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实验五 抽样分布于区间估计之用EXCEL进行假设检验
一、实验目的及要求
熟练使用Excel进行参数的假设检验
二、实验内容
本章介绍的假设检验包括一个正态总体的参数检验和两个正态总体的参数检验。对于一个正态总体参数的检验,可利用函数工具和自己输入公式的方法计算统计量,并进行检验。
1)一个正态总体的参数检验
Œ一个正态总体均值的假设检验：方差 已知
【例1】 假设某批矿砂10个样品中的镍含量，经测定为3.28，3.27，3.25，3.25，3.27，3.24，3.26，3.24，3.24，3.25（单位：％）。设总体服从正态分布，且方差为 ，
问：在 下能否认为这批矿砂的平均镍含量为3.25。
解 根据题意，提出检验的原假设和备择假设是
： ； ：
这是一个双侧检验问题，具体步骤如下：
步骤一：输入数据。
打开Excel工作簿，将样本观测值输入到A1：A10单元格中。
步骤二：假设检验。
1. 在B2中输入“=AVERAGE(A1：A10)”，回车后得到样本平均值3.255；
2. 在B3中输入总体标准差0.01；
3. 在B4中输入样本容量10；
4. 在B5中输入显著性水平0.01；
5. 在B6中输入“ ”，即输入“ ”，回车后得标准正态分布的 的双侧分位数 ；
6.在B7中输入检验统计量的计算公式：“ ”，回车后得 统计量的值： 。
步骤三：结果分析。
由于 ，未落入否定域内，所以接受原假设 ，即这批矿砂的平均镍含量为3.25 %。
一个正态总体均值的假设检验：方差 未知
【例2】 某一引擎生产商声称其生产的引擎的平均速度每小时高于 公里。现将生产的20台引擎装入汽车内进行速度测试，得到行驶速度（单位：公里/小时）如下：

250
236
245
261
256
258
242
262
249
251
254
250
247
245
256
256
258
254
262
263
试问：样本数据在显著性水平为0.025时是否支持引擎生产商的说法。
解 根据题意，提出检验的原假设和备择假设是
： ； ：
这是一个右侧检验问题，具体步骤如下：
步骤一：输入数据。
打开Excel工作簿，将样本观测值输入到B3：F6单元格中，如下图所示：

步骤二：假设检验。
1. 计算样本平均速度，在单元格D8中输入公式：“ ”，回车后得到样本平均速度为252.75；
2. 计算样本标准差，在单元格D9中输入公式：“ ”，回车后得到样本标准差为7.31167；
3. 在单元格D10中输入样本容量20；
4. 在单元格D11中输入检验统计量的计算公式：“ ”，回车后得 统计量的值： 。
5. 在单元格D12中输入公式：“=TINV（2*0.025，D10-1）”，回车后得到自由度为 的 分布的 双侧分位数 。
步骤三：结果分析。
原假设 ： 的否定域为 ，由于 ，没有落在否定域内，故接受原假设 ，样本数据并不支持该制造商的说法。
Ž一个正态总体方差的假设检验：均值 未知
【例3】假设原材料抗拉强度的方差不超过5时为合格品。现取出25件原材料组成随机样本，测得样本方差为7，试问该批原材料是否合格。假设原材料的抗拉强度近似服从正态分布 。
解 根据题意，提出检验的原假设和备择假设是
： ； ：
这是一个右侧检验问题，具体步骤如下：
1. 打开Excel工作簿。
2. 在B3中输入总体方差5。
3. 在B4中输入样本方差7。
4. 在B5中输入样本容量25。
5. 在B6中输入显著性水平0.05。
6.在B7中输入公式：“ ”，即输入“ ”，回车后得自由度为 的 分布的 的上侧分位数 。
7.在单元格B8中输入检验统计量的计算公式：“ ”，回车后得 统计量的值： 。
由于 ，所以不否定 ，认为该批原材料合格。
2）两个正态总体的假设检验
Œ两个正态总体均值相等的假设检验： 已知
【例4】 装配一个部件可以采用不同的方法，我们关心的问题是哪一种方法的效率更高。劳动效率可以用平均装配时间反映。现从采用不同的方法装配的部件中各随机抽取12件产品，记录各自的装配时间（单位：分钟）如下：
甲方法：31 34 29 32 35 38 34 30 29 32 31 26
乙方法：26 24 28 29 30 29 32 26 31 29 32 28
假设两总体为正态总体，且方差相同。问两种方法的装配时间有无显著不同 。
解 根据题意，提出检验的原假设和备择假设是
： ； ：
这是一个双侧检验问题，具体步骤如下：
步骤一：输入数据。
打开Excel工作簿，将样本观测值输入到A2：B13单元格中。
步骤二：假设检验。
1. 选择“工具”下拉菜单。
2. 选择“数据分析”选项。
3. 在分析工具中选择“t检验：平均值的成对二样本分析”。
4. 当出现对话框后，
⑴ 在“变量1的区域”方框内键入A2：A13；
⑵ 在“变量2的区域”方框内键入B2：B13；
⑶ 在“假设平均差”方框内键入0；
⑷ 在“ ”方框内键入0.05；
⑸ 在“输出选项”中选择“输出区域” ，并在“输出区域”方框内键入C1；
⑹ 选择“确定”。
输出结果如下：

