江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十九等差.doc

word精品，双击可进行修改
课时跟踪检测（二十九） 等差数列
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2018·徐州、连云港、宿迁质检)已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则的值为________．
解析：设等差数列{an}的首项为a1，则由＝3，得＝3，所以d＝4a1，所以＝＝＝.
答案：
2．(2019·常州一中检测)在等差数列中，若a2＋a12＝4，则a2＋a7＋a12＝________.
解析：∵a2＋a12＝2a7＝4，∴a7＝2.
则a2＋a7＋a12＝3a7＝6.
答案：6
3．(2018·徐州期中)已知等差数列的前n项和为Sn，S11＝132，a6＋a9＝30，则a12的值为________．
解析：在等差数列中，设首项为a1，公差为d，
由S11＝132，a6＋a9＝30，
得解得a1＝d＝2.
∴a12＝a1＋11d＝24.
答案：24
4．(2018·苏州质量监测)已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1＜0，则正整数k＝________.
解析：3an＋1＝3an－2⇒an＋1＝an－⇒{an}是等差数列，则an＝－n.
因为ak＋1·ak＜0，
所以＜0，所以＜k＜，
又因为k∈N*，
所以k＝23.
答案：23
5．等差数列{an}中，已知a5＞0，a4＋a7＜0，则{an}的前n项和Sn的最大值为________．
解析：因为所以
所以Sn的最大值为S5.
答案：S5
6．(2018·无锡期末)在等差数列中，若an＞0，a4＝5，则＋的最小值为________．
解析：∵在等差数列中，an＞0，a4＝5，
∴a2＋a6＝2a4＝10，
∴＋＝(a2＋a6)＝≥＝，
当且仅当＝时取等号．故＋的最小值为.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·张家港期末)在古巴比伦泥板(公元前2000年～前1000年)有这样一个数学问题：10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分．已知每一个级差相等，还知道老八分得6个金币(每个人分得的金币可以是分数)．问：老三应该分得________个金币．
解析：∵10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分，每一个级差相等，老八分得6个金币，
∴可将其看作一个等差数列，
∴
解得a1＝，d＝－，
∴a3＝a1＋2d＝－＝14，
即老三应该分得14个金币．
答案：14
2．数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n(n∈N*)，若p－q＝5，则ap－aq＝________.
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝5，符合上式，
所以an＝4n＋1，ap－aq＝4(p－q)＝20.
答案：20

3．(2018·苏州期末)已知{an}是等差数列，a5＝15，a10＝－10，记数列{an}的第n项到第n＋5项的和为Tn，则|Tn|取得最小值时n的值为________．
解析：由a5＝15，a10＝－10得an＝－5n＋40，an＋5＝－5n＋15，Tn＝＝15(11－2n)，当11－2n＝±1时，即n＝5或6时，|Tn|取最小值15.
答案：5或6
4．(2019·泰州模拟)设等差数列的前n项和为Sn，且S4＝4，S12＝24，则S8＝________.
解析：由等差数列的性质可得，S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，
所以2(S8－4)＝4＋24－S8，
解得S8＝12.
答案：12
5．设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“吉祥数列”，则数列{bn}的通项公式为________．
解析：设等差数列{bn}的公差为d(d≠0)，＝k，因为b1＝1，则n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，
整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.
因为对任意的正整数n上式均成立，
所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，
解得d＝2，k＝.
所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
答案：bn＝2n－1
6．(2019·扬州模拟)已知等差数列的前n项和为Sn，且S13＝6，则3a9－2a10＝________.
解析：由S13＝6，得＝13a7＝6，
∴a7＝，
∴3a9－2a10＝3(a1＋8d)－2(a1＋9d)＝a1＋6d＝a7＝.
答案：
7．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前 n项和为Sn ，当且仅当n＝8 时Sn 取得最大值，则d 的取值范围为________．
解析：由题意，当且仅当n＝8时Sn有最大值，可得
即解得－1＜d＜－.
答案：
8．(2019·启东中学模拟)若等差数列的首项为a1，公差为d，关于x的不等式x2＋x＋c≥0的解集为[0,10]，则使数列的前n项和Sn最大的正整数n的值是________．
解析：∵关于x的不等式x2＋x＋c≥0的解集为[0,10]，
∴＜0,0＋10＝－，0×10＝，
解得d＜0，c＝0，a1＝－.
an＝a1＋(n－1)d＝－＋(n－1)d＝d，
令an≥0，解得n≤，因此使数列的前n项和Sn最大的正整数n的值是5.
答案：5
9．(2018·启东期末)已知等差数列的前n项和为Sn，且a3＝7，a5＋a7＝26.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N*)，求证：数列为等差数列．
解：(1)设等差数列的首项为a1，公差为d，
∵a3＝7，a5＋a7＝26.
∴
解得a1＝3，d＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
Sn＝＝＝n(n＋2)．
(2)证明：∵bn＝＝＝n＋2，
bn＋1－bn＝n＋3－(n＋2)＝1. ∴数列为等差数列．

