2013年高考重庆理科数学试题及答案(精校版).doc

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(重庆卷)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013重庆，理1)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则U(A∪B)＝(　　)．
A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4}
2．(2013重庆，理2)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(　　)．
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，使得x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0
3．(2013重庆，理3)(－6≤a≤3)的最大值为(　　)．
A．9 B． C．3 D．
4．(2013重庆，理4)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(　　)．
A．2,5 B．5,5 C．5,8 D．8,8
5．(2013重庆，理5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)．
A．
B．
C．200
D．240
6．(2013重庆，理6)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)．
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
7．(2013重庆，理7)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)．
A． B． C． D．
8．(2013重庆，理8)执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是(　　)．
A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9
9．(2013重庆，理9)4cos 50°－tan 40°＝(　　)．
A． B． C． D．
10．(2013重庆，理10)在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||＜，则||的取值范围是(　　)．
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．
11．(2013重庆，理11)已知复数(i是虚数单位)，则|z|＝__________.
12．(2013重庆，理12)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝__________.
13．(2013重庆，理13)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)．
14．(2013重庆，理14)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为__________．
15．(2013重庆，理15)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝__________.
16．(2013重庆，理16)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解，则实数a的取值范围是________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(2013重庆，理17)(本小题满分13分，(1)小问6分，(2)小问7分．)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．

18．(2013重庆，理18)(本小题满分13分，(1)小问5分，(2)小问8分．)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．
19．(2013重庆，理19)(本小题满分13分，(1)小问5分，(2)小问8分．)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F为PC的中点，AF⊥PB．
(1)求PA的长；
(2)求二面角B－AF－D的正弦值．

20．(2013重庆，理20)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cos Acos B＝，，求tan α的值．
21．(2013重庆，理21)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．
22．(2013重庆，理22)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)对正整数n，记In＝{1,2，…，n}，.
(1)求集合P7中元素的个数；
(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(重庆卷)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
答案：D
解析：∵A∪B＝{1,2,3}，而U＝{1,2,3,4}，
故U(A∪B)＝{4}，故选D．
2．
答案：D
解析：全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题)，故选D．
3．
答案：B
解析：方法一：
＝，因为－6≤a≤3，
所以当时取得最大值.
方法二：∵－6≤a≤3，∴3－a≥0，a＋6≥0.
而(3－a)＋(a＋6)＝9，
由基本不等式得：
(3－a)＋(a－6)≥，
即，
∴，当且仅当3－a＝a＋6，
即时取等号．
4．
答案：C
解析：由甲组数据中位数为15，可得x＝5；而乙组数据的平均数，可解得y＝8.故选C．
5．
答案：C
解析：由几何体的三视图可得，该几何体是一个横放的直棱柱，棱柱底面为梯形，梯形两底长分别为2和8，高为4，棱柱的高为10，故该几何体体积V＝×(2＋8)×4×10＝200，故选C．
6．
答案：A
解析：由题意a＜b＜c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.显然f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A．
7．
答案：A
解析：圆C1，C2的圆心分别为C1，C2，由题意知|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，故所求值为|PC1|＋|PC2|－4的最小值．又C1关于x轴对称的点为C3(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|－4的最小值为|C3C2|－4＝，故选A．
8．
答案：B
解析：由程序框图可知，输出的结果为s＝log23×log34×…×logk(k＋1)＝log2(k＋1)．由s＝3，即log2(k＋1)＝3，解得k＝7.又∵不满足判断框内的条件时才能输出s，∴条件应为k≤7.
9．
答案：C
解析：4cos 50°－tan 40°＝
＝
＝
＝.
10．
答案：D
解析：因为⊥，所以可以A为原点，分别以，所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．设B1(a,0)，B2(0，b)，O(x，y)，
则＝＋＝(a，b)，即P(a，b)．
由||＝||＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1.
所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0.
由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，
即0≤1－x2＋1－y2＜.
所以＜x2＋y2≤2，即.
所以||的取值范围是，故选D．
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．
11．答案：
解析：，
∴.
12．答案：64
解析：由a1＝1且a1，a2，a5成等比数列，得a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2，故S8＝8a1＋d＝64.
13．答案：590
解析：方法一：从12名医生中任选5名，不同选法有种．不满足条件的有：只去骨科和脑外科两科医生的选法有种，只去骨科和内科两科医生的选法有种，只去脑外科和内科两科医生的选法有种，只去内科一科医生的选法有种，故符合条件的选法有：792－21－55－125－1＝590种．
方法二：设选骨科医生x名，脑外科医生y名，
则需选内科医生(5－x－y)人．
(1)当x＝y＝1时，有种不同选法；
(2)当x＝1，y＝2时，有种不同选法；
(3)当x＝1，y＝3时，有种不同选法；
(4)当x＝2，y＝1时，有种不同选法；
(5)当x＝2，y＝2时，有种不同选法；
(6)当x＝3，y＝1时，有种不同选法．
所以不同的选法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590种．
考生注意：(14)、(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．
14．
答案：5
解析：在Rt△ABC中，∠A＝60°，AB＝20，可得BC＝.
由弦切角定理，可得∠BCD＝∠A＝60°.
在Rt△BCD中，可求得CD＝，BD＝15.
又由切割线定理，可得CD2＝DE·DB，可求得DE＝5.
15．答案：16
解析：由极坐标方程ρcos θ＝4，化为直角坐标方程可得x＝4，而由曲线参数方程消参得x3＝y2，
∴y2＝43＝64，即y＝±8，
∴|AB|＝|8－(－8)|＝16.
16．答案：(－∞，8]
解析：方法一：设f(x)＝|x－5|＋|x＋3|＝可求得f(x)的值域为[8，＋∞)，因为原不等式无解，只需a≤8，故a的取值范围是(－∞，8]．
方法二：由绝对值不等式，得|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，
∴不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解时，a的取值范围为(－∞，8]．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．
解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x＞0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当0＜x＜2或x＞3时，f′(x)＞0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故f(x)在(2,3)上为减函数．
由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.
18．
解：设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，
则Ai(i＝0,1,2,3)与Bj(j＝0,1)独立．
(1)恰好摸到1个红球的概率为
P(A1)＝.
(2)X的所有可能值为0,10,50,200，且
P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝，
P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝，
P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝，
P(X＝0)＝.
综上知X的分布列为
X
0
10
50
200
P

