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三角形知识点汇总
1、三角形
一、三角形三边的关系
1、三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边。（判断三条线段能否组成三角形的依据）
2、已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b
3、给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长（提示：一定要记得分类讨论）
方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。
二、三角形的高、中线、角平分线
1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.（90°角和互余关系）
锐角三角形

锐角三角形的三条高都在三角形的内部，三条高的交点也在三角形内部.
直角三角形

直角三角形的三条高交于直角顶点.
钝角三角形

钝角三角形有两条高落在三角形外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点。
2、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的三条中线交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。

三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
3、 三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。
要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。
4、方法利用：求三角形中未知的高或者底边的长度，可利用“等积法”将三角形的面积用两种方式表达，求其中未知的高或者底边的长度
三、三角形具有稳定性
1. 三角形具有稳定性
2. 四边形及多边形不具有稳定性
要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。
四、与三角形有关的角
1. 三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关。
2. 直角三角形两个锐角的关系
直角三角形的两个锐角互余（相加为90°）。有两个角互余的三角形是直角三角形。

3、三角形外角的性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形三个外角和为360°。
提示：三角形的内角和为180°，两个锐角互余在解题中经常用到。
五、多边形及其内角和
1、连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形
②边形共有条对角线.
2、多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°
3、多边形的外角和：（每个项点取一个外角）多边形的外角和为360°，与多边形的形状和边数无关。
4、正边形每个内角相等：，每个外角都相等：
2、 全等三角形
一、全等三角形的判定定理：
1、边边边（）：三边对应相等的两个三角形全等.
2、边角边（）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
3、角边角（）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
4、角角边（）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
5、斜边、直角边（）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
全等.（注意：只适用于直角三角形）
书写格式：在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中，

∴ Rt△ABC≌Rt△A´B´C´
二、角平分线
1、画法：
①以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
交ＯＢＮ于．
②分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半
径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
③作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．
2、性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
书写格式：∵OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，
CE⊥OA于E，CF⊥OB于F
∴CE=CF。

3、角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
书写格式：∵PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，且PE=PF，
∴点P在∠AOB的平分线上。

3、 等腰三角形
一、 等腰三角形的性质
1、三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
2、有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。
二、含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
书写格式：∵在Rt△ABC中，∠c＝90°∠A＝30°
∴BC=AB （(或AB = 2BC)
注意：在有些题目，若给出的角是15°角时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的各将15°角转化为30°角后，再利用上面的性质解决问题。
例：已知:等腰三角形的底角为150,腰长为20.求:腰上的高.
解：∵∠B=∠ACB=150(已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°
∴CD=AC=×20=10
三、最短路径问题
1、求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，
当点C在 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法：（1）作点B 关于直线 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C则点C 即为所求．
2、利用平移解决最短路径问题
从A地到B地需要经过一条小河（河岸平行），今欲在河上建一座桥MN（MN垂直于河岸），则应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？

①过点A作AC垂直于河岸，且AC等于河宽，
②连接BC交靠近点B的河岸于点N
③过点N河岸的垂线另一河岸于点M，则MN即为所求

4、 勾股定理
1、 勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为，,斜边长为，那么
2、勾股定理的应用：
在中，，则，，
3、勾股定理的逆定理
　 如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。
　（若时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形。）
（注意：定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边）
4、常见的勾股数：3，4，5； 6，8，10； 8，15，17； 7，24，25； 5，12，13；9，12，15

5、相似三角形
知识点一：相似三角形
相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
（1） 相似三角形的传递性：若∽，∽，则∽，
（4）全等三角形是相似比为1的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。
由两个三角 由两个三角形相似确定对应角相等，对应线段成比例，关键是要找准对应角和对应边，观察图形应遵循：“大对大，小对小；长对长，短对短”。

