2014年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案.doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
第Ⅰ卷
一、选择题 （本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.是虚数单位，复数
A. B. C. D.
2.设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为
A. B. C. D.
3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为

A.15 B.105 C.245 D.945
4.函数的单调递增区间为
A.， B.， C.， D.，
5.已知双曲线，的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为
A. B.
C. D.

6.如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点，在上述条件下，给出下列四个结论：①平分；②；③；④.则所有正确结论的序号是
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④
7.设、，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知菱形的边长为，，点、分别在边、上，，.若，，则
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取 名学生.
10.一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 .
11.设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若、、成等比数列，则的值为 .
12.在中，内角、、所对的边分别是、、.已知，，则的值为 .
13.在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于、两点.若是等边三角形，则的值为 .
14.已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知函数，.
⑴求的最小正周期；
⑵求在闭区间，上的最大值和最小值.

16.（本小题满分13分）
某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
⑴求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
⑵设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.

17.（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.
⑴证明：；
⑵求直线与平面所成角的正弦值；
⑶若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.

18.（本小题满分13分）
设椭圆的左、右焦点分别为、，右顶点为，上顶点为.已知.
⑴求椭圆的离心率；
⑵设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切，求直线的斜率.

19.（本小题满分14分）
已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，，，...，，集合...，，，，...，.
⑴当，时，用列举法表示集合；
⑵设、，...，...，其中、，，，...，.证明：若，则.

20.（本小题满分14分）
设，.已知函数有两个零点，，且.
⑴求的取值范围；
⑵证明随着的减小而增大；
⑶证明随着的减小而增大.