全国中考数学分类解析汇编专题15：综合问题.doc

2 012年全国中考数学分类解析汇编
专题15：综合问题

一、选择题
1. （2012广东湛江4分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是【 】
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】反比例函数的性质和图象。
【分析】∵根据题意，得xy=20，∴。故选B。
2. （2012浙江湖州3分）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】

A． B． C．3 D．4
【答案】A。
【考点】二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM。
∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=OA=2。
由勾股定理得：DE=。
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE。
∴，即，解得：。
∴BF+CM=。故选A。
3. （2012天津市3分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3； ②；
③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是【 】
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】C。
【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，
∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。
②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，
解得：。故结论②正确。
③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m。
∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m
=x2－5x＋6=（x－2）（x－3）。
令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3。
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。
综上所述，正确的结论有2个：②③。故选C。
4. （2012四川广元3分） 已知关于x的方程有唯一实数解，且反比例函数
的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质。
【分析】关于x的方程化成一般形式是：2x2＋（2－2b）x＋（b2－1）=0，
∵它有唯一实数解，
∴△=（2－2b）2－8（b2－1）=－4（b＋3）（b－1）=0，解得：b=－3或1。
∵反比例函数 的图象在每个象限内y随x的增大而增大，
∴1+b＜0。∴b＜－1。∴b=－3。
∴反比例函数的解析式是，即。故选D。
5. （2012四川凉山4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是【 】

A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能
【答案】B。
【考点】坐标与图形性质，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】如图，在中，令x=0，则y=－ ；令y=0，则x= ，
∴A（0，－），B（，0）。∴OA=OB= 2 。
∴△AOB是等腰直角三角形。∴AB=2，
过点O作OD⊥AB，则OD=BD=AB=×2=1。
又∵⊙O的半径为1，∴圆心到直线的距离等于半径。
∴直线y=x- 2 与⊙O相切。故选B。
6. （2012辽宁朝阳3分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上，若点A 的坐标为（－2，－3），则k的值为【 】

A.1 B. －5 C. 4 D. 1或－5
【答案】D。
【考点】矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征。
【分析】如图：∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，
又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，
∴。
∴。
∴。
∴xy=k2+4k+1=6，解得，k=1或k=－5。故选D。
7. （2012贵州安顺3分）下列说法中正确的是【 】
　 A． 是一个无理数
　 B． 函数的自变量的取值范围是x＞﹣1
　 C． 若点P（2，a）和点Q（b，﹣3）关于x轴对称，则a﹣b的值为1
　 D． ﹣8的立方根是2
【答案】C。
【考点】无理数，函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，关于x轴对称的点的坐标，立方根。
【分析】A、=3是有理数，故此选项错误；
B、函数的自变量的取值范围是x≥﹣1，故此选项错误；
C、若点P（2，a）和点Q（b，﹣3）关于x轴对称，则b=2，a=3，故a﹣b=3﹣2=1，故此选项正确；
D、﹣8的立方根式﹣2，故此选项错误。
故选C。
8. （2012广西柳州3分）小兰画了一个函数的图象如图，那么关于x的分式方程的
解是【 】

A．x=1　　 B．x=2 　　C．x=3 　　D．x=4
【答案】A。
【考点】反比例函数的图象，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，关于x的分式方程的解就是函数中，
纵坐标y=2时的横坐标x的值．根据图象可以得到：当y=2时，x=1。故选A。
9. （2012广西钦州3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：
①f（x，y）=（y，x）．如f（2，3）=（3，2）；
②g（x，y）=（﹣x，﹣y），如g（2，3）=（﹣2，﹣3）．
按照以上变换有：f（g（2，3））=f（﹣2，﹣3）=（﹣3，﹣2），那么g（f（﹣6，7））等于【 】
A．（7，6） B．（7，﹣6） C．（﹣7，6） D．（﹣7，﹣6）
【答案】C。
【考点】新定义，点的坐标。
【分析】由题意应先进行f方式的变换，再进行g方式的变换，注意运算顺序及坐标的符号变化：
∵f（﹣6，7）=（7，﹣6），∴g（f（﹣6，7））=g（7，﹣6）=（﹣7，6）。故选C。
10. （2012吉林长春3分） 如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB,使OA=OB；再分别以点A, B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为(m－1,2n),则m与n的关系为【 】

