概率统计复习讲义(大).doc

概率论与数理统计总复习讲义

第一讲 随机事件
一 随机事件，事件间的关系及运算
1.样本空间和随机事件
样本点，样本空间，随机事件，必然事件，不可能事件,基本事件.
2.事件关系和运算
⑴事件的关系
⑵事件的运算
⑶运算律:交换律,结合律,分配律；对偶律: ,
；差事件的运算律
例题 P4之例3、4；P5之4、5
二 概率的定义和性质
1.公理化定义(P7)
2.概率的性质(P7.五个)
⑴；
⑵；
(3）
例题 P9之例2、3；P26之2、3、4、5
三 古典概型和几何概型
1．=
2．
例题 P10之例1-4，P13之例7-9；P14之2、6、9、10
四 常用的计算概率的公式
1．条件概率
2.乘法公式

3.全概率公式和贝叶斯公式(P18.)
例题 P15之例1-2，3-5，6—9；P20之4、5，6，7；
五 事件的独立性
1.定义及定理:A和B相互独立 或
例题 P23之例3、4；P26之1、2；
2.贝努利试验 在重贝努利试验中，事件{恰好发生次}的概率为：

例题 P25之例7、8；P26之3、4、7；

第二讲 随机变量及其概率分布
一 随机变量及离散型随机变量
1.随机变量
2.分布律

… …
P
… …

3.常用的离散型分布
⑴分布:
⑵二项分布:

(3)泊松分布:

例题 P30之例1-7；P34 2、3、5、10；
二 分布函数
1.分布函数

2.分布函数的性质(P35.五个)
⑴；；(常用来确定分布函数中的未知参数)
⑵(常用来求概率)
例题 P36之例1、2；P38之1、2；
三 连续型随机变量
1.密度函数
2.密度函数的性质(P39.四个)
⑴；（常用来确定密度函数中的参数）
⑵；（计算概率的重要公式）
⑶对，有(换言之,概率为0的事件不一定是不可能事件).
3.常用连续型分布
⑴均匀分布:
⑵指数分布:
⑶正态分布:

标准正态分布:

及一般正态变量的标准化
例题 P40之例1-7；P46之1-3、6、9；
四 随机变量函数的分布
1.离散情形
设的分布律为

… …
P
… …

则的分布律为

… …

… …

例题 P47之例1；
2.连续情形
（一）分布函数法：设的密度函数为,若求的密度函数,先求的分布函数,再通过对其求导,得到的密度函数。
⑴求的分布函数：

⑵求的密度函数：
（二）公式法： 设随机变量具有密度函数，又设处处可导且恒有（或恒有），则是连续型随机变量，其密度函数为

其中，
， 是的反函数。
例题 P49之例2-5；P52之1，3，6；

第三讲 二维随机变量及其概率分布
一 二维随机变量的分布函数及边缘分布函数
1.二维随机变量
2.联合分布函数:

3.联合分布函数的性质(P55.三个)；
4.边缘分布函数: ,
补充的例题
二 二维离散型随机变量的分布律和边缘分布律
1.二维离散型随机变量的分布律和边缘分布律

… …

… …

… …
… …

… …

… …

例题 P56之例1-2,P62之例1 ；P58之2；
三 二维连续型随机变量
1.联合密度函数：
2.联合密度函数的性质(P58.四个)
⑴；（常用来确定密度函数中的参数）
⑵，其中；（计算概率的重要公式）
例题 P59之例1；P61之3
3.边缘密度函数:

例题 P63之例2；
4. 二维均匀分布:

例题P60之2
四 随机变量的独立性
1．相互独立:

2．离散情形:
连续情形:
例题 P66之例1、2；P69之1、3、4、6、8
五 二维正态分布
结论 ⑴设,则和相互独立；
⑵设，则，；
⑶设和相互独立，且
，，为常数，则

特别地，，；
六 二维随机变量的函数及其分布
1.为二维离散型随机变量
例题 P77之例1；
2.为二维连续型随机变量
设为二维连续型随机变量，其联合密度函数为,则 的密度函数的计算方法为:
⑴先计算联合分布函数:

⑵再对联合分布求导得到联合密度:
例题 P79之例3；
3. 及的分布
=；
=；
特别地有：当，，…，相互独立且具有相同的分布函数时，有，

例题 P80之例4、5；P81之1-3，7

第四讲 随机变量的数字特征
一 数学期望
1定义
⑴离散情形 ,
⑵连续情形 ,
例题 P86之例2-4，加的例题；
⑶二维随机变量的函数的期望
①离散情形
例题P87之例6-7；
②连续情形

例题 P89之1、2、3、4、7、8；

2.期望的性质
⑴
⑵
⑶若和独立，则
；
二 方差和标准差
1.方差:
；
标准差:；
2.方差的性质
⑴；
⑵；
⑶若和独立，则
；
(4)
3.常见随机变量的分布律(密度函数),数学期望和方差
分布
分布律或密度函数
期望
方差
0-1分布

二项分布

-+
泊松分布

均匀分布

指数分布

正态分布

例题 P94之例1,2；P95之1、2、3、6、9、10、11
三 协方差和相关系数
1.协方差
，
性质：5个
2.相关系数:
例题 ⑴P99之例1；P100之1、2、3、5；
四 原点矩与中心矩：阶原点矩:；阶中心矩:；

第五讲 大数定律和中心极限定理
一 切比雪夫不等式
设随机变量的期望和方差存在，则对，

例题 P106之1、2；
二 贝努利大数定律和切比雪夫大数定律
三 中心极限定理
1.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
设是独立同分布的随机变量序列,且，，，则对,总有

这里是标准正态分布的分布函数。
2．独立同分布中心极限定理
设是独立同分布的随机变量序列，且，，，记，则对,总有

这里是标准正态分布的分布函数。
例题 P108之例1、2；P110之1，2，4

第六讲 样本与抽样分布
一 统计学中的基本概念
总体，个体，样本，简单随机样本，样本值，样本容量；
二 常见统计量
1.常见统计量 样本均值: ；
样本方差: 样本标准差: ；
三 三个重要分布分布,分布,分布
四 正态总体的抽样分布
定理 设来自正态总体,则有
⑴； ⑵；
⑶和独立；

第七讲 参数估计
一 矩估计 设是来自总体的简单样本，，未知待估参数为。令

解出，即为的矩估计。
二 最大似然估计（R.A.Fisher）
设为来自总体，的简单样本，则的联合分布,即似然函数为
在⑴式两边取对数得

然后对求导并令其为零

解出即为的最大似然估计。
例题 P133之例3-6、7-10；P138之1，2，3，6；