2004年天津市高考理科数学真题及答案.doc

2004年天津市高考理科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）是虚数单位，　　
A． B． C． D．
2．（5分）若不等式的解集为　　
A．， B．，
C．， D．，
3．（5分）若平面向量与向量的夹角是，且，则　　
A． B． C． D．
4．（5分）设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于　　
A．2 B．18 C．2或18 D．16
5．（5分）若函数在区间，上的最大值是最小值的3倍，则等于　　
A． B． C． D．
6．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，、分别是、的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于　　

A． B． C． D．
7．（5分）点为圆的弦的中点，则直线的方程为　　
A． B． C． D．
8．（5分）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的　　
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（5分）函数，，为增函数的区间是　　
A．， B．， C．， D．，
10．（5分）如图，在长方体中，，，，分别过、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，．若，则截面的面积为　　

A． B． C． D．16
11．（5分）函数的反函数是　　
A． B．
C． D．
12．（5分）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当，时，，则的值为　　
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有16件．那么此样本的容量　 　．
14．（4分）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是　 　．
15．（4分）若，则　 　．（用数字作答）
16．（4分）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有　 　个．（用数字作答）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．
（1）求的分布列和的数学期望；
（2）求“所选3人中女生人数”的概率．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
（1）证明平面；
（2）证明平面；
（3）求二面角的大小．

20．（12分）已知函数在处取得极值．
（Ⅰ）讨论（1）和是函数的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程．
21．（12分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为偶数；
（2）点数大于2且小于5．
22．（14分）椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点，的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若，求直线的方程；
（3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明．

2004年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）是虚数单位，　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
故选：．
2．（5分）若不等式的解集为　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：
故选：．
3．（5分）若平面向量与向量的夹角是，且，则　　
A． B． C． D．
【解答】解向量与向量的夹角是，
向量与向量反向，
令（则，
又，

解得
故
故选：．
4．（5分）设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于　　
A．2 B．18 C．2或18 D．16
【解答】解：整理准线方程得，
，，
或
或18，
故选：．
5．（5分）若函数在区间，上的最大值是最小值的3倍，则等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
是减函数．
．
．
．
．
．
故选：．
6．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，、分别是、的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于　　

A． B． C． D．
【解答】解：取的中点．连接，再取的中点，连接、，则为异面直线所成的角．
在中，，，．
由余弦定理，可得．
故选：．
7．（5分）点为圆的弦的中点，则直线的方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：是圆的弦，圆心为
设的中点是满足
因此，的斜率
可得直线的方程是，化简得
故选：．
8．（5分）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的　　
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：点都在直线上
，
“为等差数列，
若“为等差数列，可设，则点都不在直线上，
对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的充分而不必要条件，
故选：．
9．（5分）函数，，为增函数的区间是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由其增区间可由的减区间得到，
即，
，．
令，，
故选：．
10．（5分）如图，在长方体中，，，，分别过、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，．若，则截面的面积为　　

A． B． C． D．16
【解答】解：由题意知，在长方体中，平面平面，
截面是一个矩形，并且长方体的体积，
，，
则，解得，
在直角中，，
故截面的面积是，
故选：．
11．（5分）函数的反函数是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函数，可得
，，
所以函数的反函数是：
故选：．
12．（5分）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当，时，，则的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：的最小正周期是

函数是偶函数
．
故选：．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有16件．那么此样本的容量　80　．
【解答】解：

故答案是80
14．（4分）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是　　．
【解答】解：过、两点的直线为：与抛物线联立得：．
因为直线与抛物线没有交点，则方程无解．
即△，
解之得．
故答案为：
15．（4分）若，则　2004　．（用数字作答）
【解答】解：令，得；
令，得，
故．
故答案为：2004
16．（4分）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有　300　个．（用数字作答）
【解答】解：①四位数中包含5和0的情况：
．
②四位数中包含5，不含0的情况：
．
③四位数中包含0，不含5的情况：
．
四位数总数为．
故答案为：300．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
【解答】解：（Ⅰ）解：，
由，有，解得；
（Ⅱ）解法一：
．
解法二：由（1），，得
，
于是，

代入得．
18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．
（1）求的分布列和的数学期望；
（2）求“所选3人中女生人数”的概率．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个超几何分步，
随机变量表示所选3人中女生的人数，可能取的值为0，1，2．
．
的分布列为

0
1
2

的数学期望为
（2）由（1）知“所选3人中女生人数”的概率为
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
（1）证明平面；
（2）证明平面；
（3）求二面角的大小．

【解答】解：方法一：
（1）证明：连接，交于，连接．
底面是正方形，点是的中点
在中，是中位线，
而平面且平面，
所以，平面

（2）证明：
底面且底面，
，可知是等腰直角三角形，而是斜边的中线，
．①
同样由底面，得．
底面是正方形，有，平面．
而平面，．②
由①和②推得平面．
而平面，
又且，所以平面．

（3）解：由（2）知，，故是二面角的平面角．
由（2）知，，．
设正方形的边长为，
则，．
在中，．
在中，，．
所以，二面角的大小为．
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，为坐标原点，设．
（1）证明：连接，交于，连接．
依题意得．
底面是正方形，是此正方形的中心，故点的坐标为且．
，这表明．
而平面且平面，平面．

（2）证明；依题意得，，，．
又，故．
．
由已知，且，所以平面．

（3）解：设点的坐标为，，，，则，，，，．
从而，，．所以．
由条件知，，即，解得
点的坐标为，且，

即，故是二面角的平面角．
，且，，
．
．
所以，二面角的大小为．

20．（12分）已知函数在处取得极值．
（Ⅰ）讨论（1）和是函数的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程．
【解答】（Ⅰ）解：，依
题意，（1），
即
解得，．
，．
令，得，．
若，，，
则，
故在上是增函数，在上是增函数．
若，
则，故在上是减函数．
所以，是极大值；（1）是极小值．
（Ⅱ）解：曲线方程为，点不在曲线上．
设切点为，，
则点的坐标满足．
因，
故切线的方程为
注意到点在切线上，有
化简得，
解得．
所以，切点为，切线方程为．
21．（12分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为偶数；
（2）点数大于2且小于5．
【解答】解：掷一个骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种．这些点数出现的可能性相等．
（1）点数为偶数有3种可能，即点数为2，4，6，
（点数为偶数）；（3分）
（2）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4，
（点数大于2且小于．（6分）
22．（14分）椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点，的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若，求直线的方程；
（3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明．
【解答】（1）解：由题意，可设椭圆的方程为．
由已知得
解得
所以椭圆的方程为，离心率．
（2）解：由（1）可得．
设直线的方程为．由方程组
得
依题意△，得．
设，，，，则，①
．②
由直线的方程得，．于是．③
，．④
由①②③④得，从而．
所以直线的方程为或
（3）证明：．
由已知得方程组
注意，解得
因，，，故．
而，所以．
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