2023版高考数学二轮复习专题限时集训5概率文.doc

专题限时集训(五)　概率
[专题通关练]
(建议用时：30分钟)
1．[一题多解](2023·全国卷Ⅲ)?西游记??三国演义??水浒传?和?红楼梦?是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过?西游记?或?红楼梦?的学生共有90位，阅读过?红楼梦?的学生共有80位，阅读过?西游记?且阅读过?红楼梦?的学生共有60位，那么该校阅读过?西游记?的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　　)
A．0.5　　　B．0.6　　　C．0.7　　　D．0.8
C　[法一：设调查的100位学生中阅读过?西游记?的学生人数为x，那么x＋80－60＝90，解得x＝70，
所以该校阅读过?西游记?的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.
应选C.
法二：用Venn图表示阅读过?西游记?和?红楼梦?的人数之间的关系如图：
易知调查的100位学生中阅读过?西游记?的学生人数为70，所以该校阅读过?西游记?的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.应选C.]
2．定义在区间[－3,3]上的函数f(x)＝2x＋m满足f(2)＝6，在[－3,3]上任取一个实数x，那么使得f(x)的值不小于4的概率为(　　)
A. B. C. D.
B　[∵f(2)＝6，∴22＋m＝6，解得m＝2.由f(x)≥4，得2x＋2≥4，即x≥1，而x∈[－3,3]，
故根据几何概型的概率计算公式，得f(x)的值不小于4的概率P＝＝.应选B.]
3．标有数字1,2,3,4,5的卡片各1张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，那么抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为 (　　)
A. B. C. D.
A　[5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，根本领件的总数n＝5×4＝20，抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10种．故抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率P＝＝，应选A.]
4．(2023·郑州模拟)在区间(0,2)内随机取一个实数a，那么满足的点(x，y)构成区域的面积大于1的概率是(　　)
A. B. C. D.
C　[作出约束条件表示的平面区域如图中阴影局部所示，那么阴影局部的面积S＝×a×2a＝a2＞1，∴1＜a＜2，根据几何概型的概率计算公式得所求概率为＝，应选C.]
5．?九章算术?中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．〞其大意：“直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．〞现假设向此三角形内随机投一粒豆子，那么豆子落在其内切圆外的概率是(　　)
A. B.
C．1－ D．1－
D　[如图，直角三角形的斜边长为＝17，设其内切圆的半径为r，那么8－r＋15－r＝17，解得r＝3，∴内切圆的面积为πr2＝9π，∴豆子落在内切圆外的概率P＝1－＝1－.]
6．(2023·全国卷Ⅱ)我国高铁开展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，那么经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
0．98　[＝＝0.98.
那么经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.]
7．实数x，y满足|x|≤3，|y|≤2，那么任取其中的一对实数x，y，使得x2＋y2≤4的概率为________．
　[如图，在平面直角坐标系xOy中，满足|x|≤3，|y|≤2的点在矩形ABCD内(包括边界)，使得x2＋y2≤4的点在图中圆O内(包括边界)．由题意知，S矩形ABCD＝4×6＝24，S圆O＝4π，故任取其中的一对实数x，y，使得x2＋y2≤4的概率P＝＝＝.]
8．从正五边形ABCDE的5个顶点中随机选择3个顶点，那么以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是________．
　[从正五边形ABCDE的5个顶点中随机选择3个顶点，根本领件总数为10，即ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的种数为5，即△ABD，△ACD，△ACE，△BCE，△BDE，所以以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率P＝＝.]
[能力提升练]
(建议用时：15分钟)
9．某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位的停靠时间(单位：小时)，如果停靠时间缺乏半小时按半小时计时，超过半小时缺乏1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：
停靠时间
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
轮船数量
12
12
17
20
15
13
8
3
(1)设该月这100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；
(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．
[解]　(1)a＝×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15＋5×13＋5.5×8＋6×3)＝4.
(2)设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，
那么
假设这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待，那么|y－x|＜4，
符合题意的区域如图中阴影局部(不包括x，y轴)所示．
记“这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待〞为事件A，
那么P(A)＝＝.
所以这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为.
