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七年级一元一次不等式组提升

课题
一元一次不等式提升
课时
3
日期
5-22
教学目标
知识目标
在现实情境中认识数量间的不等关系，理解不等式的意义，并会用不等式表示不等关系；
能力目标
使学生正确理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法
情感目标
进一步感受现实世界中有关数量关系的数学模型
教学重点
掌握不等式的两条基本性质，并能熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形。
教学难点
熟练掌握较为简单的一元一次不等式的解法，并能正确地将不等式的解集表示在数轴上
教具

教学过程
一.知识梳理
思维导图

(二).知识点回顾
1．不等式
用不等号连接起来的式子叫做不等式．
常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”．
2．不等式的解与解集
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．
不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。
说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．
3．不等式的基本性质（重点）
(1)基本性质1：若a<b,b<c,则 ，这个性质也叫做不等式的 。
(2)基本性质2：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果，那么
(3)①不等式的两边都乘以(或除以)同一个 ，不等号的方向不变．如果，那么（或）
②不等式的两边都乘以(或除以)同一个 ，不等号的方向改变．如果那么（或）
说明：
1、常见不等式所表示的基本语言与含义还有：
①若a－b＞0，则a大于b ；
②若a－b＜0，则a小于b ；
③若a－b≥0，则a不小于b ；
④若a－b≤0，则a不大于b ；
⑤若ab＞0或，则a、b同号；
⑥若ab＜0或，则a、b异号。
2、任意两个实数a、b的大小关系：①a-b>Oa>b；②a-b=Oa=b；③a-b<Oa<b．
3、不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c。
4．一元一次不等式（重点）
只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．
注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)．
5．解一元一次不等式的一般步骤（重难点）
说明：解一元一次不等式与解一元一次方程步骤类似，不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．
解一元一次不等式的一般步骤和根据如下：
注意事项
步骤
根据
1
去分母
不等式的基本性质3
2
去括号
单项式乘多项式法则
3
移项
不等式的基本性质2
4
合并同类项，得或
合并同类项法则
5
化系数为1,两边同除以(或乘以)
不等式的基本性质3

6．一元一次不等式组
含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．
说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：
①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；
②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．
7．一元一次不等式组的解集
一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．
8. 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设）（重难点）
不等式组
图示
解集

（同大取大）

（同小取小）

（大小交叉取中间）

无解（大小分离解为空）
9．解一元一次不等式组的步骤
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；
(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．

二、常见题型归纳和经典例题讲解
1.常见题型分类
定义类
1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A. B. C. D.
2.若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为 。
用不等式表示
1. 的4倍与1的差不大于2与的和的一半，得 。
2. 在数轴上与原点的距离小于8的点对应的数满足 。
变式：不等式|x|<的整数解是________.不等式|x|<1的解集是________.
数轴题
1.a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空：
a__________b; |a|__________|b|; a+b__________0
a－b__________0; a+b__________a－b; ab__________a.

2.已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A、ab＞0 B、 C、a－b＞0 D、a＋b＞0
借助数轴解不等式(组):
1.解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

2.解下列不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

此类试题易错知识辨析
（1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.
如不等式（或）（）的形式的解集：
[分类讨论思想]
①当时，（或）
②当时，（或）
3.已知ax＜2a(a≠0)是关于x的不等式，那么它的解集是( )
A.x＜2 B.x＞－2 C.当a＞0时，x＜2 D.当a＞0时，x＜2;当a＜0时，x＞2
4. 若不等式(a＋1)x＞a＋1的解集是x＜1，则a必满足( )．
(A)a＜0 (B)a＞－1 (C)a＜－1 (D)a＜1
变式： 若m＞5，试用m表示出不等式(5－m)x＞1－m的解集______．
限制条件的解
1.不等式3(x－2)≤x+4的非负整数解有几个.（ ）
A.4 B.5 C.6 D.无数个
2.不等式4x－的最大的整数解为（ ）
A.1 B.0 C.－1 D.不存在
3.当x________时，代数式的值是非负数.
不等式的性质及应用
1.若x＋y＞x－y，y－x＞y，那么（1）x＋y＞0，（2）y－x＜0，（3）xy≤0,（4）＜0中，正确结论的序号为________。
2.下列不等式变形正确的是（ ）
(A)由＞，得＜
(B)由＞，得＜
(C)由＞，得
(D)由＞，得
已知解集求范围

1.关于x的方程5－a(1－x)＝8x－(3－a)x的解是负数，则a的取值范围是( )
A、a＜－4 B、a＞5 C、a＞－5 D、a＜－5
变式：若关于x的方程3x+2m=2的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

2.已知不等式－1＞x与ax－6＞5x同解，试求a的值.

