=（）A10 B9 C8 D5 【考点】HR：余弦定理菁优网版权所有【专题】58：解三角形【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出 cosA 的值，再由 a 与 c 的值，利用余弦定理即可求出 b 的值【解答】解：23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A1=0，即 cos2A=，A 为锐角，cosA=，又 a=7，c=6，根据余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即 49=b2+36b，解得：b=5 或 b=（舍去），则 b=5 故选：D【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键 11（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16+8 B8+8 C16+16 D8+16 【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】16：压轴题；27：图表型【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合第 9 页（共 15 页）体长、宽、高，即可求出几何体的体积【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为 2，母线长为 4 长方体的体积=422=16，半个圆柱的体积=224=8 所以这个几何体的体积是 16+8；故选：A 【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力 12（5 分）已知函数 f（x）=，若|f（x）|ax，则 a 的取值范围是（）A（，0 B（，1 C2，1 D2，0 【考点】7E：其他不等式的解法菁优网版权所有【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数 y=|f（x）|的图象，和函数y=ax 的图象，由导数求切线斜率可得 l 的斜率，进而数形结合可得 a 的范围【解答】解：由题意可作出函数 y=|f（x）|的图象，和函数 y=ax 的图象，由图象可知：函数 y=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于 l 和 x 轴之间符合题意，直线 l 为曲线的切线，且此时函数 y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为 y=x22x，求其导数可得 y=2x2，因为 x0，故 y2，故直线 l 的斜率为2，故只需直线 y=ax 的斜率 a 介于2 与 0 之间即可，即 a2，0 故选：D【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题 二填空题：本大题共四小题，每小题二填空题：本大题共四小题，每小题 5 分分 13（5 分）已知两个单位向量，的夹角为 60，=t+（1t）若 =0，则 t=2 【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】由于 =0，对式子=t+（1t）两边与 作数量积可得=0，经过化简即可得出【解答】解：，=0，tcos60+1t=0，1=0，解得 t=2 故答案为 2【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键 第 10 页（共 15 页）14（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2xy 的最大值为3 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2xy 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得 A（3，3），z=2xy 可转换成 y=2xz，z 最大时，y 值最小，即：当直线 z=2xy 过点 A（3，3）时，在 y 轴上截距最小，此时 z 取得最大值 3 故答案为：3 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 15（5 分）已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH：HB=1：2，AB平面，H 为垂足，截球 O所得截面的面积为，则球 O 的表面积为 【考点】LG：球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离【分析】本题考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为 R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是，我们易求出截面圆的半径为 1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积【解答】解：设球的半径为 R，AH：HB=1：2，平面 与球心的距离为R，截球 O 所得截面的面积为，d=R 时，r=1，故由 R2=r2+d2得 R2=12+（R）2，R2=球的表面积 S=4R2=故答案为：【点评】若球的截面圆半径为 r，球心距为 d，球半径为 R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即 R2=r2+d2 16（5 分）设当 x=时，函数 f（x）=sinx2cosx 取得最大值，则 cos=【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域菁优网版权所有【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由 x=时，函数 f（x）取得最大值，得到 sin2cos=，与 sin2+cos2=1 联立即可求出 cos 的值【解答】解：f（x）=sinx2cosx=（sinxcosx）=sin（x）（其中 cos=，sin=），x=时，函数 f（x）取得最大值，sin（）=1，即 sin2cos=，又 sin2+cos2=1，第 11 页（共 15 页）联立得（2cos+）2+cos2=1，解得 cos=故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键 