(A)m＋2n=1 (B)m－2n=1 (C)2n－m=1 (D)n－2m=1
【答案】B。
【考点】作图（基本作图），角平分线性质，点到x轴、y轴距离。
【分析】如图，根据题意作图知，OC为∠AOB的平分线，点C的坐标为
(m－1,2n)且在第一象限，点C到x轴CD=2n，到y轴距离CE= m－1。根据角平分线上的点到角两边距离相等，得m－1=2n，即m－2n=1 。故选B。
11. （2012青海西宁3分）如图，将矩形沿图中虚线(其中x＞y)剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一
个正方形．若y＝2，则x的值等于【 】

A．3 B．2－1 C．1＋ D．1＋
【答案】C。
【考点】一元二次方程的应用（几何问题），图形的剪拼。
【分析】如图所示，四块图形拼成一个正方形边长为x，
根据剪拼前后图形的面积相等可得，y（x+y）=x2。
∵y=2，∴2（x+2）=x2，整理得，x2-2x-4=0，解得x1=1＋，x2=1－（舍去）。故选C。
12. （2012内蒙古呼和浩特3分）下列命题中，真命题的个数有【 】
①一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行
②函数图象上的点P（x，y）一定在第二象限
③正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面
④使得|x|﹣y=3和y+x2=0同时成立的x的取值为．
A．3个 B．1个 C．4个 D．2个
【答案】D。
【考点】命题与定理，平移和旋转的性质，非负数的性质，平行投影，公式法解一元二次方程，绝对值，二次根式有意义的条件。
【分析】①平移后对应线段平行；对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小没有发生变化；
旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化。
故此命题错误。
②根据二次根式的意义得x＜0，y＞0，故函数图象上的点P（x，y）一定在第二象限。故此命题正确。
③根据正投影的定义得出，正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面。故此命题正确。
④使得|x|﹣y=3和y+x2=0同时成立，即y=|x|﹣3，y=﹣x2，故|x|﹣3=﹣x2，x2﹣|x|﹣3=0。
当x＞0，则x2﹣x﹣3=0，解得：x1=，x2=（不合题意舍去）；
当x＜0，则x2+x﹣3=0，解得：x1=（不合题意舍去），x2=。
∴使得|x|﹣y=3和y+x2=0同时成立的x的取值为：，。
故此命题错误。
故正确的有2个。故选D。　
二、填空题
1. （2012山西省3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是 ▲ ．

【答案】（2，2）。
【考点】矩形的性质，平行的性质，坐标与图形性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】过点B作DE⊥OE于E，
∵矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，
∴∠CAO=30°。
又∵OC=2，∴AC=4。∴OB=AC=4。
又∵∠OBC=∠CAO=30°，DE⊥OE，∠CBA=90°，∴∠OBE=30°。
∴OE=2，BE=OB·cos∠OBE =2。
∴点B的坐标是（2，2）。
2. （2012陕西省3分）如图，从点A（0，2）发出的一束光，经x轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过路径的长为 ▲ ．

【答案】。
【考点】跨学科问题，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】如图，过点B作BD⊥x轴于D，
∵A（0，2），B（4，3），∴OA=2，BD=3，OD=4。
根据入射角等于反射角的原理得：∠ACO=∠BCD。
∵∠AOC=∠BDC=90°，∴△AOC∽△BDC。
∴OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，
设OC=x，则DC=4－x，∴，解得，即OC=。
∴。
∴：BC=2：3，解得BC= 。
∴AC+BC=，即这束光从点A到点B所经过的路径的长为。
3. （2012广东佛山3分）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 ▲

【答案】2m＋4。
【考点】图形的变换，一元一次方程的应用（几何问题）。
【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解：
设拼成的矩形的另一边长为x，
则4x=（m＋4）2－m2=（m＋4＋m）（m＋4－m）=8m＋16，解得x=2m＋4。
4. （2012浙江湖州4分）如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若，则△ABC的边长是 ▲

【答案】12。
【考点】一元二次方程的应用（几何问题），菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义。
【分析】设正△ABC的边长为x，则由勾股定理，得高为，。
∵所分成的都是正三角形，
∴根据锐角三角函数定义，可得黑色菱形的较长的对角线为 ，较短的对角线为。
∴黑色菱形的面积=。
∴，整理得，11x2－144x＋144=0。
解得（不符合题意，舍去），x2=12。
所以，△ABC的边长是12。
5. （2012江苏连云港3分）如图，直线y＝k1x＋b与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜＋b的解集是　▲　．

