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专训1-一元二次方程与三角形的综合的四种类型

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专训1　一元二次方程与三角形的综合的四种类型
名师点金：一元二次方程是初中数学重点内容之一，常常与其他知识结合，其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种，主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用、一元二次方程的解法及一元二次方程与等腰三角形、直角三角形的性质等知识的综合运用．
一元二次方程与三角形三边关系的综合
1．三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为(　　)
A．3　　　B．4　　　C．3或4　　　D．无法确定

2．根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．
一个三角形两边长分别为3 cm和7 cm，第三边长为a cm(a为整数)，且a满足a2－10a＋21＝0，求三角形的周长．
解：由已知可得4<a<10，则a可取5，6，7，8，9.(第一步)
当a＝5时，代入a2－10a＋21，得52－10×5＋21≠0，故a＝5不是方程的根．
同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，a＝7是方程的根．(第二步)
∴三角形的周长是3＋7＋7＝17(cm)．
上述过程中，第一步是根据________________________________________________________________________
________________________________________________________________________，
第二步应用的数学思想是__________，确定a值的大小是根据______________．

一元二次方程与直角三角形的综合
3．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2－14x＋48＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为________．
[来源:学科网ZXXK]
4．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2ax＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．

[来源:学.科.网]

一元二次方程与等腰三角形的综合[来源:学科网]
5．已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0.
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

一元二次方程与动态几何综合
6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．
(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4 cm2?
(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5 cm?
(3)在(1)中，△PBQ的面积能否为7 cm2？并说明理由．
(第6题)

答案
1．C
2．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；分类讨论思想；方程根的定义
3．10
4．解：△ABC是直角三角形．理由如下：
原方程可化为(b＋c)x2－2ax＋cm－bm＝0，
Δ＝4ma2－4m(c－b)(c＋b)＝4m(a2＋b2－c2)．
∵m>0，且原方程有两个相等的实数根，
∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形．
5．(1)证明：∵Δ＝(k＋2)2－8k＝k2＋4k＋4－8k＝k2－4k＋4＝(k－2)2≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根．
(2)解：解方程x2－(k＋2)x＋2k＝0，得x1＝k，x2＝2.
∵△ABC为等腰三角形，
∴当a＝k＝1时，另一边长为2，此时，不能构成三角形；
当a＝1，k＝2时，△ABC的周长为5.
6．解：设P，Q运动的时间为x s，则由题意知AP＝x cm，BP＝(5－x) cm，BQ＝2x cm，CQ＝(7－2x) cm.
(1)S△PBQ＝·PB·BQ＝×(5－x)×2x＝4.
解得x1＝1，x2＝4.
当x＝1时，5－1＞0，7－2×1＞0，满足题意；
当x＝4时，5－4＞0，7－2×4＜0，不满足题意，舍去．
故1 s后，△PBQ的面积为4 cm2.[来源:学+科+网]
(2)由题意知PQ2＝PB2＋BQ2＝(5－x)2＋(2x)2，[来源:Z*xx*k.Com]
若PQ＝5 cm，则(5－x)2＋(2x)2＝25.
解得x1＝0(舍去)，x2＝2.
故2 s后，PQ的长度为5 cm.
(3)不能．理由如下：仿照(1)，得
(5－x)·2x＝7，
整理，得x2－5x＋7＝0.
∵Δ＝b2－4ac＝25－4×1×7＝－3＜0，∴此方程无实数解．
∴△PBQ的面积不能为7 cm2.

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