三三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（12 分）已知等差数列an的前 n 项和 Sn满足 S3=0，S5=5（）求an的通项公式；（）求数列的前 n 项和 【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列【分析】（）设出等差数列an的首项和公差，直接由 S3=0，S5=5 列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理；（）把（）中求出的通项公式，代入数列的通项中进行列项整理，则利用裂项相消可求数列的前 n 项和【解答】解：（）设数列an的首项为 a1，公差为 d，则 由已知可得，即，解得 a1=1，d=1，故an的通项公式为 an=a1+（n1）d=1+（n1）（1）=2n；（）由（）知 从而数列的前 n 项和 Sn=【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题 18（12 分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为 A 药，B 药）的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】（）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论；（）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成【解答】解：（）设 A 药观测数据的平均数据的平均数为，设 B 药观测数据的平均数据的平均数为，则=（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4）=2.3（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5）第 12 页（共 15 页）=1.6 由以上计算结果可知：由此可看出 A 药的效果更好 （）根据两组数据得到下面茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有的叶集中在 2，3 上而 B 药疗效的试验结果由的叶集中在 0，1 上由此可看出 A 药的疗效更好【点评】熟练掌握平均数的计算公式和茎叶图的结果及其功能是解题的关键 19（12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明：ABA1C；（）若 AB=CB=2，A1C=，求三棱柱 ABCA1B1C1的体积 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】（）由题目给出的边的关系，可想到去 AB 中点 O，连结 OC，OA1，可通过证明 AB平面 OA1C 得要证的结论；（）在三角形 OCA1中，由勾股定理得到 OA1OC，再根据 OA1AB，得到 OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积【解答】（）证明：如图，取 AB 的中点 O，连结 OC，OA1，A1B 因为 CA=CB，所以 OCAB 由于 AB=AA1，故AA1B 为等边三角形，所以 OA1AB 因为 OCOA1=O，所以 AB平面 OA1C 又 A1C平面 OA1C，故 ABA1C；（）解：由题设知ABC 与AA1B 都是边长为 2 的等边三角形，所以 又，则，故 OA1OC 因为 OCAB=O，所以 OA1平面 ABC，OA1为三棱柱 ABCA1B1C1的高 又ABC 的面积，故三棱柱 ABCA1B1C1的体积 【点评】题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了棱柱的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题 20（12 分）已知函数 f（x）=ex（ax+b）x24x，曲线 y=f（x）在点（0，f（0）处切线方程为y=4x+4（）求 a，b 的值；（）讨论 f（x）的单调性，并求 f（x）的极大值 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用 第 13 页（共 15 页）【分析】（）求导函数，利用导数的几何意义及曲线 y=f（x）在点（0，f（0）处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得 a，b 的值；（）利用导数的正负，可得 f（x）的单调性，从而可求 f（x）的极大值【解答】解：（）f（x）=ex（ax+b）x24x，f（x）=ex（ax+a+b）2x4，曲线 y=f（x）在点（0，f（0）处切线方程为 y=4x+4 f（0）=4，f（0）=4 b=4，a+b=8 a=4，b=4；（）由（）知，f（x）=4ex（x+1）x24x，f（x）=4ex（x+2）2x4=4（x+2）（ex），令 f（x）=0，得 x=ln2 或 x=2 x（，2）或（ln2，+）时，f（x）0；x（2，ln2）时，f（x）0 f（x）的单调增区间是（，2），（ln2，+），单调减区间是（2，ln2）当 x=2 时，函数 f（x）取得极大值，极大值为 f（2）=4（1e2）【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键 21（12 分）已知圆 M：（x+1）2+y2=1，圆 N：（x1）2+y2=9，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C（）求 C 的方程；（）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆【分 析】（I）设 动 圆 的 半 径 为 R，由 已 知 动 圆 P 与 圆 M 外 切 并 与 圆 N 内 切，可 得|PM|+|PN|=R+1+（3R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，4 为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线 C 上任意一点 P（x，y），由于|PM|PN|=2R242=2，所以 R2，当且仅当P的圆心为（2，0）R=2 时，其半径最大，其方程为（x2）2+y2=4分l 的倾斜角为 90，此时l 与 y 轴重合，可得|AB|若 l 的倾斜角不为 90，由于M 的半径 1R，可知 l 与 x 