【答案】－5＜x＜－1或x＞0。
【考点】不等式的图象解法，平移的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，对称的性质。
【分析】不等式k1x＜＋b的解集即k1x－b＜的解集，根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，可以理解为直线y＝k1x－b在双曲线下方的自变量x的取值范围即可。
而直线y＝k1x－b的图象可以由y＝k1x＋b向下平移2b个单位得到，如图所示。根据函数图象的对称性可得：直线y＝k1x－b和y＝k1x＋b与双曲线的交点坐标关于原点对称。
由关于原点对称的坐标点性质，直线y＝k1x－b图象与双曲线图象交点A′、B′的横坐标为A、B两点横坐标的相反数，即为－1，－5。
∴由图知，当－5＜x＜－1或x＞0时，直线y＝k1x－b图象在双曲线图象下方。
∴不等式k1x＜＋b的解集是－5＜x＜－1或x＞0。
6. （2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，
则(2m－n＋3)2的值等于 ▲ ．
【答案】16。
【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。
【分析】∵由于a不论为何值此点均在直线l上，
∴令a=0，则P1（－1，－3）；再令a=1，则P2（0，－1）。
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴ ，解得 。
∴直线l的解析式为：y=2x－1。
∵Q（m，n）是直线l上的点，∴2m－1=n，即2m－n=1。
∴(2m－n＋3)2=（1+3）2=16。
7. （2012福建龙岩3分）如图，平面直角坐标系中，⊙O1过原点O，且⊙O1与⊙O2相外切，圆心O1与O2在x轴正半轴上，⊙O1的半径O1P1、⊙O2的半径O2P2都与x轴垂直，且点P1、P2在反比例函数（x>0）的图象上，则 ▲ ．

【答案】。
【考点】反比例函数综合题。
【分析】∵⊙O1过原点O，⊙O1的半径O1P1，∴O1O=O1P1。
∵⊙O1的半径O1P1与x轴垂直，点P1（x1，y1）在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴x1=y1，x1y1=1。∴x1=y1=1。
∵⊙O1与⊙O2相外切，⊙O2的半径O2P2与x轴垂直，
设两圆相切于点A，∴AO2=O2P2=y2，OO2=2+y2。
∴P2点的坐标为：（2+y2，y2）。
∵点P2在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴（2+y2）•y2=1，解得：y2=－1+ 或－1－（不合题意舍去）。
∴y1+y2=1+（－1+）= 。
8. （2012湖北武汉3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点
C是第一象限内一点，且AC＝2．设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是 ▲ ．
【答案】。
【考点】锐角三角函数定义，勾股定理，一元二次方程根的判别式。
【分析】如图，设C点坐标为（）。
∵tan∠BOC＝m，∴，即。
∵A的坐标为(3，0)，∴DA=。
又∵AC＝2．∴由勾股定理，得，
即，整理得
由得。
∵tan∠BOC＝m＞0，∴。
9. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（0，2），半径为1，点N在x轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切，则圆心N的坐标为　 ▲ 　．

【答案】（，0）或（，0）。
【考点】相切两圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理。
【分析】分别从⊙M与⊙N内切或外切去分析：
①⊙M与⊙N外切，MN=4+1=5，，
∴圆心N的坐标为（，0）。
②⊙M与⊙N内切，MN=4﹣1=3，，
∴圆心N的坐标为（，0）。
综上所述，圆心N的坐标为（，0）或（，0）。
10. （2012辽宁阜新3分）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图2中Ⅱ部分的面积是
▲ ．

【答案】100。
【考点】解二元一次方程组的应用（几何问题）。
【分析】由题意，得图2中Ⅱ部分长为b，宽为a－b，
∴，解得。
∴图2中Ⅱ部分的面积是。
11. （2012吉林长春3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ▲ .

【答案】18。
【考点】二次函数的性质，等边三角形的性质。
【分析】根据二次函数的性质，抛物线的对称轴为x=3。
∵A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一 点，且AB∥x轴。
∴A，B关于x=3对称。∴AB=6。
又∵△ABC是等边三角形，∴以AB为边的等边三角形ABC的周长为6×3=18。
12. （2012甘肃兰州4分）如图，M为双曲线上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y＝－x＋m于点D、C两点，若直线y＝－x＋m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则AD•BC的值为　 ▲ 　．

【答案】2。
【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】如图，作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，
在y＝－x＋m中，
令x＝0，则y＝m；令y＝0，－x＋m＝0，解得x＝m。
∴A(0，m)，B(m，0)。∴△OAB等腰直角三角形。
∴△ADF和△CEB都是等腰直角三角形。
设M的坐标为(a，b)，则ab＝，CE＝b，DF＝a。
∴AD＝DF＝a，BC＝CE＝b，∴AD•BC＝a•b＝2ab＝2。
三、解答题
1. （2012上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；
（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．