由于 ，拒绝 ，表明两种方法的装配时间有显著不同。
两个正态总体方差相等的假设检验： 未知
【例5】 检验例4中两个总体的方差是否相等。
解 根据题意，提出检验的原假设和备择假设是
： ； ：
这是一个双侧检验问题，具体步骤如下：
步骤一：输入数据。
打开Excel工作簿，将样本观测值输入到A2：B13单元格中。
步骤二：假设检验。
1. 选择“工具”下拉菜单。
2. 选择“数据分析”选项。
3. 在分析工具中选择“F检验：双样本方差”。
4. 当出现对话框后，
⑴ 在“变量1的区域”方框内键入A2：A13；
⑵ 在“变量2的区域”方框内键入B2：B13；
⑶ 在“ ”方框内键入0.05；
⑷ 在“输出选项”中选择“输出区域” ，并在“输出区域”方框内键入C1；
⑸ 选择“确定”。
输出结果如下：

由于 ，故不能否定原假设 ，表明两种方法装配时间的方差没有显著差异。
【思考题1】某城镇去年居民家庭平均每人每月生活费收入275元。根据抽样调查，今年该城镇50户居民家庭平均每人每月生活费收入如下：
367
322
294
273
237
398
327
298
276
246
311
355
240
275
296
324
382
229
264
288
235
271
291
319
360
226
262
286
309
352
337
222
260
284
304
343
217
259
283
303
200
253
281
301
329
212
257
281
303
332
试问该城镇居民家庭平均每人每月生活费收入今年与去年比较是否明显提高（α=0.05）？
【思考题2】为了评价两个学校的教学质量,分别在两个学校抽取样本 。在A学校抽取30名学生,在B学校抽取40名学生,对两个学校的学生同时进行一次英语标准化考试,成绩如下表所示 。假设学校A考试成绩的方差为64,学校B考试成绩的方差为100。检验两个学校的教学质量是否有显著差异。

学校A
学校B
70       97   85   87   64   73
86       90   82   83   92   74
72   94   76   89   73   88
91   79   84   76   87   88
85   78   83   84   91   74
76   91   57   62   89   82   93   64
80   78   99   59   79   82   70   85
83   87   78   84   84   70   79   72
91   93   75   85   65   74   79   64
84   66   66   85   78   83   75   74

利用Excel进行矩阵求逆
在测量平差过程中，有大多数精力用在矩阵的运算上，只要解决了矩阵求逆的计算，测量平差也并不是很复杂的过程，现在我们就介绍利用大家经常使用的办公软件Excel进行矩阵的求逆计算，
　　1、输入待求逆矩阵：

