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直线与圆的方程的应用
整体设计
教学分析
直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的根本思想及其解题过程.
三维目标
(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质；
(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译〞成几何结论.
(3)会用“数形结合〞的数学思想解决问题.让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与解决问题的能力.
重点难点
教学重点：求圆的应用性问题.
教学难点:直线与圆的方程的应用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.如图1,某城市中的高空观览车的高度是100 m,
图1
在离观览车约150 m处有一建筑物,某人在离建筑物100 m的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.
思路2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解决 带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用.
推进新课
新知探究
提出问题
①你能说出直线与圆的位置关系吗
②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法
③阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题
④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗
⑤你能利用“坐标法〞解决例5吗
活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生答复,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.①学生回忆学习的直线与圆的位置关系的种类；②解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；③首先考虑问题的实际意义,如果此题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单；④回忆圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；⑤利用“坐标法〞解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论.
讨论结果：①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.
②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.
③阅读并思考教科书上的例4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较.
④你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于D、E、F的三个独立的条件也可.
⑤建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.
应用例如
思路1
例1 讲解课本4.2节例4,解法一见课本.
图2
解法二：如图2,过P2作P2H⊥OP.由,|OP|=4,|OA|=10.
在Rt△AOC中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2设拱圆所在的圆的半径为r,那么有r2=(r-4)2+102.
解得r=14.5.
在Rt△CP2H中,有|CP2|2=|CH|2+|P2H|2.
因为|P2H|=|OA2|=2,于是有|CH|2=r2-|OA2|2=14.52-4=206.25.
又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=-10.5≈14.36-10.5=3.86.
所以支柱A2P2的长度约为3.86 cm.
点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译〞成几何结论.
把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择.
变式训练
圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
图3
解:如图3,以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、DB所在直线分别为x轴、y轴,建立适当的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).
过四边形ABCD的外接圆的圆心O1分别作AC、BD、AD的垂线,垂足分别为M、N、E,
那么M、N、E分别为线段AC、BD、AD的中点,由线段的中点坐标公式,得=xm=,=yn=,xE=,yE=.
所以|O1E|=.
又|BC|=,所以|O1E|=|BC|.
点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论.
例2 有一种大型商品,A、B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,A、B两地相距10 km,居民选择A或B地购置这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.
活动：学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距A地近,且费用低,列方程或不等式.
解:以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系,那么A(－5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购置商品的费用较低,并设A地的运费为3a元/km,那么B地运费为a元/km.由于P地居民购置商品的总费用满足条件：价格+A地运费≤价格+B地运费,
即3a≤a,整理得(x+)2+y2≤()2.
所以以点C(-,0)为圆心,为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从A地购货费用较低,圆外的居民从B地购货费用较低,圆上的居民从A、B两地购货的总费用相等,因此可以随意从A、B两地之一购货.

思路2
例1 求通过直线2x-y+3=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.
活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法.
解法一:利用过两曲线交点的曲线系,
设圆的方程为x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0,
配方得标准式(x+1+λ)2+(y-2-)2=(1+λ)2+(2+)2-3λ-1,
∵r2=λ2+λ+4=(λ+)2+,
∴当λ=-时,半径r=最小.
∴所求面积最小的圆的方程为5x2+5y2+6x-18y-1=0.
解法二:利用平面几何知识,
以直线与圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2)连线为直径的圆符合要求.
由消去y,得5x2+6x-2=0.
∴判别式Δ＞0,AB中点横坐标x0==-,纵坐标y0=2x0+3=,
即圆心O′(-,).
又半径r=|x1-x2|·=,
∴所求面积最小的圆的方程是(x+)2+(y-)2=.
点评:要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化,这里配方法十分重要,方法二用到求弦长的公式|AB|=|x1-x2|·;对于圆的弦长,还可以利用勾股定理求得,即|AB|=,其中r为圆半径,d为圆心到弦的距离.
变式训练
设圆满足①截y轴所得弦长为2,②被x轴分成两段弧,弧长之比为3∶1,在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.
图4
解:关键确定圆心坐标和半径.如图4.
设圆心A(a,b),那么半径r=|b|.
由截y轴的弦长为2,知a2+1=r2=2b2,
又圆心A到l的距离d=|a-2b|,
∴5d2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当a=b时等号成立.
这里由解得
∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.
例2 x,y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求(1)的最值;(2)x2+y2的最值;(3)x+y的最值;(4)x-y的最值.
活动：学生思考或交流,教师引导,数形结合,将代数式或方程赋予几何意义.
解:(x-2)2+(y-3)2=1表示以点C(2,3)为圆心,1为半径的圆.
(1)表示圆C上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k,
故当y=kx为圆C的切线时,k得最值.
∵=1,∴k=2±.
∴的最大值为2+,最小值为2-.
(2)设x2+y2表示圆C上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识,知当P为直线OC与圆C的两交点P1、P2时,OP12与OP22分别为OP2的最大值、最小值.
∴x2+y2的最大值为(+1)2=14+2,
最小值为(-1)2=14-2.
(3)令x+y=m,
当直线l:x+y=m与圆C相切时,l在y轴上截距m取得最值.
∵=1,∴m=5±.
∴x+y的最大值为5+,最小值为5-.
