f分布t分布和卡方分布.doc

§1、4 常用得分布及其分位数
1、 卡平方分布
卡平方分布、t分布及F分布都就是由正态分布所导出得分布，它们与正态分布一起，就是试验统计中常用得分布。
当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z= 得分布称为自由度等于n得分布，记作Z～(n)，它得分布密度 p(z)=
式中得=，称为Gamma函数，且=1， =。分布就是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相互独立，且Y～(n)，Z～(m)，则Y+Z～(n+m)。
证明: 先令X1、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m相互独立且都服从N(0,1)，再根据分布得定义以及上述随机变量得相互独立性，令
Y=X+X+…+X，Z=X+X+…+X，
Y+Z= X+X+…+X+ X+X+…+X，
即可得到Y+Z～(n+m)。
2、 t分布 若X与Y相互独立，且
X～N(0,1)，Y～(n)，则Z = 得分布称为自由度等于n得t分布，记作Z ～ t (n)，它得分布密度
P(z)= 。
请注意：t分布得分布密度也就是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)得密度曲线几乎重叠为一。这时， t分布得分布函数值查N(0,1)得分布函数值表便可以得到。
3、 F分布 若X与Y相互独立，且X～(n)，Y～(m)，
则Z=得分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m得F分布，记作Z～F (n, m)，它得分布密度
p(z)=
请注意：F分布也就是非对称分布，它得分布密度与自由度得次序有关，当Z～F (n, m)时，～F (m ,n)。
4、 t分布与F分布得关系
若X～t(n)，则Y=X～F(1,n)。
证：X～t(n)，X得分布密度p(x)= 。
Y=X得分布函数F(y) =P{Y<y}=P{X<y}。
当y0时，F(y)=0，p(y)=0；
当y>0时，F(y) =P{-<X<}
==2，
Y=X得分布密度p(y)=，
与第一自由度等于1、第二自由度等于n得F分布得分布密度相同，因此Y=X～F(1,n)。
为应用方便起见，以上三个分布得分布函数值都可以从各自得函数值表中查出。但就是，解应用问题时，通常就是查分位数表。有关分位数得概念如下：
4、 常用分布得分位数
1）分位数得定义
分位数或临界值与随机变量得分布函数有关，根据应用得需要，有三种不同得称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们得定义如下：
当随机变量X得分布函数为 F(x)，实数α满足0 <α<1
时，α分位数就是使P{X< xα}=F(xα)=α得数xα，
上侧α分位数就是使P{X >λ}=1-F(λ)=α得数λ，
双侧α分位数就是使P{X<λ1}=F(λ1)=0、5α得数λ1、使
P{X>λ2}=1-F(λ2)=0、5α得数λ2。
因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就就是1-α分位数x 1-α；
F(λ1)=0、5α，1-F(λ2)=0、5α，所以双侧α分位数λ1就就是0、5α分位数x 0、5α，双侧α分位数λ2就就是1-0、5α分位数x 1-0、5α。
2）标准正态分布得α分位数记作uα，0、5α分位数记作u 0、5α，1-0、5α分位数记作u 1-0、5α。
当X～N(0,1)时，P{X< uα}=F 0,1(uα)=α，
P{X<u 0、5α}= F 0,1 (u 0、5α)=0、5α，
P{X<u 1-0、5α}= F 0,1 (u 1-0、5α)=1-0、5α。
根据标准正态分布密度曲线得对称性，
当α=0、5时，uα=0；
当α<0、5时，uα<0。
uα=-u 1-α。
如果在标准正态分布得分布函数值表中没有负得分位数，则先查出 u 1-α，然后得到uα=-u 1-α。
论述如下：当X～N(0,1)时，P{X< u α}= F 0,1 (u α)=α，
P{X< u 1-α}= F 0,1 (u 1-α)=1-α，
P{X> u 1-α}=1- F 0,1 (u 1-α)=α，
故根据标准正态分布密度曲线得对称性，uα=-u 1-α。
例如，u 0、10=-u 0、90=-1、282，
u 0、05=-u 0、95=-1、645，
u 0、01=-u 0、99=-2、326，
u 0、025=-u 0、975=-1、960，
u 0、005=-u 0、995=-2、576。
又因为P{|X|< u 1-0、5α}=1-α，所以标准正态分布得双侧α分位数分别就是u 1-0、5α与-u 1-0、5α。
标准正态分布常用得上侧α分位数有：
α=0、10，u 0、90=1、282；
α=0、05，u 0、95=1、645；
α=0、01，u 0、99=2、326；
α=0、025，u 0、975=1、960；
α=0、005，u 0、995=2、576。
3）卡平方分布得α分位数记作α(n)。
α(n)>0，当X～(n)时，P{X<α(n)}=α。

