金融的数学模型与方法试题A评分标准.doc

莆田学院期末考试试卷参考答案及评分标准
2010—2011学年 第 1学期 （A）卷
课程名称： 金融的数学模型与方法 适用年级/专业 08金融
试卷类别：开卷（ ）闭卷（√） 学历层次： 本科 考试用时： 120 分钟
《考生注意：答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》
一、填空题（每小题3分，共12分）
1. 一张在确定时间，按确定价格有权购入一定数量和质量的原生资产的合约
2.
3.在相反方向交易份额的原生资产，使得构成的投资组合：
4.其中为正常数，表示标准的Brown运动，为风险的市场价格。
二、计算题（30分）
1、（15分）设今日为1月1日，现股价为70元，无风险利率为4%，若在三个月期间，每一个月股价有两种可能：或上升5%或下降5%. 若购买一张3月31日到期的敲定价为70元的看跌期权，如按合约规定，第2个月月底持有人有权提前实施期权，问期权金为多少？
解：依题意得，
,

令 ……………………5分

经计算可得， ……………………10分

2、（15分）若随机过程分别适合随机微分方程：

其中，表示相应的期望回报率，表示相应的波动率，表示标准的Brown运动。求
解：由公式可得，

……………………8分
……………………7分

三、证明题（共30分）
1、（15分）证明欧式看跌期权的价格是敲定价格的凸函数，即设
，则有。
证：在时刻构造两个投资组合

在期权的到期日

当时，
当时，； ……………………8分
当时，
，
即；
当时，；
因此在，
而
由无套利原理立得，。 ……………………7分

2、（15分）设是利率为，红利率为，敲定价为的欧式看涨期权价格，这里。
证明：当时，。
证：记

当时，
当时，

由于，则，又根据看涨期权关于敲定价格递减，可知
，即。……………………10分
假设当时，成立，则当时，

即由归纳法，可证命题成立。 ……………………5分
四、综合题（共28分）
1、（12分）若股票不付红利，对于美式看跌股票期权，试说明股价下跌到
一定程度，提前实施是必要的原因？
答：若在时刻，那么持有人必须提前实施。 ……………………4分
因为持有人在期权到期日的收益在任何情况下一定不会超过。但若在时刻
提前实施，当时获益把这个收益存入银行，
它在的总收入将超过。因此此时提前实施是必要的。 ……………………8分

2、（16分）叙述认股权证的定义以及与欧式看涨期权的异同点，并建立认股权证的数学模型。
答：认股权证的定义：持有人在确定的时间，按确定的价格按规定的股数买入一特定公司的股票。
与欧式看涨期权的异同点：
共同点：两者均保证持有人有权在未来确定时刻购买股票
不同点：
（1）认股权证所买入的股票是上市公司所发行的新股票，而欧式看涨期权所购买的股票不一定是新发行的；
（2）认股权证有效期一般为几年，而看涨期权有效期一般为几个月
……………………6分

认股权证的数学模型：
基本假定：
（1）假定公司有股普通股股票和份已发行的认股权证W；
（2）认股权证的有效期为，且每份认股权证授权持有者以元购买一股股票；
（3）假定公司资产价值过程演化服从几何Brown运动，

这里，表示期望收益率表示波动率，为标准的Brown运动过程

认股权证数学模型：
（1）当时，由于执行认股权证，公司总价值为，股票的数量为，每份股票的价值为，因此当时，，而当时，，即当时，。.
（2）当时，
在时刻，构造投资组合，选取适当的使得在内，是无风险的。
由公式，可知选取使得是无风险的，并推得满足的偏微分方程为

因此在定解区域上所满足的定解问题为

……………………10分