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一轮复习试题及答案

义龙一中2018届高三上学期期中考试卷
理科数学
命题人：徐安益 审题人：王家财
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|1＜x＜3}，则（　　）
A．A=B B．A⊇B C．A⊆B D．A∩B=∅
2．下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是（　　）
A． B．y=tanx C．y=x3 D．y=log3x
3．若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
4．已知sinα﹣3cosα=0，则=（　　）
A． B． C． D．﹣3
5．函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是（　　）
A．2π B．π C． D．
6．已知函数，若，则实数a的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（　　）
A． B．9 C． D．
8．已知数列{an}为等差数列，Sn其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（　　）
A．25 B．27 C．50 D．54
9．如图，已知，，，，则（　　）
A． B． C． D．
10．在等比数列{an}中，若公比q＞1，且a2a8=6，a4+a6=5，则=（　　）
A． B． C． D．
11．函数f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．
12.设函数，若存在的极值点满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.

二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数f（x）=ax3+bx+1，若f（a）=8，则f（﹣a）=　 　．
14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则的值是　 　．
15．在等差数列{an}中，a1=﹣2017，其前n项和为Sn，若，则S2017的值等于　 　．
16．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）+1＞0，f（1）=5，则不等式的解集为　 　．
三．解答题（共6小题，17题10分，其余每小题12分，共70分）
17．在△ABC中，三个内角的对边分别为a，b，c， cosA=， asinA+bsinB﹣csinC=asinB．
（1）求B的值；
（2）设b=10，求△ABC的面积S．

18．如图，已知△ABC中，D为BC上一点，∠DAC=，cos∠BDA=﹣，AC=．
（ 1）求AD的长；
（ 2）若△ABD的面积为14，求AB的长．

19．设数列的前n项和为，且，，数列{bn}满足，点P（bn，bn+1）在直线上，n∈N*．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设，求数列{cn}的前n项和Tn．

20．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=110，且成等比数列
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足，求数列{bn}前n项和Tn．

21．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若在区间[，2]上是增函数，求实数的取值范围．

22．已知．
（1）当时，求的单调区间；
（2）对一切，恒成立，求实数a的取值范围；

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）
1．设集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|1＜x＜3}，则（　　）
A．A=B B．A⊇B C．A⊆B D．A∩B=∅
【考点】15：集合的表示法．菁优网版权所有
【分析】化简集合A，即可得出集合A，B的关系．
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2＜0}=（1，2），B={x|1＜x＜3}，∴A⊆B．
故选：C．
【点评】本题考不等式的解法，考查集合的关系，比较基础．

2．下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是（　　）
A．y=2﹣x B．y=tanx C．y=x3 D．y=log3x
【考点】3E：函数单调性的判断与证明；3K：函数奇偶性的判断．菁优网版权所有
【分析】A．不具有奇偶性；
B．在定义域上不具有单调性；
C．利用函数的奇偶性单调性即可判断出正误；
D．不具有奇偶性．
【解答】解：A．y=2﹣x是非奇非偶函数；
B．y=tanx在定义域上不具有单调性；
C．y=x3是R上的奇函数且具有单调递增；
D．y=log3x是非奇非偶函数．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力，属于基础题．

3．若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
【考点】49：指数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【分析】根据对数函数以及指数函数的性质求出a，b，c的大小即可．
【解答】解：a=log20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1，
则a＜c＜b，
则选：C．
【点评】本题考查了对数函数以及指数函数的性质，是一道基础题．

4．已知sinα﹣3cosα=0，则=（　　）
A． B． C． D．﹣3
【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．菁优网版权所有
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】解：∵sinα﹣3cosα=0，∴tanα=3，则===﹣，
故选：A．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．

5．函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是（　　）
A．2π B．π C．π D．π
【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有
【分析】利用二倍角和辅助角公式化简，根据周期公式求解即可．
【解答】解：函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1，
化简可得：f（x）=cos2x+sin2x+1=sin（2x﹣）+．
∴最小正周期T=．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，比较基础．

6．已知函数f（x）=，若f′（1）=，则实数a的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】63：导数的运算．菁优网版权所有
【分析】根据导数的公式即可得到结论
【解答】解：函数f（x）=，
则f′（x）=
∵f′（1）=，
即f′（1）==，
∴a=4．
故选：B
【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握复合函数的求导的计算公式．

7．直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（　　）
A． B．9 C． D．
【考点】67：定积分．菁优网版权所有
【分析】此类题目需先求出两曲线的交点，进而确定积分区间，再依据函数图象的上下位置确定出被积函数，最后依据微积分基本定理求出面积即可．
【解答】解：由已知，联立直线与曲线方程得到
解得 或
则围成图形的面积为
=
=
==
故答案为 ．
【点评】本题主要考查了微积分基本定理，属于基础题．

