估计量的评选标准样本.doc

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§2 估计量的评选标准
问题: 用不同的方法求出的同一参数的估计量可能不同, 哪个估计量更好? 怎样衡量?
2.1 无偏估计
引例: 有一大批产品, 废品率为未知, 现任取件产品进行检验, 获取子样观测值, 构造统计量来估计未知参数.
如果, 则不利于产品卖方; 如果, 则不利于产品买方。事实上, 的值随每次抽样结果而变, 因此自然希望抽样检验长期进行的话, 在平均意义下能有一个不偏不倚的结果, 即.——这就是估计量的无偏性要求。
定义: 设是未知参数的估计量,
①若, 则称是的无偏估计(unbiased estimator), 简记为UE;
②若, 则称是的有偏估计(biased estimator);
③若, 则称是的渐近无偏估计(asymptotic unbiased estimator).
例2.2.1 是来自母体的一个子样, 证明: 是的无偏估计, 但子样方差不是的无偏估计。
证明: , 故是的无偏估计;

故不是的无偏估计, 但由于

故是的渐近无偏估计.
为得的无偏估计, 对进行修正( 称为纠偏) , 令:

则. 即是的无偏估计, 此即修正样本方差.
例2.2.2 设母体, 则是的无偏估计.
例2.2.3 是来自母体的一个子样, 证明: 是的无偏估计。
证明: , 故

即: 是的无偏估计。 证毕.
例2.2.4 , ①的矩估计量 , ②的最大似然估计, 它们是的无偏估计吗?
解: ①, 故是的无偏估计.
②是来自母体的一个子样, 故

( 1)

代入( 1) 式得:
.

不是的无偏估计, 只是一个渐近无偏估计.
说明: ①对进行纠偏, 令: , 则, 即

为的无偏估计。
②同一参数的无偏估计并不唯一。——如何再进一步判别各无偏估计量的好坏?

2.2 优效估计
( 1) 有效性
定义: 设都是的无偏估计, 若对于任意子样容量n有, 则称比有效(efficiency)。
例2.2.5 在上例中 , 的两个无偏估计与哪个更有效?
解:

其中, 故

更有效.
例2.2.6 是来自母体的一个子样, 未知, 记, , 证明: 都是的无偏估计, 其中最有效。
证明:
故: 都是的无偏估计,
,
即: 中最有效。 证毕
( 2) 最小方差无偏估计
定义: 若的一切具有二阶矩的无偏估计中, 满足: 正确任意无偏估计, 都有, 则称是的最小方差无偏估计(minimum variance unbiased estimator)。
用定义判定一个估计量是否最小方差无偏估计一般较难, 下面讨论无偏估计量的方差的下界。
( 3) 罗-克拉美( R-C) 不等式
①对于连续母体情形, 有
定理: 设是实数轴上的一个开区间, 是母体的一个分布密度函数族, 是来自母体的子样, 是未知参数的无偏估计, 如果母体及满足正则条件:
(ⅰ)集合: 与无关;
(ⅱ)存在,且对中的一切有: , 及

其中;
(ⅲ)
则有不等式

此不等式称为R-C不等式, 称为R-C下界.
例如: 指数分布的母体满足条件(ⅰ), 而均匀分布的母体不满足.
②对于离散母体情形, 类似条件下有

其中.
③有关计算中, 有时用到如下等式:
对连续型母体,
对离散型母体,
( 4) 优效估计
定义: ①若的无偏估计的方差达到R-C下界, 即, 则称是的优效估计(optimal efficient estimator);
②若的无偏估计为, 则称为的(有)效率(efficiency), 显然, 优效估计的(有)效率为1) ;
③若的无偏估计满足: , 则称是的渐近优效估计(asymptotic optimal efficient estimator).
例2.2.7 , 问是否为未知参数的优效估计?
解:①, 故是的无偏估计.
②
③求R-C下界
母体分布律为 , 故

即: 是的优效估计.
例2.2.8 设母体的分布密度为, 问是否为未知参数的优效估计?
解:①, 故是的无偏估计.
②.
③求R-C下界

即: 是的优效估计.
例2.2.9 , 问是否分别为的优效估计?
解: ( ⅰ) 对于,
①, 故是的无偏估计.
②.
③求R-C下界
母体分布密度为, 故
( 1)
由( 1) 得: , 故

即: 是的优效估计.
( ⅱ) 对于
① , 故是的无偏估计.
② , , .
③求R-C下界
由( 1) 式知:
( 2)

从而 , 故不是的优效估计.
但, 故是的渐近优效估计.
注: ①事实上能够证明, 已经是的最小方差无偏估计, 这说明的优效估计不存在.
②在满足正则条件的估计量族范围内, 优效估计是最小方差无偏估计.

2.3 相合估计
事实上, 与子样容量有关, 对于估计量的无偏性、 有效性的讨论都是在取定的情形下进行的。而当时, 形成一个随机变量序列, 自然希望依概率收敛于待估参数本身。
( 1) 定义: 若当时, , 则称是的相合估计(consistent estimator, 或称为一致估计).
这样, 充分大时( 即对于大子样) , 与充分接近几乎是必然的, 从而能够用一次抽样所得的去估计.
( 2) 结论:
①, 分别是的相合估计.
②也是的相合估计.
证明: ①Ch1§1已证: 时, , 故: , 分别是的相合估计.
②因为, 数列, 由依概率收敛的性质知
,
故: 也是的相合估计.

常见估计量的优良特性:

无偏性
渐进
无偏性
一致性
(相合性)
有效性
优效估计
渐进
优效估计
最小方差
无偏估计

√

√
母体是0-1分布、 指
数分布、 正态分布时

√

√

母体是正态
分布时
母体是正态
分布时

√
√