2018年高考数学一轮总复习专题33定积分练习理.doc

2018年高考数学一轮总复习专题33定积分练习理

专题3.3 定积分
考点分析
定积分与微积分基本定理
（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；
（2）了解微积分基本定理的含义．
知识链接
1、相关术语：对于定积分
（1）称为积分上下限，其中
（2）：称为被积函数
（3）：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：中的被积函数为，而的被积函数为
2、定积分的几何意义：表示函数与轴，围成的面积（轴上方部分为正，轴下方部分为负）和，所以只有当图像在完全位于轴上方时，才表示面积。可表示数与轴，围成的面积的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解
3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：
（1）微积分基本定理：如果是区间上的连续函数，并且，那么
使用微积分基本定理，关键是能够找到以为导函数的原函数。所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：

① 寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：，则判断属于幂函数类型，原函数应含，但，而，所以原函数为（为常数）
② 如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数，例如，则，但在使用微积分基本定理时，会发现计算时会消去，所以求定积分时，不需加上常数。
（2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于轴的下方，则面积与所求定积分互为相反数。
4、定积分的运算性质：假设存在
（1）
作用：求定积分时可将的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化的复杂程度
（2）
作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如
（3），其中
作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分，分别求解。
5、若具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算
（1）若为奇函数，则
（2）若为偶函数，则
6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤：
（1）通过作图确定所求面积的区域
（2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数
（3）若时，始终有，则该处面积为
7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。需分段通常有两种情况
（1）构成曲面梯形的函数发生变化
（2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生过变化，则也需将两部分分开来写。
融会贯通
题型一　定积分的计算
典例1　(1)(2017·九江模拟)若ʃ(2x＋λ)dx＝2(λ∈R)，则λ等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．－1
(2)定积分ʃ|x2－2x|dx等于(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】　(1)B　(2)D

【解题技巧与方法总结】
运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：
(1)对被积函数要先化简，再求积分；
(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．
【变式训练】(1)若则实数a的值为(　　)
A．－1 B．1 C．－ D.
(2)设f(x)＝则ʃf(x)dx等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】 (1)A　(2)C
【解析】
＝0－a－(－1－0)＝1－a＝2，
∴a＝－1.
(2)ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋ʃ(2－x)dx
＝x3|＋(2x－x2)|
＝＋(4－×4)－(2－)
＝.
题型二　定积分的几何意义
命题点1　利用定积分的几何意义计算定积分
典例2　(1)计算：ʃ dx＝________.
(2)若ʃ dx＝，则m＝________.
【答案】　(1)π　(2)－1

命题点2　求平面图形的面积
典例3　(2017·青岛月考)由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为______．
【答案】　4－ln 3
【解析】　由xy＝1，y＝3可得交点坐标为(，3)．

由xy＝1，y＝x可得交点坐标为(1,1)，
由y＝x，y＝3得交点坐标为(3,3)，
由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成图形的面积为

＝(3－1－ln 3)＋(9－－3＋)＝4－ln 3.
【解题技巧与方法总结】
(1)根据定积分的几何意义可计算定积分；
(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤
①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；
②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；
④计算定积分，写出答案．
【变式训练】(1)定积分ʃdx的值为(　　)
A．9π B．3π
C.π D.π
(2)由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，直线x＝1围成的封闭图形的面积为________．
【答案】　(1)C　(2)
题型三　定积分在物理中的应用
典例4　一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
【答案】　C
【解析】　令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，
∴汽车行驶距离s＝ʃ(7－3t＋)dt
＝|
＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.
【解题技巧与方法总结】
定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝ʃv(t)dt.
(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝ʃF(x)dx.
【变式训练】一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为(　　)
A. J B. J C. J D．2 J
【答案】　C

【知识链接】
1．定积分的概念
在ʃf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
2．定积分的性质
(1)ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx(k为常数)；
(2)ʃdx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx；
(3)ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a<c<b)．
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|，即ʃf(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)．
练习检测
1．【河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题】已知，则二项式的展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．【辽宁省实验中学2017届高三下学期第六次模拟考试数学（理）试卷】如图所示，正弦曲线，余弦曲线与两直线， 所围成的阴影部分的面积为（ ）

A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
，选D.
3．【江西省重点中学盟校2017届高三第二次联考数学（理）试题】如图，在边长为的正方形中， 是的中点，过三点的抛物线与围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
4．【重庆市巴蜀中学2017届高三三诊考试理科数学试卷】若，则二项式展开式中的常数项是（ ）
A. 20 B. -20 C. -540 D. 540
【答案】C
【解析】由题意可知,二项式变为,,所以,系数为-540.所以选C.
5. （2017甘肃兰州第一中学冲刺模拟，8）. 任取实数，则满足的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图示：

，
，∴满足条件的概率为：，
故选D.
6. （2017重庆巴蜀中学高三三诊，6）. 若，则二项式展开式中的常数项是（ ）
A. 20 B. -20 C. -540 D. 540
【答案】C
7.（2017河北石家庄高三冲刺模考，10）. 在抛物线与直线围成的封闭图形内任取一点，为坐标原点，则直线被该封闭图形解得的线段长小于的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】

如图圆的方程为，由圆方程，直线方程，抛物线方程知，．
整个密闭区域的面积为，满足条件的区域面积为．由几何概型知所求概率为．故本题答案选．
8.（2017太原市高三年级模拟试题（三），14）. =__________．
【答案】
【解析】由定积分的几何意义可知 表示的是半径为1的半圆的面积，即： ，而函数 是奇函数，则 ，
由微积分的运算法则可得=.
9.（2017厦门外国语学校高三适应性考试，14）. 二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为__________．
【答案】3

10.（2017河北省石家庄二中三模，13）. __________．
【答案】
【解析】试题分析：,其中表示半径为的圆的面积的,,,因此原式等于,故填.
考点：定积分的计算.
11.（2017湖北襄阳四中5月适应性考试，14）. 已知函数（）的图象和直线围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是__________．
【答案】
【解析】由定积分的定义结合题意可得这个封闭图形的面积是.
12.（2017福州一中高三最后一模，13）. __________．
【答案】
13.（2017甘肃西北师大附中四诊，13）. 设，则二项式的展开式中含项的系数为__________．
【答案】12
【解析】因为，所以，由于通项公式，令，则，应填答案。
14．【湖北省襄阳第四中学2017届高三下学期5月适应性考试数学（理）试题】已知函数（）的图象和直线围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是__________．
【答案】
【解析】由定积分的定义结合题意可得这个封闭图形的面积是.
15．【吉林省实验中学2017届高三第九次模拟考试数学（理）试题】
边界在直线及曲线上的封闭的图形的面积为_______
【答案】

16．【河北省2017届衡水中学押题卷理数 I】已知实数， 满足不等式组且的最大值为，则=__________．
【答案】
【解析】

17．【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试数学（理）试题】如图所示，由直线， 及轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即．类比之，若对，不等式恒成立，则实数等于__________．

【答案】2
【解析】因为，所以
即

18．【2017届天津市南开中学高三第五次月考数学（理工类）试卷】函数在点(1，2)处的切线与函数围成的图形的面积等于__________．
【答案】
【解析】因为，所以， ，则函数在点(1，2)处的切线为，即，作出草图（如图所示），则所求阴影部分的面积为.

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