2019年高考数学(文)复习-近年高考数学分类汇编-第八章第4节-直线、平面平行的判定与性质.docx

第四节 直线、平面平行的判定与性质
题型95 证明空间中直线、平面的平行关系
2013年
1．（2013广东文8）设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2. （2013浙江文4）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
3. （2013山东文19） 如图，四棱锥中，，，，

，分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面

4. （2013江苏16）如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点.

求证：（1）平面平面；
（2）.

5.（2013辽宁文18）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上的点.
（1）求证：平面；
（2）设为的中点，为的重心，求证：平面.

6. (2013陕西文18）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，
.
（1）证明：平面平面；
（2）求三棱柱的体积.
2014年
1.（2014山东文18）如图所示，四棱锥中
分别为线段的中点.
（1）求证：；
（2）求证：.

2.（2014安徽文19） 如图所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，四条侧棱长均为.点分别是棱上共面的四点，平面平面，平面.
（1）求证：
（2）若，求四边形的面积.

2015年
1.（2015广东文18）如图所示， 所在的平面与长方形所在的平面垂直，
，，．
(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)求点到平面的距离．

1. 解析 （1）因为四边形是长方形，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为四边形是长方形，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.因为平面，所以.
（3）解法一：取的中点，连接和，如图所示.
因为，所以.在中，.
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.
由（2）知平面，由（1）知，所以平面.因为平面，所以.
设点到平面的距离为，因为，
所以，即，
所以点到平面的距离是.

解法二：过点作交的延长线于点，取的中点，连接，如图所示.
由（2）知平面，由（1）知，所以平面.
又平面，所以. 因为，所以平面.
则的长度即为点到平面的距离.
因为，所以.
在与中，，所以，所以.
在中，.
则，得.故点到平面的距离为.

2.（2015江苏16）如图所示，在直三棱柱中，已知，．
设的中点为，．
求证：（1）平面；（2）．

2.解析 （1）因为四边形是矩形，所以是的中点. 又是的中点，
因此是的中位线，故.
又平面，平面，所以平面．
（2）因为平面，平面，所以，又，，从而平面.
因为平面，所以．
因为，为的中点，所以.
因为，所以平面.
又因为平面，所以．
2016年
1.(2016浙江文2)已知互相垂直的平面，交于直线.若直线，满足，，则（ ）.
A. B. C. D.
1.C 解析 对于选项A，因为，所以.又因为，所以与平行或异面.故选项A不正确；对于选项B和D，因为，，所以或.又因为，所以与的关系平行、相交或异面都有可能.故选项B和D不正确；对于选项C，因为所以因为所以，故选项C正确，故选C.

2.(2016上海文16)如图所示，在正方体中，分别为的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）.
A.直线 B.直线
C.直线 D.直线
2.D 解析 易知与在两个平行平面内，故不可能相交；平面，平面，故不可能相交；同理与也不可能相交；与均在平面内，且与不平行，故相交，其交点如图所示.故选D.

3.（2016江苏16）如图所示，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，.
求证：（1）直线平面；
（2）平面平面.
3.解析 （1）因为分别为的中点，所以为的中位线，所以，又因为三棱柱为直棱柱，故，所以，又因为平面，且，故平面.
（2）三棱柱为直棱柱，所以平面.又平面，
故.又，且，平面，
所以平面.又因为平面，所以.
又因为，，且平面，
所以平面.又因为平面，所以平面平面.

4.（2016天津文17）如图所示，四边形是平行四边形，平面平面，，，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
4.解析 （1）如图所示，取的中点为，联结，.
在中，因为是的中点，所以且.
又因为，，所以且，即四边形是平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面

（2）在中，，，.由余弦定理可得，进而可得，即.
又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（3）因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.
过点作于点，连接，如图所示.

又因为平面平面，由（2）知平面，
所以直线与平面所成角即为.
在中，.
由余弦定理可得，所以，
因此.
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为.

5（2016山东文18）在如图所示的几何体中，是的中点，.
（1）已知，. 求证：；
（2）已知分别是和的中点.求证：平面.

