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初中数学知识点总汇
数与式
 实数
【考点一】实数及其分类

【考点二】实数的有关概念及性质

【考点三】近似数、有效数字和科学技术法

【考点四】非负数

【考点五】实数的大小比较

【考点六】实数的运算

 整式
【考点一】整式的有关概念

【考点二】整式的运算

【考点三】幂的运算

【考点四】分解因式

 分式
【考点一】分式的概念

【考点二】分式的性质

【考点三】分式的运算

 二次根式
【考点一】二次根式的概念

【考点二】二次根式的性质

【考点三】二次根式的运算

【考点四】二次根式的估值
二次根式估值时，一般先对根式平方，找出平方后所得数字相邻的两个开的尽方的整数，对其进行开方，就可以确定这个根式在哪两个整数之间。

方程（组）与不等式（组）
 一次方程（组）
【考点一】方程和方程的解的概念

【考点二】一元一次方程及其解法

【考点三】二元一次方程（组）的解及其解法

 一元二次方程
【考点】一元二次方程概念、一般形式、解法、根的判别式及根与系数的关系

 分式方程
【考点】分式方程的概念、解法、增跟及解的检验

 一元一次不等式（组）
【考点】不等式（组）的概念、性质及解法、解集

 应用题
【考点】通过分析实际问题，建立相应的方程模型

函数
 函数及其图像
【考点一】平面直角坐标系及点的坐标

【考点二】函数的概念、自变量取值范围及函数的图像

表达式
自变量的取值范围
整式
全体实数
分式
使分母不为0的实数
根式
偶次根式
使被开方数大于或等于零的实数
奇次根式
全体实数
零指数幂或负指数幂
使底数不为0的实数
若干种形式的式子组合
先求出各部分的取值范围，再取其公共部分
实际问题
使实际问题有意义

 一次函数
【考点一】一次函数的概念、图像、性质及应用

【考点二】一次函数一次项系数k、常数项b与其图像所过象限的关系
①图像经过一、二、三象限；②图像经过一、三象限
③图像经过一、三、四象限；④图像经过一、二、四象限
⑤图像经过二、四象限； ⑥图像经过二、三、四象限
 反比例函数
【考点一】反比例函数的概念、图像及相关性质、应用

【考点二】反比例函数的系数k与图像性质的关系
表达式
（，且为常数）

图像

所在
象限
第一、三象限
、同号
第二、四象限
、异号
增减性
在每一象限内，随的增大而减小
在每一象限内，随的增大而增大

 二次函数
【考点一】二次函数的概念、表达式及相关基本知识

【考点二】二次函数的图像及其性质
二次函数（，为常数）

图像

开口方向
向上
并向上方无限延伸
向下
并向下方无限延伸
对称轴
直线
顶点坐标

最值
最小值
最大值
增减性
左减右增
左增右减
【考点三】二次函数各项系数a、b、c的作用

决定抛物线开口方向及大小
抛物线开口向上；抛物线开口向下
越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大
、
决定抛物线对称轴的位置（对称轴）
，对称轴为轴
、同号，对称轴在轴左侧
、异号，对称轴在轴右侧

决定抛物线与轴交点的位置
，抛物线过原点
，抛物线与轴交于轴正半轴
，抛物线与轴交于轴负半轴

抛物线与轴有两个交点

抛物线与轴有一个交点

抛物线与轴有零个交点
特殊点
对应的
函数值

【考点四】二次函数的最值问题
确定二次函数的最值，首先要确定对称轴，其次比较对称轴和自变量取值范围，作出相应的判断。
1.若二次函数图像的对称轴恰好在题目限定的自变量范围之内，则二次函数的最大值就是问题所要求的最大值；
2.若二次函数图像的对称轴不在题目限定的自变量范围之内，则要先弄清自变量的取值范围是在对称轴左侧还是右侧，然后结合二次函数的增减性，以及自变量端点处的函数值来求得最值；
3.分段函数类型：当在不同的自变量取值范围内，函数的表达式不同时，需要分段讨论，求出每种情况下的最值，然后综合比较分析。

三角形
 平面图形及其位置关系
【考点一】基本平面图形的相关概念

【考点二】同一平面内直线的位置关系
一、相交

二、平行

三、垂直

 三角形
【考点一】三角形的分类

【考点二】一般三角形的性质

【考点三】三角形中的重要线段

【考点四】特殊三角形的性质与判定
1.等腰三角形

2. 等边三角形

3. 直角三角形

 全等三角形
【考点一】全等三角形的概念及性质

【考点二】全等三角形的判定

 相似三角形
【考点一】比例线段及性质
1.四条线段中，如果与的必等于与的比即那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
2.比例的基本性质：
【考点二】相似三角形的概念、性质及判定
1.概念：
2.
3.
【考点三】相似多边形的概念及性质
1.定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比。
2.性质：⑴对应角相等，对应边成比例
⑵对应高、周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方
【考点四】位似
如果两个多边形不仅相似，而且对它们对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形。这个交点叫作位似中心，这时的相似比又叫作位似比。
 解直角三角形

四边形
 平行四边形与多边形
【考点一】多边形的性质及正多边形

2.正多边形：各边相等，各角相等
【考点二】平面图形的密铺
1.用同一种多边形可以密铺的有正三角形、正方形、正六边形等；
2.用不同种多边形可以密铺的有：①正三角形和正六边形；②正三角形和正方形；③正方形和正八边形
3.正多边形密铺问题的关键是几个多边形同一个顶点的几个角，它们的和等于。
【考点三】平行四边形的性质及判定