　　2、在空白区选择一存放逆矩阵的区域，与待求逆矩阵大小相同：

3、保持该区域为选中状态，在公式输入栏输入公式“Minverse(a1:c3)”，并按“Ctrl+Shift+Enter”，特别注意，不能直接回车键，必须在按住“Ctrl”“Shift”后再按回车键：

4、逆矩阵为：

求逆矩阵的方法与矩阵的秩

一、矩阵的初等行变换
（由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A的行列式值和它的伴随矩阵.当A的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.）
定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：
(1) 将矩阵中某两行对换位置；
(2) 将某一行遍乘一个非零常数k；
(3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行.
并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换.
矩阵A经过初等行变换后变为B，用
AB
i
j
表示，并称矩阵B与A是等价的.
i
j
i
（下面我们把）第行和第j行的对换变换，简记为“ ， ”；把第行遍乘k倍的倍乘变换，简记为“ k”；第j行的k倍加至第行上的倍加变换，简记为“ + k”.
①，②
例如，矩阵 A =
③k

②+①k

（关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材）

二、运用初等行变换求逆矩阵
由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n阶可逆矩阵A，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I上，就可以把I化成.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个n2n矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵I，与此同时，右半部分的I就被化成了.即
( A , I )( I , )

例1 设矩阵 A =
求逆矩阵 .
解 因为
②+①(-1)
③+①(-2)
[A , I ] =
①+③(-1)
②+③(-1)

①+②
②(1/2)
③+②

所以 =

所求逆矩阵是否正确，可以通过计算乘积矩阵A进行验证.如果A=I成立，则正确，否则不正确.
对给定的n阶矩阵A，用上述方法也可以判断A是否可逆.即在对矩阵[ A , I ] 进行初等行变换的过程中，如果[ A , I ]中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A是奇异的，即，可以判定A不可逆；如果[ A , I ]中的左边的方阵被化成了单位阵I，说明A是非奇异的，可以判定A是可逆的，而且这个单位矩阵I右边的方阵就是A的逆矩阵，它是由单位矩阵I经过同样的初等行变换得到的.

例2 设矩阵 A = ，问A是否可逆？
解 因为
[ A , I ] =

[ A , I ]中的左边的矩阵A经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A是奇异的，A不可逆.

（下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程.）
例3 解矩阵方程AX = B，其中 A =，B =
解 [思路] 如果矩阵A可逆，则在矩阵方程AX = B等号的两边同时左乘，可得
AX = B， X = B
因此，先用初等行变换法判别A是否可逆，若可逆，则求出，然后计算B，求出X .
因为 [ A , I ] =

所以 A可逆，且 =
X = B = =

三、矩阵的秩
前面给出了利用矩阵行列式判别方阵A是否可逆的方法，除了这种方法外，还可以利用矩阵A的特征之一——矩阵的秩来判别方阵A的可逆性.
矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用.
在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式.

定义2.15 在矩阵A中，位于任意选定的k行、k列交叉点上的个元素，按原来次序组成的k阶子阵的行列式，称为A的一个k阶子式.如果子式的值不为零.就称为非零子式.

例4 设矩阵 A=
取其第一、二行与第二、四列交叉点上的4个元素按原次序组成行列式

称为A的一个二阶子式，而且是它的非零子式.

定义2.16 矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作或秩(A ) .
规定：零矩阵O的秩为零，即= 0.

例4中的矩阵已经有一个二阶非零子式，通过计算可知，矩阵A的所有三阶子式均为零，（该矩阵没有四阶子式），所以 = 2 .

例5 设A为n阶非奇异矩阵，求.
解 由于A为非奇异矩阵，即A对应的行列式，所以A有n阶非零子式，故 = n .

例5的逆命题亦成立，即对一个n阶方阵A，若= n，则A必为非奇异的.
因此n阶方阵A为非奇异的等价于= n.
称= n的n阶方阵为满秩矩阵.

用定义求矩阵的秩，需要计算它的子式，计算量常常是较大的.利用教材中的定理2.10计算矩阵的秩是比较方便的.