点拨
拨

知识点二：平行线分线段成比例
1、平等线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
如右图∥∥，直线，被，，所截，
那么，，
平行线分线段成比例基本事实的表达式有三种形式，其中可简记为“上比下等于上
比下”，可简记为“上比全等于上比全”，可简记为“下比全等于下比全”

2、平等线分线段成比例的基本事实应用在三角形上的结论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。如图①②③所示，若DE//BC，则有，，

知识点三：相似三角形的判定定理
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。

DE∥BC，∽。
2、三边成比例的两个三角形相似。
如图所示：
如果，那么∽。

3、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
如图所示，

在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，，可判定△ABC ∽△DEF。

4、两角分别相等的两个三角形相似。
如图所示：

∠A=∠A'，∠B=∠B'，那么△ABC ∽△A'B'C'。
提示：在两个直角三角形中，若有一个锐角对应相等，则这两个直角三角形相似。

知识点四：相似三角形的性质
1、 相似三角形对应线段的比等于相似比。
相似三角莆对应高的比，对应角平分线的比，、对应中线的比都等于相似比。
2、相似三角形对应周长的比等于相似比。（相似多边形周长的比等于相似比）
3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
（相似多边形面积的比等于相似比的平方。）

有关三角形相似的基本图形
类型
所需条件
图形
平行线型
（1） “A”字型：如图（1），DE//BC
（2） “X”字型：如图（2）DE//BC

A
E
D
B
C
A
E
D
B
C

斜交型
有公共角∠A，[如图（1）（2）（3）]或对顶角∠1与∠2，[如图（4）]，另有一组角相等或夹公共角（对顶角）的两组对应边成比例。

旋转型
∠1=∠2，另有一组角对应相等或夹
∠B'A'C'与∠BAC的两组对应边成比例。

6、锐角三角函数
1.Rt△ABC中

(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝ =
(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝=
(3) ∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝=
(4) ∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cotA＝ =
2. 特殊值的三角函数：

三角函数
锐角三角函数
锐角
30°
45°
60°
sin

cos

tan

1

cot

1

二、 解直角三角形
在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余的三个未知元素（知二求三）。
解直角三角形的类型和解法

已 知 条 件
解 法 步 骤

Rt△ABC

两

边
两直角边（如，）
由求∠A；
∠B＝90°－A，c＝
斜边，一直角边（如c，a）
由，求∠A；
∠B＝90°－A，b＝
一
边
一
角

一直角
边和
一锐角

锐角，邻边
（如∠A，b）
∠B＝90°－A，a＝b·Sin A

锐角，对边
（如∠A，a）
∠B＝90°－A，，
斜边，锐角（如c，∠A）
∠B＝90°－A，a＝c·sin A
b＝c·cos A

重点剖析：
1、在解直角三角形的问题时，要画出图形帮助分析问题，对于可解直角三角形，可直接利用边角关系求出有关元素；对于不可解直角三角形，一般通过构建未知边的方程，使直角三角形得到解决。
2、遇到不是直角三角形的图形时，要添加适当的辅助线，将其转化为直角三角形求解。
3、解直角三角形时，当已知或求解中有斜边时，就优先考虑用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求的元素既可以用乘法又可以用除法求解时，则选 用乘法；既可以用原始数据又可以用中间数据时，则用原始数据。

三、仰角、俯角的概念
1、仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角；在水平线下方的是俯角。

四、 方向角的概念
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角，叫方向角。
如图所示目标方向线OA、OB、OC的方向角分别可以表示为
北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上叫做
东南方向，北偏东45°习惯上叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫
做西北 方向，南偏西45°习惯上又叫做西南方向。
注意：因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的的角，
所以方向角都都写成“北偏……”，“南偏……”的形式。
解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解。

五、 坡度与坡角的概念
坡角：坡面与水平面所成的夹角，如图中的∠α.
坡度：我们通常把坡面的铅直高度与水平宽度的
比叫做坡度。坡度也可以写成的形式，在实际中
常表示成的形式。
坡度与坡角的关系：，即坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也就越大。