8．已知数列{an}为等差数列，Sn其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（　　）
A．25 B．27 C．50 D．54
【考点】84：等差数列的通项公式．菁优网版权所有
【分析】由题意得a2=3a4﹣6，所以得a5=3．所以由等差数列的性质得S9=9a5=27．
【解答】解：设数列{an}的首项为a1，公差为d，
因为a2=3a4﹣6，
所以a1+d=3（a1+3d）﹣6，
所以a5=3．
所以S9=9a5=27．
故选B．
【点评】解决此类题目的关键是熟悉等差数列的性质并且灵活利用性质解题．

9．如图，已知，，，，则=（　　）

A． B． C． D．
【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有
【分析】用表示出，，则．
【解答】解：∵，∴==（）=，
∵，∴=﹣=﹣．
∴=．
故选D．

【点评】本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题．

10．在等比数列{an}中，若公比q＞1，且a2a8=6，a4+a6=5，则=（　　）
A． B． C． D．
【考点】87：等比数列．菁优网版权所有
【分析】由等比数列的性质a2a8=a4•a6，解得a4，a6，再求解．
【解答】解：由等比数列的性质得：a2a8=a4•a6=6
又∵a4+a6=5
∴a4=2，a6=3
∴
∴；
故选D
【点评】本题主要考查等比数列的性质和通项公式的应用．
11．函数f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．
【考点】63：导数的运算；7F：基本不等式．菁优网版权所有
【分析】求出原函数的导函数，由f′（1）=2a+b=2，得，把变形为后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．
【解答】解：由f（x）=ax2+bx，得f′（x）=2ax+b，
又f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，
所以f′（1）=2a+b=2，即．
则=．
当且仅当，即时“=”成立．
所以的最小值是9．
故选B．
【点评】本题考查了导数的运算，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生灵活变换和处理问题的能力，是中档题．
12.C
二．填空题（共4小题）
13．已知函数f（x）=ax3+bx+1，若f（a）=8，则f（﹣a）=　﹣6　．
【考点】3L：函数奇偶性的性质．菁优网版权所有
【分析】本题利用函数的奇偶性，得到函数解析式f（﹣x）与f（x）的关系，从面通过f（﹣a）的值求出f（a）的值，得到本题结论．
【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx+1，
∴f（﹣x）=a（﹣x）3+b（﹣x）+1=﹣ax3﹣bx+1，
∴f（﹣x）+f（x）=2，
∴f（﹣a）+f（a）=2．
∵f（a）=8，
∴f（a）=﹣6．
故答案为﹣6．
【点评】本题考查了函数的奇偶性，本题难度不大，属于基础题．
14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则的值是　　．

【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
【分析】根据顶点的纵坐标求A，根据周期求出ω，由五点法作图的顺序求出φ的值，从而求得f（x）的解析式，进而求得的值
【解答】解：由图象可得A=，==﹣，解得ω=2．
再由五点法作图可得2×+φ=π，φ=，
故f（x）=sin（2x+），
故=sin（2×+）=sin（2×）=，
故答案为 ．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．
15．在等差数列{an}中，a1=﹣2017，其前n项和为Sn，若，则S2017的值等于　﹣2017　．
【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．菁优网版权所有
【分析】推导出，由=2，得公差d=2，由此能求出结果．
【解答】解：∵，∴，
∵=2，∴d=2，
∴S2017=2017×（﹣2017）+2017×2016=﹣2017．
故答案为：﹣2017．
【点评】本题考查等差数列的前2017项和的求法，涉及到等差数列的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

16．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）+1＞0，f（1）=5，则不等式的解集为　（0，1）　．
【考点】63：导数的运算．菁优网版权所有
【分析】设对其求导，结合已知不等式得到其单调性，所求不等式转利用单调性得到自变量的大小，即x范围．
【解答】解：由x2f′（x）+1＞0，设，则=＞0．
故函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）=0，故g（x）＜0的解集为（0，1），
即的解集为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查了抽象不等式的解法；关键是正确构造新函数，利用已知不等式得到函数的单调性．

三．解答题（共6小题）
17．在△ABC中，三个内角的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinB﹣csinC=asinB．
（1）求B的值；
（2）设b=10，求△ABC的面积S．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有
【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得cosC的值，进而求得C，进而求得sinA和sinC，利用余弦的两角和公式求得答案．
（2）根据正弦定理求得c，进而利用面积公式求得答案．
【解答】解：（1）∵，
∴．
∴．
又∵A、B、C是△ABC的内角，
∴．
∵，
又∵A、B、C是△ABC的内角，
∴0＜A+C＜π，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
∴△ABC的面积．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．注意对这两个公式的灵活运用来解决三角形问题．