5. 解析 （1）因为，所以与确定一个平面，连接，如图（1）所示. 因为为的中点，所以；同理可得. 又因为，所以平面，因为平面，所以.
（2）设的中点为，连接，如图（2）所示.
在中，是的中点，所以.又，所以；在中，是的中点，所以.
又，，所以平面平面.
因为平面，所以平面.
（1） (2)

6.（2016全国丙文19）如图所示，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点.
（1）证明平面；
（2）求四面体的体积.

6.解析（1）取中点，连接、，因为是中点，，且，又，且，所以，且，所以四边形是平行四边形.所以.
又平面，平面，所以平面.

(2)由(1) 平面.
所以.
所以.

2017年
1.（2017全国1文6）如图所示，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）.

1.解析 由选项B，，则直线平面；由选项C，，则直线平面；由选项D，，则直线平面.故选项A不满足.故选A.
2.（2017全国2文18）如图所示，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，
，.
（1）证明：直线平面；
（2）若面积为，求四棱锥的体积.

解析 （1）在平面内，因为，所以.
又平面，平面，故平面.
（2）取的中点，联结，.
由，及，，得四边形为正方形，则.
因为侧面是等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以，因为平面，所以平面.因为平面，所以.
设，则，，，.
取的中点，联结，则，所以.
因为的面积为，所以，解得（舍去），，于是，，.所以四棱锥的体积.
3.（2017山东文18）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为正方形，为与的交点，为的中点，平面.
（1）证明：平面；
（2）设是的中点，证明：平面平面.

解析（1）如图所示，取中点，联结，由于为四棱柱，
所以，，因此四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）因为四边形是正方形，所以，，分别为和的中点，所以.
又 面，平面，所以.
因为 ，所以.
又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.

解析（1）如图所示，取中点，联结，由于为四棱柱，
所以，，因此四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）因为四边形是正方形，所以，，分别为和的中点，所以.
又 面，平面，所以.
因为 ，所以.
又平面，，所以平面，又平面，
所以平面平面.

4.（2017江苏15）如图所示，在三棱锥中，，， 平面平面， 点（与不重合）分别在棱上，且．
求证：（1）平面；
（2）．

解析 （1）在平面内，因为，，且点与点不重合，所以.
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面平面，平面平面，
平面，，所以平面.
因为平面，所以.
又，，平面，平面，
所以平面.又因为平面，所以.

题型96 与平行有关的开放性、探究性问题
2014年
27.（2014四川文18）在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形.
（1）若，求证：直线平面；
（2）设，分别是线段，的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论.

2015年
1.（2015陕西文18）如图1所示，在直角梯形中，，，
，是的中点，是与的交点，将沿折起
到图2中的位置，得到四棱锥时，四棱锥的体积为，
求的值.

1.解析 (1)在图1中，因为，是的中点，，且所以四边形是正方形，故.
又在图2中，，，从而平面.
又 且，所以，即可证得平面；
(2)由已知，平面平面，且平面平面.
又由(1)知，，所以平面，即是四棱锥的高，
且.平行四边形面积，
从而四棱锥的体积，
由，得.
2016年
1.（2016四川文17）如图所示，在四棱锥中，，，，.
（1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；
（2）证明：平面平面
1.解析（1）取棱的中点平面，点即为所求的一个点.
证明如下：因为，所以，且
所以四边形是平行四边形，从而
又平面，平面，
所以平面
(说明：取棱的中点，则所找的点可以是直线上任意一点).

（2）由已知，，因为，所以直线与相交，所以平面从而因为，所以，且 所以四边形是平行四边形.所以，所以又，所以平面又平面，所以平面平面

2.（2016北京文18）如图所示，在四棱锥中，平面，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面?说明理由.
2.解析 （1）因为平面，所以.
又因为，.所以平面.
（2）由（1）知，平面，又，所以平面.
又平面，所以平面平面
（3）棱上存在点，使得平面.证明如下.
取中点，联结.又因为为的中点，所以.
又因为平面，所以平面.