10．(2018·南京、盐城二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1－，(n＋2)cn＝－，其中n∈N*.
(1)若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；
(2)若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．
解：(1)因为数列{an}是公差为2的等差数列，
所以an＝a1＋2(n－1)，＝a1＋n－1.
因为(n＋2)cn＝－(a1＋n－1)＝n＋2，所以cn＝1.
(2)证明：由(n＋1)bn＝an＋1－，
得n(n＋1)bn＝nan＋1－Sn，(n＋1)(n＋2)bn＋1＝(n＋1)an＋2－Sn＋1，两式相减，并化简得an＋2－an＋1＝(n＋2)bn＋1－nbn.
从而(n＋2)cn＝－＝－[an＋1－(n＋1)bn]＝＋(n＋1)bn＝＋(n＋1)bn＝(bn＋bn＋1)，
因此cn＝(bn＋bn＋1)．
因为对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，
所以λ≤cn＝(bn＋bn＋1)≤λ，故bn＝λ，cn＝λ.
所以(n＋1)λ＝an＋1－， ①
(n＋2)λ＝(an＋1＋an＋2)－， ②
②－①得(an＋2－an＋1)＝λ，即an＋2－an＋1＝2λ，
故an＋1－an＝2λ(n≥2)．
又2λ＝a2－＝a2－a1，则an＋1－an＝2λ(n≥1)．
所以数列{an}是等差数列．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3＝5，且S1，S5，S7成等差数列，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，因为S1，S5，S7成等差数列，所以S1＋S7＝2S5，则a1＋7a1＋21d＝2(5a1＋10d)，解得d＝2a1，因为a3＝5，所以a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.
答案：2n－1
2．(2019·苏州高三期中调研)已知数列{an}，{bn}满足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝(n∈N*)，则b1·b2·…·b2 018＝________.
解析：由an＋bn＝1，得an＋1＋bn＋1＝1，即bn＋1＝1－an＋1，把bn＋1＝1－an＋1代入bn＋1＝，化简可得－＝1，所以是首项为2，公差为1的等差数列，可得数列{an}的通项公式为an＝，所以数列{bn}的通项公式为bn＝，所以b1·b2·…·b2 018＝.
答案：
3．(2018·南京学情调研)已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2·a3＝15，S4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)设数列{bn}满足b1＝a1，bn＋1－bn＝.
①求数列{bn}的通项公式；
②是否存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)设数列{an}的公差为d，则d＞0.
由a2·a3＝15，S4＝16，得
解得或(舍去)．所以an＝2n－1.
(2)①因为b1＝a1＝1，
bn＋1－bn＝＝
＝，
即b2－b1＝，
b3－b2＝，
…
bn－bn－1＝，n≥2，
累加得bn－b1＝＝，
所以bn＝b1＋＝1＋＝.
又b1＝1也符合上式，故bn＝，n∈N*.
②假设存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差数列，则b2＋bn＝2bm.
又b2＝，bn＝＝－，bm＝－，
所以＋＝2，即＝＋，化简得2m＝＝7－.
当n＋1＝3，即n＝2时，m＝2(舍去)；
当n＋1＝9，即n＝8时，m＝3，符合题意．
所以存在正整数m＝3，n＝8，使得b2，bm，bn成等差数列．