2022届高考数学一轮复习第八章解析几何课堂达标41圆的方程文新人教版.doc

课堂达标(四十一) 圆的方程
[A根底稳固练]
1．(高考广东卷)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
[解析]　设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题意有＝，解得c＝±5，所以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，应选A.
[答案]　A
2．直线l：x＋my＋4＝0，假设曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，那么m的值为(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．－2
C．1 D．－1
[解析]　因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，假设圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，那么直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1.
[答案]　D
3．假设直线ax＋2by－3＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，那么＋的最小值为(　　)
A．1 B．5
C．4 D．3＋2
[解析]　由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝，即b＝2－，a＝－1时，等号成立．
∴＋的最小值为3＋2.
[答案]　D
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
[解析]　设圆上任一点坐标为(x0，y0)，
x＋y＝4，连线中点坐标为(x，y)，
那么⇒
代入x＋y＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
[答案]　A
5．(2022·吉大附中第七次模拟)圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t>0)，假设圆C上存在点P，使得·＝0，那么t的最小值为(　　)
A．3 B．2
C. D．1
[解析]　由题意可得点P的轨迹方程是以AB为直径的圆，当两圆外切时有：＝tmin＋1⇒tmin＝1，
即t的最小值为1.
[答案]　D
6．(2022·绵阳诊断)圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x2－＝1的渐近线截得的弦长为，那么圆C的方程为(　　)
A．x2＋(y－1)2＝1 B．x2＋(y－)2＝3
C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y＋)2＝3
[解析]　依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C的圆心坐标是(0,1)，半径是1，因此其方程是x2＋(y－1)2＝1.
[答案]　A
7．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两局部，使得这两局部的面积之差最大，那么该直线的方程为______．
[解析]　当圆心与点P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与点P连线的斜率k＝1，所求直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
[答案]　x＋y－2＝0
8．平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，那么圆C的方程为______．
[解析]　由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，
P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，
所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．
∵△OPQ为直角三角形，
∴圆心为斜边PQ的中点(2,1)，
半径r＝＝，
因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
[答案]　(x－2)2＋(y－1)2＝5
9．设M＝{(x，y)|y＝，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，那么M∩N≠∅时，a的最大值与最小值分别为______、______.
[解析]　因为集合M＝{(x，y)|y＝，a>0}，
所以集合M表示以O(0,0)为圆心，半径为r1＝a的上半圆．
同理，集合N表示以Q′(1，)为圆心，
半径为r2＝a的圆上的点．
这两个圆的半径随着a的变化而变化，但|OO′|＝2.
如下图，当两圆外切时，由a＋a＝2，得a＝2－2；当两圆内切时，由a－a＝2，得a＝2＋2.
所以a的最大值为2＋2，最小值为2－2.
[答案]　2＋2；2－2
10．以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
[解]　(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．
那么直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，那么由点P在CD上得a＋b－3＝0.　①
又∵直线|CD|＝4.
∴|PA|＝2，∴(a＋1)2＋b2＝40.　②
由①②解得或
∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．
∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
[B能力提升练]
1．圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，那么圆C的方程为(　　)
A.2＋y2＝ B.2＋y2＝
C．x2＋2＝ D．x2＋2＝
[解析]　由圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为π，设圆心(0，a)，半径为r，
那么rsin ＝1，rcos＝|a|，解得r＝，
即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋2＝.
[答案]　C
2．(2022·九江模拟)P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－y＋1＝0的两条切线(A，B是切点)，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是(　　)
A. B．2
C. D．2
[解析]　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
那么C(1,1)，当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小，
|PC|min＝＝2，此时|PA|＝|PB|＝.
所以四边形PACB的面积S＝2×××1＝，应选C.
[答案]　C
3．设点P是函数y＝－图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，那么|PQ|的最小值为______．
[解析]　函数y＝－的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4的下半圆．
令点Q的坐标为(x，y)，那么得y＝－3，
即x－2y－6＝0，作出图象如下图．
由于圆心(1,0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝＝>2，
所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是－2.
[答案]　－2
4．(2022·岳阳模拟)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，那么|＋＋|的最大值是______．
[解析]　设D(x，y)，
由＝(x－3，y)及||＝1知(x－3)2＋y2＝1，
即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆，
又＋＋＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y)
＝(x－1，y＋)，
∴|＋＋|＝.
问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值．
∵圆心C(3,0)与点P(1，－)之间的距离为
＝，
故的最大值为＋1.
[答案]　＋1
5．过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标．
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
[解]　(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0)．
(2)设M(x，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，
∴由圆的性质知：MC1⊥MO，∴·＝0.
又∵＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)，
∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0.
易知直线l的斜率存在，∴设直线l的方程为y＝mx，
当直线l与圆C1相切时，d＝＝2，解得m＝±.
把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝.
当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．
又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，
∴<x≤3.∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，其中<x≤3，其轨迹为一段圆弧．
[C尖子生专练]
圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
[解]　(1)设圆M的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．根据题意，得
，解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因为四边形PAMB的面积S＝S△PAM＋S△PBM
＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，
所以S＝2|PA|，
而|PA|＝＝，
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为
S＝2＝2＝2.