定理2.10 设A为矩阵，则= k的充分必要条件为：通过初等行变换能将A化为具有k个非零行的阶梯阵.

例如，阶梯阵
A =， B =
因为A的非零行有二行，而B 的非零行有三行，所以A的秩等于2，B 的秩等于3，即= 2，= 3.
那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后，它的秩是否会发生变化呢？不会的.教材中的定理2.9已经说明这一点.

定理2.9 矩阵经过初等行变换后，其秩不变. （证明见教材）

定理2.10给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A化成阶梯阵，然后算出矩阵A的秩.

例6 设矩阵
A =， B =
求，，.
解 因为 A =
所以 = 2
因为 B =

所以 = 3
因为 AB = =
AB =
所以 = 2

由例6可知，乘积矩阵AB的秩不大于两个相乘的矩阵A , B的秩，即
.

例7 设矩阵 A =
求和.
解 因为 A =

所以 =3
同理可得 =3

由例7可知，矩阵A与它的转置矩阵的秩相等. 可以证明例6，例7的结论具有一般性.

定理2.11 设A为mn矩阵，则
(1) ；
(2) =

用矩阵的初等变换求逆矩阵
一、 问题提出
在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃）
二、 求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”）
我们已学习了矩阵初等变换的性质，如
1.定理2.4 对mxn矩阵A，施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。
2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。
3.定理2.5的推论 A可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。即

4.推论 A可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。

（1）
由矩阵初等变换的这些性质可知，若A可逆，构造分块矩阵(A︱E，其中E为与A同阶的单位矩阵，那么

（2）
由（1）式 代入（2）式左边，

上式说明分块矩阵(A︱E经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵E，原来E的位置变换为我们所要求的,即

三，讲解例题
1. 求逆矩阵方法的应用之一
例

解：

四，知识拓展
2．求逆矩阵方法的应用之二
利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A︱E经过初等行变换，原来A的位置不能变换为单位阵E，那么A不可逆。

例
解：

而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A不可逆。
3．求逆矩阵方法的应用之三
利用矩阵初等行变换解矩阵方程 （“润物细无声”）
对一般的矩阵方程 求解，我们可以先求 ，然后求X＝B。
现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。
其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求就是求解矩阵方程 的解，而对一般的矩阵方程 只要将 中的E换成B，然后利用初等行变换，即

其中的B即为所求矩阵方程 的X。

例
解：

实验五：肉桂酸的制备

一、实验目的
1．通过肉桂酸的制备学习并掌握Perkin反应及其基本操作。
2．掌握水蒸气蒸馏的原理、用处和操作。
3．学习并掌握固体有机化合物的提纯方法：脱色、重结晶。
二、实验原理
主反应：
副反应：

三、主要试剂及产品的物理常数：（文献值）
名称
分子量
性状
折光率n20D
相对密度d204
熔点
°C
沸点
°C
溶解度
g/100ml
用量
理论产量
水
醇
醚
苯甲醛

——

----
乙酸酐

——

----
反式肉桂酸

——

——

——

乙酸钾

——
——

——

----

四、实验装置图

图2.水蒸气蒸馏装置

五、操作流程和实验记录

时间 实验记录
100ml两口瓶投料
苯甲醛=？乙酸酐=？
乙酸钾=？
回流的温度和时间？
反映体系的颜色状态
有何变化？
调节pH值时的现象？
pH值＝？
水蒸气蒸馏的终点判定？
活性炭＝？
滤液的颜色？
酸化的现象？
产品颜色状态？
滤纸重=？
总重=？
初熔温度=？
终熔温度=？

六、数据处理
理论产量＝？
实际产量=？
产率=？
熔程=？

七、思考题：
1、具有何种结构的酯能进行Perkin反应？
2、水蒸气蒸馏前若用氢氧化钠溶液代替碳酸钠碱化时有什么不好？
3、用水蒸气蒸馏除去什么？能不能不用水蒸气蒸馏？