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MATLAB离散傅里叶变换及应用

一、DFT与IDFT、DFS、DTFT的联系
1、 序列的傅里叶变换(DFT)和逆变换(IDFT)
在实际中常常使用有限长序列。如果有限长序列信号为x(n)，则该序列的离散傅里叶变换对可以表示为
(12-1)
(12-2)
已知x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x(n)的DFT和IDFT。要求：
(1)画出序列傅里叶变换对应的|X(k)|和arg［X(k)］图形。
(2)画出原信号与傅里叶逆变换IDFT［X(k)］图形进行比较。
程序源代码：
xn=[0,1,2,3,4,5,6,7];
N=length(xn);
n=0:(N-1);k=0:(N-1);
Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n'*k);
x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n'*k))/N;
subplot(2,2,1),stem(n,xn);
title('x(n)');
subplot(2,2,2),stem(n,abs(x));
title('IDFT|X(k)|');
subplot(2,2,3),stem(k,abs(Xk));
title('|X(k)|');
subplot(2,2,4),stem(k,angle(Xk));
title('arg|X(k)|');
运行图如下：

从得到的结果可见，与周期序列不同的是，有限长序列本身是仅有N点的离散序列，相当于周期序列的主值部分。因此，其频谱也对应序列的主值部分，是含N点的离散序列。
2、 序列DFT与周期序列DFS
已知周期序列的主值x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x(n)周期重复次数为4次时的DFS。要求：
(1)画出原主值和信号周期序列信号。
(2)画出序列傅里叶变换对应的和的图形。
程序源代码：
xn=[0,1,2,3,4,5,6,7];
N=length(xn);
n=0:4*N-1;k=0:4*N-1;
xn1=xn(mod(n,N)+1);
Xk=xn1*exp(-j*2*pi/N).^(n'*k);
subplot(2,2,1),stem(xn);
title('原主值信号x(n)');
subplot(2,2,2),stem(n,xn1);
title('周期序列信号');
subplot(2,2,3),stem(k,abs(Xk));
title('|X(k)|');
subplot(2,2,4),stem(k,angle(Xk));
title('arg|X(k)|');
运行结果如下：

由这个周期序列的实验我们可以看出，有限长序列x(n)可以看成是周期序列的一个周期；反之，周期序列可以看成是有限长序列x(n)以N为周期的周期延拓。频域上的情况也是相同的。从这个意义上说，周期序列只有有限个序列值有意义。
3、 序列DFT与离散时间傅里叶变换DTFT的联系
求x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，0≤n≤7的DTFT，将(－2p，2p)区间分成500份。要求：
(1)画出原信号。
(2)画出由离散时间傅里叶变换求得的幅度谱X(ejw)和相位谱arg［X(ejw)］图形。
程序源代码：
xn=[0,1,2,3,4,5,6,7];
N=length(xn);
n=0:N-1;
w=linspace(-2*pi,2*pi,500);
X=xn*exp(-j*n'*w);
subplot(3,1,1),stem(n,xn,'k');
ylabel('x(n)');
subplot(3,1,2),plot(w,abs(X),'k');
axis([-2*pi,2*pi,1.1*min(abs(X)),1.1*max(abs(X))]);
ylabel('幅度谱');
subplot(3,1,3),plot(w,angle(X),'k');
axis([-2*pi,2*pi,1.1*min(angle(X)),1.1*max(angle(X))]);
ylabel('相位谱');
运行结果如下：

由图12-3可以看出，两者有一定的差别。主要原因在于，该例进行DTFT时，X(ejw)在单位圆上取250个点进行分割；而图12-1进行DFT时，X(k)是在单位圆上N＝8的等间距点上取值，X(k)的序列长度与X(ejw)相比不够长。
4仍然用x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，将x(n)的有限长序列后面补足至N＝100，求其DFT，并与例3进行比较。
程序源代码：
N=100;
xn=[0,1,2,3,4,5,6,7,zeros(1,N-8)];
n=0:(N-1);k=0:(N-1);
Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n'*k);
x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n'*k))/N;
subplot(2,1,1),stem(k,abs(Xk));
title('|X(k)|');
subplot(2,1,2),stem(k,angle(Xk));
title('arg|X(k)|');
运行结果如下：

二、序列的移位和周期延拓运算。
已知，利用MATLAB生成并图示序列其中
程序清单如下：
N=24;
M=8;
m=3;
n=0:N-1;
xn=0.8.^n.*(n>=0 & n<M);
subplot(3,1,1);stem(n,xn,'.');grid;
axis([0 length(xn),0 1]);title('序列x(n)');
xc=xn(mod(n,8)+1);
subplot(3,1,2);stem(n,xc,'.');grid;
axis([0 length(xc),0 1]);title('序列x(n)的周期延拓序列');
xm=[xn(m+1:M) xn(1:m)];
xm=[xm zeros(1,N-length(xm))];
subplot(3,1,3);stem(n,xm,'.');grid;
axis([0 length(xm),0 1]);title('圆周移位序列x(n+m)');
运行结果如下：
三、利用MATLAB验证N 点DFT的物理意义。

试绘制出 幅度频谱和相位频谱，并分别计算N=8和N=16时的DFT。
程序源代码：
N1=8;N2=16; % 设置两种DFT的长度
n=0:N1-1;
k1=n;k2=0:N2-1;
w=(0:2047)*2*pi/2048;
Xw=(1-exp(-j*4*w))./(1-exp(-j*w));
xn=[n>=0 & n<4];
Xk1=fft(xn,N1);
Xk2=fft(xn,N2);
subplot(3,1,1);
plot(w/pi,abs(Xw));
grid;title('序列x(n)的幅频曲线|X(e^{j\omega})|');
subplot(3,1,2);
stem(k1*2/N1,abs(Xk1),'.');
grid;title('序列x(n)的8点DFT');
subplot(3,1,3);stem(k2,abs(Xk2),'.');
grid;title('序列x(n)的16点DFT');
运行结果如下；

四、利用DFT计算线性卷积
已知序列x1(n)=0.9^n,n=[0:11];h(n)=R9(n) 求x1(n)*h(n)；x1(n)与h(n)的10点圆周卷积。
程序源代码:
n1=[0:9];n2=[0:11];m=0:N1-1;n=[0:N1-1];N=12;N1=10;x1=0.9.^n2;
x11=0.9.^n1;x2=ones(1,9);x3=conv(x1,x2)
x5=[x11,zeros(1,N1-length(x11))];
x6=[x2,zeros(1,N1-length(x2))];
H=zeros(N1,N1);
x6=[x6 zeros(1,N1-length(x6))];
for n=1:N1
H(n,:)=x6(mod(n-m-1,N1)+1);
end
x4=x5*H';
subplot(221),stem(x1,'.');title('原序列x1')
axis([-1,14,0.6*min(x1),1.1*max(x1)]);
subplot(222),stem(x2,'.');title('原序列x2')
axis([-1,11,0,1.1*max(x2)]);
subplot(223),stem(x3,'.');title('x1卷积x2')
axis([-1,25,1.1*min(x3),1.1*max(x3)]);
subplot(224),stem(x4,'.');title('x1 10点圆周卷积x2')
axis([-1,15,0.975*min(x4),1.01*max(x4)]);
运行结果如下：