【答案】解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），
∴，解得。
∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8。
（2）∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°。∴∠DEF=∠ODA。
∴△EDF∽△DAO。∴。
∵，∴。
∵OD=t，∴，∴EF=。
同理，∴DF=2，∴OF=t﹣2。
（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，∴C（0，8），OC=8。
如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．
∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）。
在△CAG与△OCA中，
∵∠OAC=∠GCA，AC=CA，∠ECA=∠OAC，
∴△CAG≌△OCA（ASA）。∴CG=AO=4，AG=OC=8。
如图，过E点作EM⊥x轴于点M，
则在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+，
由勾股定理得： 。
在Rt△AEG中，由勾股定理得：。
在Rt△ECF中，EF=，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=4+
由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即。
解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6。
∴t=6。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可。
（2）先证明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求
解。
（3）通过作辅助线构造一对全等三角形：△CAG≌△OCA，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值。
2. （2012福建莆田14分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线过点A。
(1)(2分)求c的值； ．
(2)(6分)若a＝－l，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，求△ADE的面积S的最大值；
(3)(6分)若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N，线段MN的垂直平分线l过点O，交线段BC于点
F。当BF＝1时，求抛物线的解析式．

【答案】解：(1)∵抛物线过点A(0，3)，∴c＝3。
(2) ∵a＝－l，∴
如图①，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上时， 抛物线与直线x＝6的交点应落在C点或C点下方。
∴　当x＝6时，y≤0。
∴，即。
又∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0。∴0＜。
由抛物线的对称性可知： 。
又∵△ADE的高＝BC＝3，∴S＝×b×3＝。
∵＞0，∴S随b的增大而增大。
∴当b＝时，S的最大值＝。
如图②，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边上时，抛物线与直线
x＝6的交点应落在线段BC上且不与点B重合，即0≤＜3。
当x＝6，则，
∴0≤6b—33＜3，∴≤b＜6。
∴BE＝3－(6b－33)＝36—6b。
∴S＝AD·BE＝·b·(36—6b)＝－3b2+18b。
∵对称轴b＝3＜，∴随b的增大而减小。
∴当b＝时，S的最大值＝。
综上所述：S的最大值为。
(3)当a＞0时，符合题意要求的抛物线不存在。
当a＜0时，符合题意要求的抛物线有两种情况：
①当点M、N分别在AB、OC边上时．
如图③过M点作MG⊥OC于点G，连接OM．
∴MG＝OA＝3．∠2＋∠MNO＝90°。
∵OF垂直平分MN．
∴OM＝ON，∠1＋∠MNO=90°，∠1＝∠2。
∵FB＝1，FC＝3－1＝2。
∴tan∠1＝，tan∠2＝＝tan∠1＝。
∴GN＝GM＝1。
设N(n，0)，则G(n－1，0)，∴M(n－1，3)。 ∴AM＝n－1，ON＝n＝OM。
在Rt△AOM中，，
∴，解得n＝5。∴　M(4，3)，N(5，0)。
把M(4，3)，N(5，0)分别代入，得
，解得。
∴抛物线的解析式为。
②当点M、N分别在AB、BC边上时．如图④，连接MF．
∵OF垂直平分MN，
∴∠1＋∠NFO＝90°，MF＝FN。
又∵∠0CB＝90°，∴∠2＋∠CFO=90°。
∴∠1＝∠2。
∵BF＝1， ∴FC＝2。
∴tan∠1＝tan∠2＝。
在Rt△MBN，tan∠1＝，∴BN＝3MB。
设N(6，n)．则FN＝2－n，BN＝3一n。∴MF＝2－n，MB＝。
在Rt△MBF中，∵，∴。
解得： (不合题意舍去)，∴。
∴AM＝6－＝，∴　M(，3)，N(6，) 。
把M(，3)，N(6，)分别代人，得
，解得　。
∴抛物线的解析式为。
综上所述，抛物线的解析式为或。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，解二元一次方程组。
【分析】（1）将点A的坐标代入即可求得c的值。
（2）分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用二次函数性质分别求解。
（3）分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用待定系数法分别求解。
3. （2012甘肃兰州10分）若x1、x2是关于一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2＝，x1•x2＝．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB＝|x1－x2|＝
。
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
(1)当△ABC为直角三角形时，求b2－4ac的值；
(2)当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac的值．