从而有E(X)＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．
19．
解：(1)如图，连接BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形．又AC平分∠BCD，故AC⊥BD．以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，则OC＝CD＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3，又OD＝CD＝，故A(0，－3,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)．

因PA⊥底面ABCD，可设P(0，－3，z)，由F为PC边中点，F.
又＝，＝(，3，－z)，
因AF⊥PB，故·＝0，
即6－＝0，(舍去)，
所以||＝.
(2)由(1)知＝(，3,0)，＝(，3,0)，＝(0,2，)，设平面FAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
由n1·＝0，n1·＝0，得
因此可取n1＝(3，，－2)．
由n2·＝0，n2·＝0，
得故可取n2＝(3，，2)．
从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为
cos〈n1，n2〉＝，
故二面角B－AF－D的正弦值为.
20．
解：(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，
由余弦定理有cos C＝，
故.
(2)由题意得

＝.
因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，
tan2αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，
tan2αsin Asin B－tan αsin(A＋B)＋cos Acos B＝.①
因为，A＋B＝，
所以sin(A＋B)＝，
因为cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即－sin Asin B＝，
解得sin Asin B＝.
由①得tan2α－5tan α＋4＝0，
解得tan α＝1或tan α＝4.
21．
解：(1)由题意知点A(－c,2)在椭圆上，
则.
从而e2＋＝1.
由得，
从而.
故该椭圆的标准方程为.
(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)．

又设M(x，y)是椭圆上任意一点，
则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x02＋
＝(x－2x0)2－x02＋8(x∈[－4,4])．
设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，
因此，上式当x＝x1时取最小值，
又因x1∈(－4,4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，
从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x02.
因为PQ⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，
所以＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，
即(x1－x0)2－y12＝0.
由椭圆方程及x1＝2x0得，
解得，.
从而|QP|2＝8－x02＝.
故这样的圆有两个，其标准方程分别为，.
22．
解：(1)当k＝4时，中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为7×7－3＝46.
(2)先证：当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使A∪B＝PnIn，不妨设1∈A，则因1＋3＝22，故3A，即3∈B．同理6∈A,10∈B，又推得15∈A，但1＋15＝42，这与A为稀疏集矛盾．
再证P14符合要求，当k＝1时，可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1＝{1,2,4,6,9,11,13}，B1＝{3,5,7,8,10,12,14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1＝I14.
当k＝4时，集中除整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：，.
当k＝9时，集中除正整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：，.
最后，集中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14.
综上，所求n的最大值为14.
注：对P14的分拆方法不是唯一的．

2013 重庆理科数学 第12页