轴不平行，设 l 与 x 轴的交点为 Q，根据，可得 Q（4，0），所以可设 l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出【解答】解：（I）由圆 M：（x+1）2+y2=1，可知圆心 M（1，0）；圆 N：（x1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径 3 设动圆的半径为 R，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，|PM|+|PN|=R+1+（3R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，4 为长轴长的椭圆，a=2，c=1，b2=a2c2=3 曲线 C 的方程为（x2）（II）设曲线 C 上任意一点 P（x，y），由于|PM|PN|=2R231=2，所以 R2，当且仅当P 的圆心为（2，0）R=2 时，其半径最大，其方程为（x2）2+y2=4 l 的倾斜角为 90，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|=若 l 的倾斜角不为 90，由于M 的半径 1R，可知 l 与 x 轴不平行，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则，可得 Q（4，0），所以可设 l：y=k（x+4），由 l 于 M 相切可得：，解得 当时，联立，得到 7x2+8x8=0，第 14 页（共 15 页）|AB|=由于对称性可知：当时，也有|AB|=综上可知：|AB|=或【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法 请考生在第请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22（10 分）（选修 41：几何证明选讲）如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直BE 交圆于 D（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为 1，BC=，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径 【考点】NC：与圆有关的比例线段菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆【分析】（I）连接 DE 交 BC 于点 G，由弦切角定理可得ABE=BCE，由已知角平分线可得ABE=CBE，于是得到CBE=BCE，BE=CE由已知 DBBE，可知 DE 为O 的直径，RtDBERtDCE，利用三角形全等的性质即可得到 DC=DB（II）由（I）可知：DG 是 BC 的垂直平分线，即可得到 BG=设 DE 的中点为 O，连接 BO，可得BOG=60从而ABE=BCE=CBE=30得到 CFBF进而得到 RtBCF 的外接圆的半径=【解答】（I）证明：连接 DE 交 BC 于点 G 由弦切角定理可得ABE=BCE，而ABE=CBE，CBE=BCE，BE=CE 又DBBE，DE 为O 的直径，DCE=90 DBEDCE，DC=DB（II）由（I）可知：CDE=BDE，DB=DC 故 DG 是 BC 的垂直平分线，BG=设 DE 的中点为 O，连接 BO，则BOG=60 从而ABE=BCE=CBE=30 CFBF RtBCF 的外接圆的半径=【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力 23已知曲线 C1的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为=2sin（1）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求 C1与 C2交点的极坐标（0，02）【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程 第 15 页（共 15 页）【分析】（1）曲线 C1的参数方程消去参数 t，得到普通方程，再由，能求出 C1的极坐标方程（2）曲线 C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与 C1的普通方程联立，求出 C1与 C2交点的直角坐标，由此能求出 C1与 C2交点的极坐标【解答】解：（1）将，消去参数 t，化为普通方程（x4）2+（y5）2=25，即 C1：x2+y28x10y+16=0，将代入 x2+y28x10y+16=0，得 28cos10sin+16=0 C1的极坐标方程为 28cos10sin+16=0（2）曲线 C2的极坐标方程为=2sin 曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y22y=0，联立，解得或，C1与 C2交点的极坐标为（）和（2，）【点评】本题考查曲线极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 24已知函数 f（x）=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3（）当 a=2 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（）设 a1，且当 x，时，f（x）g（x），求 a 的取值范围 【考点】R5：绝对值不等式的解法菁优网版权所有【分 析】（）当 a=2 时，求 不 等 式 f（x）g（x）化 为|2x1|+|2x2|x3 0 设y=|2x1|+|2x2|x3，画出函数 y 的图象，数形结合可得结论（）不等式化即 1+ax+3，故 xa2 对 x，都成立，分析可得a2，由此解得 a的取值范围【解答】解：（）当 a=2 时，求不等式 f（x）g（x）化为|2x1|+|2x2|x30 设 y=|2x1|+|2x2|x3，则 y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y0 的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）（）设 a1，且当 x，时，f（x）=1+a，不等式化为 1+ax+3，故 xa2 对 x，都成立 故a2，解得 a，故 a 的取值范围为（1，【点评】本题考查绝对值不等式的解法与绝对值不等式的性质，关键是利用零点分段讨论法分析函数的解析式