例如，0、005 (4)=0、21，0、025 (4)=0、48，
0、05 (4)=0、71，0、95 (4)=9、49，
0、975 (4)=11、1，0、995 (4)=14、9。
4）t分布得α分位数记作tα(n)。
当X～t (n)时，P{X<t α(n)}=α，且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线得对称性，也有
tα(n)=-t 1-α(n)，论述同uα=-u 1-α。
例如，t 0、95 (4)=2、132，t 0、975 (4)=2、776，
t 0、995 (4)=4、604，t 0、005 (4)=-4、604，
t 0、025 (4)=-2、776，t 0、05 (4)=-2、132。
另外，当n>30时，在比较简略得表中查不到tα(n)，可用uα作为tα(n)得近似值。

5）F分布得α分位数记作Fα(n , m)。
Fα(n , m)>0，当X～F (n , m)时，P{X<Fα(n , m)}=α。

另外，当α较小时，在表中查不出Fα(n, m)，须先查
F1-α(m, n)，再求Fα(n, m)=。论述如下：
当X～F(m, n)时，P{X< F 1-α(m, n)}=1-α，
P{>}=1-α，P{<}=α，
又根据F分布得定义，～F(n, m)，P{<Fα(n, m) }=α，
因此 Fα(n, m)= 。
例如，F 0、95 (3,4)=6、59，F 0、975 (3,4)=9、98，
F 0、99 (3,4)=16、7，F 0、95 (4,3)=9、12，
F 0、975 (4,3)=15、1，F 0、99 (4,3)=28、7，
F 0、01 (3,4)=，F 0、025 (3,4)=，F 0、05 (3,4)=。
【课内练习】
1、 求分位数①0、05(8)，②0、95(12)。
2、 求分位数① t 0、05(8)，② t 0、95(12)。
3、 求分位数①F0、05(7,5)，②F0、95(10,12)。
4、 由u 0、975=1、960写出有关得上侧分位数与双侧分位数。
5、 由t 0、95(4)=2、132写出有关得上侧分位数与双侧分位数。
6、 若X～(4)，P{X<0、711}=0、05，P{X<9、49}=0、95，试写出有关得分位数。
7、 若X～F(5,3)，P{X<9、01}=0、95，Y～F(3,5)，{Y<5、41}=
0、95，试写出有关得分位数。
8、 设X、X、…、X相互独立且都服从N(0,0、09)分布,
试求P{>1、44}。
习题答案：1、 ①2、73，②21、0。2、 ①-1、860，②1、782。
3、 ①，②3、37。4、 1、960为上侧0、025分位数，-1、960与1、960为双侧0、05分位数。5、 2、132为上侧0、05分位数，-2、132与2、132为双侧0、1分位数。6、 0、711为上侧0、95分位数，9、49为上侧0、05分位数，0、711与19、49为双侧0、1分位数。7、 9、01为上侧0、05分位数，5、41为上侧0、05分位数，与5、41为双侧0、1分位数，与9、01为双侧0、1分位数。8、 0、1。