18．如图，已知△ABC中，D为BC上一点，∠DAC=，cos∠BDA=﹣，AC=4．
（ I）求AD的长；
（ II）若△ABD的面积为14，求AB的长．

【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有
【分析】（ I）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角差的正弦函数公式可求sinC，进而利用正弦定理即可求得AD的值．
（ II）由已知及三角形面积公式可求BD的值，进而利用余弦定理可求AB的值．
【解答】（本小题满分12分）
解：（ I）∵，
∴，…（1分）
==，…（4分）
由正弦定理得，即，得AD=7；…（6分）
（ II），得BD=5，…（8分）
由余弦定理得，…（10分）
∴…（12分）
【点评】本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

19．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设，求数列{cn}的前n项和Tn．
【考点】84：等差数列的通项公式；87：等比数列；8E：数列的求和．菁优网版权所有
【分析】（1）要求数列{an}，{bn}的通项公式，先要根据已知条件判断，数列是否为等差（比）数列，由a1=1，an+1=2Sn+1，不难得到数列{an}为等比数列，而由数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*，易得数列{bn}是一个等差数列．求出对应的基本量，代入即可求出数列{an}，{bn}的通项公式．
（2）由（1）中结论，我们易得，即数列{cn}的通项公式可以分解为一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，则可以用错位相消法，求数列{cn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），
两式相减得an+1﹣an=2an，
an+1=3an（n≥2）．
又a2=2S1+1=3，
所以a2=3a1．
故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．
所以an=3n﹣1．
由点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，所以bn+1﹣bn=2．
则数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
则bn=1+（n﹣1）•2=2n﹣1
（2）因为，所以．
则，
两式相减得：．
所以=．
【点评】解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算．

20．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=110，且a1，a2，a4成等比数列
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足，若数列{bn}前n项和Tn．
【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有
【分析】（Ⅰ）通过首项和公差表示出S10，a1，a2，a4，进而利用条件联立方程组，计算即可；
（Ⅱ）通过（I）的结论，利用裂项相消法即可求和．
【解答】解析：（Ⅰ）由题意知：…..…（4分）
解得a1=d=2，
故数列an=2n；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，…..（8分）
则…..（10分）
=…（12分）
【点评】本题考查数列的通项与求和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于基础题．
21．已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间[，2]上是增函数，求实数a的取值范围．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【分析】（1）因为当函数的导数为0时，函数有极值，所以当a=0时，必须先在定义域中求函数f（x）的导数，让导数等于0，求x的值，得到极值点，在列表判断极值点两侧导数的正负，根据所列表，判断何时有极值．
（2）因为当函数为增函数时，导数大于0，若f（x）在区间上是增函数，则f（x）在区间上恒大于0，所以只需用（1）中所求导数，令导数大于0，再判断所得不等式当a为何值时，在区间上恒大于0即可．
【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）
∵当a=0时，f（x）=2x﹣lnx，则
∴x，f'（x），f（x）的变化情况如下表
x
（0，）

（，+∞）
f'（x）
﹣
0
+
f（x）

极小值

∴当时，f（x）的极小值为1+ln2，函数无极大值．
（2）由已知，得
若a=0，由f'（x）＞0得，显然不合题意
若a≠0∵函数f（x）区间是增函数
∴f'（x）≥0对恒成立，即不等式ax2+2x﹣1≥0对恒成立
即 恒成立 故
而当，函数，∴实数a的取值范围为a≥3．
【点评】本题考查了利用导数求函数极值以及函数单调性，属于常规题，必须掌握．
22．已知f（x）=xlnx﹣ax，g（x）=﹣x2﹣2．
（1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；
（2）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3R：函数恒成立问题．菁优网版权所有
【分析】（1）求出函数的导函数，当a=﹣1时，f′（x）=lnx+2，令f′（x）=lnx+2＞0，得函数的单调递增区间是，令f′（x）=lnx+2＜0，得函数的单调递减区间是
（2）把f（x）≥g（x）恒成立转化为对一切x∈（0，+∞），恒成立，构造函数，研究F（x）的最小值；
【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+∞）

当a=﹣1时，f′（x）=lnx+2
令f′（x）=lnx+2＞0，得
令f′（x）=lnx+2＜0，得
∴函数的单调递增区间是
函数的单调递减区间是
（2）∵对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
∴对一切x∈（0，+∞），xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立．
即对一切x∈（0，+∞），恒成立．
令
∵
∴当0＜x＜1时，F′（x）＜0，函数递减，当x＞1时，F′（x）＞0，函数递增．
∴F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即Fmin（x）=F（1）=3
∴a≤3
【点评】本题主要考查了用导数研究函数的单调性和最大值，恒成立问题中用到了转化的数学思想．

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