10．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：

A类轿车
B类轿车
C类轿车
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数xi(1≤i≤8，i∈N)，设样本平均数为，求|xi－|≤0.5的概率．
[解]　(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得＝，所以n＝2 000，那么z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得＝，得a＝2，
所以抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2分别表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3分别表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车〞．从该样本中任取2辆包含的根本领件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个，
其中事件E包含的根本领件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．
故P(E)＝，即所求的概率为.
(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D表示事件“从样本中任取一个数xi(1≤i≤8，i∈N)，|xi－|≤0.5〞，那么从样本中任取一个数有8个根本领件，事件D包括的根本领件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个．
所以P(D)＝＝，即所求的概率为.
题号
内容
押题依据
1
几何概型
此题将半圆、圆、圆环的面积等知识融入到几何概型中，既为几何概型输送了新鲜的“血液〞，又为圆的知识找到了坚决的“着陆点〞，使呆板、平淡的几何概型充满活力，很好地考查了考生的直观想象和数学运算的核心素养
2
频率分布直方图、分层抽样、概率
此题是以临潼石榴为背景设的频率分布直方图、概率、决策型问题相交汇的试题，设问角度新颖、典型，有代表性，意在考查考生的逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养
【押题1】　如图，半圆、较大圆、小圆的直径比为4∶2∶1.假设在该半圆内随机取一点，那么该点取自阴影局部的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
C　[设小圆的半径为r，因为半圆、较大圆、小圆的直径比为4∶2∶1，所以阴影局部的面积S1＝π(2r)2－πr2＝3πr2，半圆的面积S＝π(4r)2＝8πr2，根据几何概型的概率计算公式，得该点取自阴影局部的概率P＝＝＝.应选C.]
【押题2】　临潼石榴集中国石榴之优，素以色泽艳丽，果大皮薄，汁多味甜，品质优良等特点而著称．临潼石榴名居中国五大名榴之冠，被列为果中珍品．白居易曾写诗赞美：“日照血球将滴地，风翻火焰欲烧人．〞现从该地区某村的石榴树上随机摘下100个石榴进行测重，其质量分布在区间[200,500]内(单位：克)，根据统计的数据作出频率分布直方图如下图：
(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)内的石榴中随机抽取5个，再从这5个石榴中随机抽取2个，求这2个石榴中质量至少有一个不小于400克的概率；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据，以频率代表概率，该村大约还有100 000个石榴待出售，某电商提出如下两种收购方案：
方案A：所有石榴均以20元/千克的价格收购．
方案B：低于350克的石榴以5元/个的价格收购，高于或等于350克的以9元/个的价格收购．
请你通过计算为该村选择收益最好的方案．
[解]　(1)由题得石榴质量在[350,400)和[400,450)内的比例为3∶2，
所以应分别在质量在[350,400)和[400,450)内的石榴中各抽取3个和2个．
记所抽取的质量在[350,400)内的石榴为A1，A2，A3，质量在[400,450)内的石榴为B1，B2，
那么从这5个石榴中随机抽取2个的情况共有以下10种：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A2，B1}，{A3，B1}，{A1，B2}，{A2，B2}，{A3，B2}，{B1，B2}．
其中质量至少有一个不小于400克的有7种情况，故所求概率为.
(2)方案B好，理由如下：
由频率分布直方图可知，石榴质量在[200,250)内的频率为50×0.001＝0.05，
同理，石榴质量在[250,300)，[300,350)，[350,400)，[400,450)，[450,500]内的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.
假设按方案B收购：
因为石榴质量低于350克的个数为(0.05＋0.16＋0.24)×100 000＝45 000，
石榴质量不低于350克的个数为55 000个，
所以总收益为45 000×5＋55 000×9＝720 000(元)．
假设按方案A收购：
根据题意各区间段内石榴个数依次为5 000,16 000,24 000,30 000,20 000,5 000，
于是总收益为(225×5 000＋275×16 000＋325×24 000＋375×30 000＋425×20 000＋475×5 000)×＝709 000(元)．
因为720 000＞709 000，即方案B的收益比方案A的收益高，所以该村应选择方案B.
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