【答案】解：（1）当△ABC为直角三角形时，
过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE。
∵抛物线与x轴有两个交点，△＝b2－4ac＞0，
则|b2－4ac|＝b2－4ac。
∵a＞0，∴AB。
又∵CE，∴。
∴，即。
∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝4。
（2）当△ABC为等边三角形时，由(1)可知CE＝AB，
∴。
∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝12。
【考点】抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，等腰三角形的性质，等边三角形的性质。
【分析】（1）当△ABC为直角三角形时，由于AC＝BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．根据本题定理和结论，得到AB，根据顶点坐标公式，得到CE，列出方程，解方程即可求出b2－4ac的值。
（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE＝AB，据此列出方程，解方程即可求出b2－4ac的值。
4. （2012湖北黄石10分）已知抛物线C1的函数解析式为，若抛物线C1经过
点，方程的两根为，，且。
（1）求抛物线C1的顶点坐标.
（2）已知实数，请证明：≥,并说明为何值时才会有.
（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设，
是C2上的两个不同点，且满足： ，，.请你用含有的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。
（参考公式：在平面直角坐标系中，若，，则P，Q两点间的距离）
【答案】解：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３。∴a＝１ 。
　∴ｙ＝x2＋bx－３
　　　　　 ∵x2＋bx－３=０的两根为x1，x2且，
∴＝４且b＜０。∴b＝－２。
∴。
∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４）。
（2）∵x＞０，∴
∴。
当时，即当x＝１时，有。
（3）由平移的性质，得C2的解析式为：y＝x2 。
∴Ａ(m，m2)，B（n，n2）。
∵ΔAOB为直角三角形，∴OA2＋OB2=AB2。
∴m2＋m4＋n2＋n4＝（m－n）2＋（m2－n2）2，
化简得：m n＝－１。
∵ＳΔAOB=，m n＝－１，
∴ＳΔAOB＝＝。
∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)。
∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，不等式的知识。
【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，即要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值．已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方程入手求b的值，题目给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值。
（2）将配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证。
（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C2的解析式；在Rt△OAB中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出△AOB的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定△OAB的最小面积值以及此时m的值，从而由待定系数法确定一次函数OA的解析式。
别解：由题意可求抛物线C2的解析式为：y＝x2。
∴Ａ(m，m2)，B（n，n2）。
过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
则

由 得 ，即。∴。
∴。
∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)。
∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x。
5. （2012江苏无锡8分）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．
（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；
（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离．

【答案】解：（1）由题意，得|x|+|y|=1。
所有符合条件的点P组成的图形如图所示：

（2）∵d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，
又∵x可取一切实数，|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和，其最小值为3。
∴点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3。
【考点】新定义，一次函数综合题，绝对值与数轴的关系。
【分析】（1）根据新定义知|x|+|y|=1，据此可以画出符合题意的图形。
（2）根据新定义知d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，然后由绝对值与数轴的关系可知，|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和，其最小值为3。
6. （2012山东济南9分）如图1，抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴相交于点A（－3，0），B（－1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；
（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴相交于点A（－3，0），B（－1，0），
∴，解得。∴抛物线的解析式为：y=x2＋4x＋3。
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2＋4x＋3，
∵令x=0，得y=3，∴C（0，3）。
∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形。
∴∠CAB=45°，∴cos∠CAB=。
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=。
如图1所示，连接O1B、O1C，
由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°。
∴△BO1C为等腰直角三角形，
∴⊙O1的半径O1B=。
（3）点N的坐标为（，）或（，）。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，圆及抛物线的对称性质，相似三角形的性质，勾股定理。
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由
圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度。
（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，从而求出点M的坐标和线段
BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用勾股定理，列出方程组，求出点N的坐标。
∵抛物线y=x2＋4x＋3=（x＋2）2－1，
∴顶点P坐标为（－2，－1），对称轴为x= －2。
又∵A（－3，0），B（－1，0），可知点A、B关于对称轴x=2对称。
如图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称。
∴D（－4，3）。
又∵点M为BD中点，B（－1，0），∴M（）。
∴BM=。
在△BPC中，B（－1，0），P（－2，－1），C（0，3），
由勾股定理得：BP=，BC=，PC=。
∵△BMN∽△BPC，
∴，即。
解得：BN=，MN。
设N（x，y），由勾股定理可得：
，解得，，。
∴点N的坐标为（，）或（，）。
7. （2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若⊙M的半径为，求点M的坐标．

【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），
将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1。
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2。
（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，
解得，x=，即OP=。
（3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。
（i）如图1，当H在点C下方时，
∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴yM=﹣2。
∴x2﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1。
∴M（1，﹣2）。
（ii）如图2，当H在点C上方时，
∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。
由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点，
设直线CM′的解析式为y=kx﹣2，
把P（，0）的坐标代入，得k﹣2=0，解得k=。
∴y=x﹣2。
由x﹣2=x2﹣x﹣2，解得x1