(4)令x-y=n,
当直线l′:x-y=n与圆C相切时,l′在y轴上截距的相反数n取得最值.
∵=1,∴n=-1±.
∴x-y的最大值为-1+,最小值为-1-.
点评:从“数〞中认识“形〞,从“形〞中认识“数〞,数形结合相互转化是数学思维的根本方法之一.“数学是一个有机的统一体,它的生命力的一个必要条件是所有的各个局部不可别离地结合.〞(希尔伯特)数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一,而且也是学习高等数学和现代数学的根本能力.此题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目.
例3 圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.
活动：学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,此题可利用平面几何的知识.
解法一:参数法(常规方法)
设过A的弦所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k存在时),P(x,y),那么消y,得(1+k2)x2+2k(2-k)x+k2-4k-5=0.
∴x1+x2=.
利用中点坐标公式及中点在直线上,得(k为参数).
∴消去k得P点的轨迹方程为x2+y2-x-2y=0,当k不存在时,中点P(1,0)的坐标也适合方程.
∴P的轨迹是以点(,1)为圆心,为半径的圆.
解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法)
设过点A的弦MN,M(x1,y1),N(x2,y2).
∵M、N在圆O上,∴.∴相减得(x1+x2)+·(y1+y2)=0(x1≠x2).
设P(x,y),那么x=,y=.
∴M、N、P、A四点共线, =(x≠1).
∴2x+·2y=0.
∴中点P的轨迹方程是x2+y2-x-2y=0(x=1时亦正确).
∴点P的轨迹是以点(,1)为圆心,为半径的圆.
解法三:数形结合(利用平面几何知识)
由垂径定理知OP⊥PA,故P点的轨迹是以AO为直径的圆.(下略)
点评:此题涉及求轨迹方程的三种间接方法.思路一,代表了解析几何的根本思路和根本方法,即消y(或x)得关于x(或y)的一元二次方程Ax2+Bx+C=0,再利用求根公式、判别式、韦达定理等得解.思路二,又叫平方差法,要求弦的中点的轨迹方程时,用此法比较简便.
根本思路是利用弦的两个端点M(x1,y1)、N(x2,y2)在曲线上,将点的坐标代入方程然后相减,利用平方差公式可得x1+x2、y1+y2、x1-x2、y1-y2等.再由弦MN的中点P(x,y)的坐标满足x=,y=,以及直线MN的斜率k=(x1≠x2)等,设法消去x1、x2、y1、y2,即可得弦MN的中点P的轨迹方程.用此法对斜率不存在的情况,要单独讨论.思路三,数形结合,利用平面几何知识等,有时能使求解过程变得非常简洁.
学好解析几何,要掌握特点,注意四个结合:
①数形结合:形不离数,数不离形,依形判断,就数论形;
②动静结合:动中有静,静中有动,几何条件——曲线方程——图形性质;
③特殊与一般结合:一般性寓于特殊性之中,特殊化与一般化是重要的数学思维方法;
④理论与实际结合:学以致用,创造开拓.
知能训练
课本本节练习1、2、3、4.
拓展提升
某种体育比赛的规那么是:进攻队员与防守队员均在平安线l的垂线AC上(C为垂足),且距C分别为2a和a(a＞0)的点A和B,进攻队员沿直线AD向平安线跑动,防守队员沿直线方向向前拦截,设AD和BM交于M,假设在M点,防守队员比进攻队员先到或同时到,那么进攻队员失败,进攻队员的速度是防守队员速度的两倍,且他们双方速度不变,问进攻队员的路线AD应为什么方向才能取胜
图5
解:如图5,以l为x轴,C为原点建立直角坐标系,设防守队员速度为v,那么进攻队员速度为2v,设点M坐标为(x,y),进攻队员与防守队员跑到点M所需时间分别为t1=,t2=.
假设t1＜t2,那么|AM|＜2|BM|,即.
整理,得x2+(y-a)2＞(a)2,这说明点M应在圆E:x2+(y-a)2=(a)2以外,进攻队员方能取胜.设AN为圆E的切线,N为切点,在Rt△AEN中,容易求出∠EAN=30°,所以进攻队员的路线AD与AC所成角大于30°即可.
课堂小结
1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译〞成几何结论.
2.对于直线和圆,熟记各种定义、根本公式、法那么固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.常用的有：(1)利用可再化简、对称、直交、平行等特点适当地选择坐标系；(2)善于根据图形的条件和论证的目标,恰当地使用曲线的方程；(3)掌握直线和圆的根本定义、根本概念、根本性质,有效运用它们来解题；(4)注意“平几〞知识在简洁、直观表达问题中的作用；(5)借助数形结合进行等价转化,减少思维量、运算量；(6)灵活使用曲线系方程,方便快捷地解题；(7)根据背景的特点,巧用字母的替换法那么；(8)充分运用韦达定理进行转化与化归；(9)留心引参消参、设而不求等在优化解题思路方面上的作用.
3.直线和圆在现实生活中有着十分广泛的应用,主要包括两大块：一是直线与圆的直接应用,它涉及到质量、重心、气象预报、购物选址、光的折射、直线型经验公式的选用等问题,这局部涉及的知识内容比较简单,要熟练掌握直线和圆的方程形式；可以使我们更好地了解近代数学的开展,从而有利于学生应用数学意识的培养.