“费马点”与中考试题(可打印修改).pdf

1“费马点费马点”与中考试题与中考试题费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点 费尔马的结论：对于一个各角不超过 120的三角形，费马点是对各边的张角都是 120的点，对于有一个角超过 120的三角形，费马点就是这个内角的顶点下面简单说明如何找点 P 使它到三个顶点的距离之和 PA+PB+PC 最小？这就ABC是所谓的费尔马问题 图 1解析解析：如图 1，把APC 绕 A 点逆时针旋转 60得到APC，连接 PP则APP为等边三角形，AP=PP，PC=PC，所以 PA+PB+PC=PP+PB+PC点 C可看成是线段 AC 绕 A 点逆时针旋转 60而得的定点，BC为定长，所以当B、P、P、C 四点在同一直线上时，PA+PB+PC 最小这时BPA=180-APP=180-60=120，APC=A PC=180-APP=180-60=120，BPC=360-BPA-APC=360-120-120=120 因此，当的每一个内角都小于 120时，所求的点 P 对三角形每边的张角都ABC是 120，可在 AB、BC 边上分别作 120的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是 P 点；当有一内角大于或等于 120时，所求的 P 点就是钝角的顶点费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考例例 1 1 （2008 年广东中考题）已知正方形 ABCD 内一动点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长262 图 2 图 3 分析分析：连接 AC，发现点 E 到 A、B、C 三点的距离之和就是到三个顶点的距ABC离之和，这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同解解 如图 2，连接 AC，把AEC 绕点 C 顺时针旋转 60，得到GFC，连接EF、BG、AG，可知EFC、AGC 都是等边三角形，则 EF=CE又 FG=AE，AE+BE+CE=BE+EF+FG（图 4）点 B、点 G 为定点（G 为点 A 绕 C 点顺时针旋转 60所得）线段 BG 即为点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值，此时 E、F 两点都在 BG上（图 3）设正方形的边长为，那么aBO=CO=，GC=,GO=22a2a62a BG=BO+GO=+22a62a 点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为26+=，解得=222a62a26a注注 本题旋转AEB、BEC 也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试例例 2 （2009 年北京中考题）如图 4，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点xOy的坐标分别为，延长 AC 到点 D,使 CD=,过点 D6,0A 6,0B0,4 3C12AC作 DEAB 交 BC 的延长线于点 E.（1）求 D 点的坐标；3（2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF，若过 B 点的直线将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；ykxb（3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达ykxbG 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短分析和解分析和解：（1）D 点的坐标（3，）（过程略）6 3（2）直线 BM 的解析式为（过程略）36 3yx yxEDCBAO yxODMFECBA图 4 （3）如何确定点 G 的位置是本题的难点也是关健所在设 Q 点为 y 轴上一点，P 在 y轴上运动的速度为 v，则 P 沿 MQA 运动的时间为，使 P 点到达 A 点所用2MQAQvv的时间最短，就是MQAQ 最小，或 MQ2AQ 最小12解法解法 1 BQ=AQ，MQ2AQ 最小就是 MQAQBQ 最小，就是在直线 MO上找点 G 使他到 A、B、M 三点的距离和最小至此，再次发现这又是一个费尔马问题的变形，注意到题目中等边三角形的信息，考虑作旋转变换 把MQB 绕点 B 顺时针旋转 60，得到MQB，连接 QQ、MM（图 5），可知QQB、MMB 都是等边三角形，则 QQ=BQ又 MQ=MQ，MQAQBQ=MQ+QQ+AQ点 A、M为定点，所以当 Q、Q两点在线段 A M上时，MQAQBQ 最小由条件可证明 Q点总在 AM上，所以 A M与 OM 的交点就是所要的 G 点（图 6）可证OG=MG124 图 5 图 6 图 7解法解法 2 考虑MQAQ 最小，过 Q 作 BM 的垂线交 BM 于 K，由 OB=6，OM=12，可得BMO30，所以 QKMQ6 312要使MQAQ 最小，只需使 AQQK 最小，根据“垂线段最短”，可推出当点12A、Q、K 在一条直线上时，AQ+QK 最小，并且此时的 QK 垂直于 BM，此时的点 Q 即为所求的点 G（图 7）过 A 点作 AHBM 于 H,则 AH 与 y 轴的交点为所求的 G 点.由 OB=6，OM=，可得6 3OBM=60，BAH=30在 RtOAG 中，OG=AOtanBAH=2 3G 点的坐标为（0，）（G 点为线段 OC 的中点）2 3例例 3 （2009 年湖州中考题）若点 P 为ABC 所在平面上一点，且APB=BPC=CPA=120,则点 P 叫做ABC 的费马点（1）若 P 为锐角ABC 的费马点，且ABC=60，PA=3，PC=4,则 PB 的值为 ；（2）如图 8，在锐角ABC 的外侧作等边ACB，连结 BB求证：BB 过ABC 的费马点 P，且 BB=PA+PB+PC 图 8 解解：（1）利用相似三角形可求 PB 的值为2 35 （2）设点 P 为锐角ABC 的费马点，即APB=BPC=CPA=120如图 8，把ACP 绕点 C 顺时针旋转 60到BCE，连结 PE，则EPC 为正三角形 BEC=APC=120，PEC=60 BEC+PEC=180 即 P、E、B 三点在同一直线上 BPC=120,CPE=60 ，BPC+CPE=180，即 B、P、E 三点在同一直线上 B、P、E、B 四点在同一直线上，即 BB 过ABC 的费马点 P 又 PE=PC，BE=PA，BB=E B+PB+PE=PA+PB+PC注注 通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，一般地，当题目出现等腰三角形（等边三角形）、正方形条件时，可将图形作旋转 60 或 90的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决费尔马问题是个有趣的数学问题，这些问题常常可通过旋转变换来解决