变式1：不等式a(x－1)>x+1－2a的解集是x<－1,请确定a是怎样的值.

变式2：已知－4是不等式ax＞9的解集中的一个值，试求a的取值范围.

3.如果关于x的不等式－k－x＋6＞0的正整数解为1，2，3，正整数k应取怎样的值？

4．已知关于x，y的方程组的解满足x＞y，求p的取值范围．

变式：已知关于 x，y 的方程组的解满足，求p的取值范围．

含字母不等式
1.已知关于的不等式2＜的解集为＜，则的取值范围是（ ）．
A．＞0 B.＞1 C.＜0 D.＜1
2.若关于的不等式的整数解共有4个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.关于x的方程的解为正实数，则k的取值范围是 ．
4.若不等式组有解，则k的取值范围是( )．
(A)k＜2 (B)k≥2 (C)k＜1 (D)1≤k＜2
5.等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是( )．
(A)m≤2 (B)m≥2 (C)m≤1 (D)m≥1

6.已知(x－2)2＋｜2x－3y－a｜＝0，y是正数，则a的取值范围是______．

7.k满足______时，方程组中的x大于1，y小于1．
8. 若m、n为有理数，解关于x的不等式(－m2－1)x＞n．

9.已知方程组的解满足x＋y＜0，求m的取值范围．

强化练习题

1.当时，求关于x的不等式的解集．

2.当k取何值时，方程组的解x，y都是负数．

3.已知中的x，y满足0＜y－x＜1，求k的取值范围．

4.已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x＞2，求a的值．

5.关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值范围．

6.k取哪些整数时，关于x的方程5x＋4＝16k－x的根大于2且小于10?

7.已知关于x，y的方程组的解为正数，求m的取值范围．

8.若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．

9.如果不等式组的解集是，那么的值为 ．
10.如果一元一次不等式组的解集为．则的取值范围是(　)
A． B． C． D．
11.若不等式组有解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

一元一次不等式(组)的应用
用一元一次不等式组解决实际问题的步骤：
⑴审题，找出不等关系；
⑵设未知数；
⑶列出不等式；
⑷求出不等式的解集；
⑸找出符合题意的值；
⑹作答。
一、分配问题：
1.把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。问猴子有多少只，花生有多少颗？

2.某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间 8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。

3.一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。
1、 如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组：
2、 可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？

二、速度、时间问题
1 爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？

2.王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？

三、工程问题
1 .一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？

2.某同学要在4小时内，从甲地赶到相距15公里的乙地，他从甲地出发后，以每小时3公里的速度走了1小时，以后至少平均每小时要走多少公里，才能按计划到达乙地？

四、价格问题
1.商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。
(1)试求该商品的进价和第一次的售价；
(2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？

2.某中学需要刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自刻，出租用刻录机需120元外，每张光盘还需成本4元（包括空白光盘费）。问刻录这批电脑光盘，该校如何选择，才能使费用较少？

3.某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000 元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

五、其他问题
1.有一个两位数，其十位上的数比个位上的数小2，已知这个两位数大于20且小于40，求这个两位数.

2.一次知识竞赛共有15道题。竞赛规则是：答对1题记8分，答错1题扣4分，不答记0分。结果神箭队有2道题没答，飞艇队答了所有的题，两队的成绩都超过了90分，两队分别至少答对了几道题？

六、方案选择与设计
1．某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
原料
维生素C及价格
甲种原料
乙种原料
维生素C/（单位/千克）
600
100
原料价格/（元/千克）
8
4
现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，
（1）设需用千克甲种原料，写出应满足的不等式组。
（2）按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？

2.某校办厂生产了一批新产品，现有两种销售方案，方案一：在这学期开学时售出该批产品，可获利30000元，然后将该批产品的投入资金和已获利30000元进行再投资，到这学期结束时再投资又可获利4.8％;方案二:在这学期结结束时售出该批产品,可获利35940元,但要付投入资金的0.2％作保管费，问：
（1）当该批产品投入资金是多少元时，方案一和方案二的获利是一样的？
（2）按所需投入资金的多少讨论方案一和方案二哪个获利多。

3.某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需要，也为了吸引更多的游客，该
园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买年票”的方法。年票分为A、B、C三种：A年票每张120元，持票进入不用再买门票；B类每张60元，持票进入园林需要再买门票，每张2元，C类年票每张40元，持票进入园林时，购买每张3元的门票。
（1） 如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。
（2） 求一年中进入该园林至少多少时，购买A类年票才比较合算。

学生 教师
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