 特殊的平行四边形
【考点一】菱形的性质与判定

【考点二】矩形的性质与判定

【考点三】正方形的性质与判定

【考点四】平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系

 梯形
【考点一】梯形的性质与判定

【考点二】梯形的计算
1.梯形的中位线定理：
梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半。
2.梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2＝中位线×高
3.梯形中常见的辅助线作法：

圆
 圆的基本性质
【考点一】圆的有关概念及性质

【考点二】垂径定理、推论及应用
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分所对的两条弧
2.推论1：⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等
4.垂径定理的简单应用：常作垂线、连接圆心和弦的端点构造直角三角形，利用勾股定理、三角函数进行计算。
【考点三】弧、弦、弦心距、圆心角的关系
1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距液相等。
2.推论：⑴在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有任意一对量对应相等，那么其他各组量也分别对应相等。
⑵弧的读数等于它所对的圆心角的读数。
【考点四】圆周角定理及推论
1.定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
2.推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等；
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径
 与圆有关的位置关系
【考点一】点与圆的位置关系
1.设圆的半径为，平面内任意一点到圆心的距离为

2.过三点的圆
【考点二】直线与圆的位置关系
1.直线和圆的位置关系有三种
①相离：直线和圆没有公共点；
②相切：直线和圆只有唯一公共点，此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；
③相交：直线和圆有两个公共点，此时这条直线叫做圆的割线。
2. 设的半径为，圆心到直线的距离为
直线和圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点个数

公共点到直线的距离与半径的关系

公共点名称
交点
切点

直线名称
割线
切线

【考点三】切线的性质与判定

【考点四】圆与圆的位置关系
图示
位置关系
公共点个数
数量关系

外离
无

外切
一个公共点（切点）

相交
两个公共点

内切
一个公共点（切点）

内含
无

 正多边形和圆
【考点】正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
1.正多边形的有关概念
（1）中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心.
（2）半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.
（3）中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
（4）边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.如图所示.
2.正多边形的性质
1、正多边形都有一个外接圆，反之，圆有无数多个内接正多边形.
2、正边形的半径和圆心距把正边形分成个全等的直角三角形
3、正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，当边数是偶数时，它也是中心对称图形.
4、正边形的每一个内角等于，中心角和外角相等，都等于.
 与圆有关的计算
【考点一】弧与面积的计算
内容
公式
备注
圆周长

（1）为圆半径
（2）为弧所对的圆心角的读数（3）是扇形的弧长
圆的弧长

圆面积

扇形面积
或
【考点二】圆柱、圆锥侧面展开图的有关计算
1.圆柱：侧面展开图为矩形，为底面半径，为圆柱的高
（1）
（2）

2.圆锥：侧面展开图为扇形，为底面半径，为圆锥的高，为母线长
（1）
（2）
（3）圆锥的母线为，高为，底面圆半径为，
则满足.

图形的变换
 尺规作图、视图与投影
【考点一】尺规作图

【考点二】几何体的三视图

【考点三】投影

【考点四】立体图形的展开与折叠

 图形的对称、平移与旋转
【考点一】图形的对称

【考点二】图形的平移与旋转

平移变换
旋转变换
轴对称
运动方式
将图形沿着某一方向平行移动一定的距离
将图形绕一个顶点沿某个方向转动一个角度
将图形沿着某条直线折叠
对应关系
（对应图形
全等）
①平移变换前后图形的对应线段平行且相等；②对应点所连的线段平行且相等；③对应角相等，
旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角
若对应线段或其延长线相交，则交点在对称轴上；若不相交，则平行；成轴对称的两个图形对应点连线被对称轴垂直平分
所需条件
确定平移方向和平移距离
确定旋转中心和旋转角
确定对称轴

概率与统计
 统计
【考点一】数据的收集方式

【考点二】数据的代表描述一组数据的集中趋势
1.算数平均数
对于个数则平均数
2.加权平均数
对于个数，各个数出现的次数相应为，
则平均数
3.中位数
将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则处于中间位置的两个数的平均数就是这组数据的平均数。
若，当为奇数时，中位数是；当为偶数时，中位数是
一组数据中，中位数是唯一的。
4.众数
一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数。
一组数据中，众数不唯一。
【考点三】数据的波动刻画数据离散程度的量
1.极差
一组数据中，最大的数减去最小的数，所得结果就是极差。
2.方差
对于一组数据，其平均数为，
方差

3.标准差
对于一组数据，其平均数为，方差为，
标准差
【考点四】频数与频率

【考点五】统计图的认识与应用

 概率
【考点一】事件的分类

【考点二】概率的计算和应用
1.概率：一个事件发生的可能性大小叫该事件发生的概率。
2.概率的求法：，
表示事件的概率，表示事件发生的次数，表示所有可能的结果数
3.概率的简单应用
⑴用列举法求概率
⑵两步试验事件的概率计算方法主要有两种：列举法和树状图法
⑶利用频率估计概率
①在大量重复试验中，事件出现的频率为，我们可以估计事件发生的概率大约为。
②频率与概率在试验中可以非常接近，但不一定相等
③用频率估计概率的大小，必须在相同的条件下，试验次数越多，越能较好地估计概率。