五之2反常积分审敛法.pptx

一、无穷积分敛散性的判别一、无穷积分敛散性的判别定理定理1.若函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:根据极限收敛准则知 存在,第1页/共21页定理定理2.(比较判别法)且对充,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:不失一般性,因此 单调递增有上界函数,第2页/共21页机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:已知得下列比较判别法.极限存在,第3页/共21页定理定理3.(比较判别法 1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共21页例例1.判别反常积分解解:的敛散性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 由比较判别法 1 可知原积分收敛.思考题思考题:讨论反常积分的敛散性.提示提示:当 x1 时,利用 可知原积分发散.第5页/共21页定理定理4.(判别法极限形式1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有:1)当2)当证证:根据极限定义,对取定的当 x 充分大时,必有,即满足第6页/共21页当机动 目录 上页 下页 返回 结束 可取必有即注意注意:此极限的大小刻画了第7页/共21页例例2.判别反常积分的敛散性.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据判别法极限形式 ,该积分收敛.例例3.判别反常积分的敛散性.解解:根据判别法极限形式,该积分发散.第8页/共21页定义定义.设反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称绝对收敛;则称条件收敛.例例4.判断反常积分的敛散性.解解:根据比较判别法知故所 给积分 绝对收敛.第9页/共21页定理定理5.机动 目录 上页 下页 返回 结束 证：证：则而第10页/共21页无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.二、无界函数积分敛散性的判别二、无界函数积分敛散性的判别机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定义 例如因此无穷积分敛散性的判别法完全可以平移到无界函数的反常积分中来.第11页/共21页定理定理6.(比较判别法 2)定理3 目录 上页 下页 返回 结束 瑕点,有有利用有类似定理 3 与定理 4 的如下判别法.使对一切充分接近 a 的 x(x a).第12页/共21页定理定理7.(判别法极限形式2)定理4 目录 上页 下页 返回 结束 则有:1)当2)当例例5.判别反常积分解解:利用洛必达法则得根据判别法极限形式2,所给积分发散.第13页/共21页例例6.判定椭圆积分定理4 目录 上页 下页 返回 结束 散性.解解:由于 的敛根据判别法极限形式2,椭圆积分收敛.第14页/共21页类似定理5,有下列结论:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.判别反常积分的敛散性.解解:称为绝对收敛.故对充分小从而 据比较判别法2,所给积分绝对收敛.则反常积分 第15页/共21页内容小结内容小结 1.两类反常积分的比较判别法比较判别法和判别法极限形式判别法极限形式.2.若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课 目录 上页 下页 返回 结束 可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛.思考与练习思考与练习P268 题3(1),(2),(4)P269 题7(1),(2)作业作业P268（A)3(1),(4).7.（1）.第16页/共21页三、三、函数函数1.定义定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面证明这个特殊函数在内收敛.令第17页/共21页机动 目录 上页 下页 返回 结束 综上所述,第18页/共21页2.性质性质(1)递推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:(分部积分)注意到:第19页/共21页(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:(3)余元公式:(证明略)第20页/共21页(4)机动 目录 上页 下页 返回 结束 得应用中常见的积分这表明左端的积分可用 函数来计算.例如,第21页/共21页