【河南省】2017学年中原名校高考模拟数学年(理科)试题(八).pdf

-1-/16 河南省河南省 2017 年年中原名校高考中原名校高考模拟模拟数学数学（理科）（理科）试卷试卷（八）（八）答答 案案 一、选择题 15CADBD 610ABDBA 1112DC 二、填空题 1332 14800 1517 162 112 三、解答题 17解：（）在APC中，因为60,2,4PACPCAPAC，由余弦定理得2222cosPCAPACAPACPAC，（1 分）所以2222(4)2(4)cos60APAPAPAP，整理得2440APAP，（2 分）解得2AP（3 分）所以2AC（4 分）所以APC是等边三角形 所以60ACP（6 分）（）法 1：由于APB是APC的外角，所以120APB（7 分）因为APB的面积是3 32，所以13 3sin22AP PBAPB（8 分）所以3PB（9 分）在APB中，22222?2cos23223 cos12019ABAPPBAP PBAPB ，所以19AB（10 分）在APB中，由正弦定理得sinsinABPBAPBBAP，（11 分）所以3sin1203 57sin3819BAP（12 分）法 2：作ADBC，垂足为 D，-2-/16 因为APC 是边长为 2 的等边三角形，所以1330PDADPAD，（7 分）因为APC的面积是3 32，所以13 322AD PB（8 分）所以3PB（9 分）所以4BD 在RtADB中，2219ABBDAD，（10 分）所以43sin,cos1919BDADBADBADABAB 所以sinsin(cos30)sincos30cossin30BAPBADBADBAD（11 分）43313 5722381919（12 分）18解：（）因为,ABDBCDABDBCDBD平面平面平面平面，又BDDC，所以DCABD平面（1 分）因为ABABD 平面，所以DCAB（2 分）又因为折叠前后均有,ADAB DCADD，（3 分）所以ABADC 平面（4 分）（）由（）知ABADC 平面，所以二面角CABD的平面角为CAD 又,DCABD ADABD平面平面，所以DCAD 依题意tan6CDCADAD（6 分）因为1AD，所以6CD 设(0)ABx x，则21BDx 依题意ABDBDC，所以ABCDADBD，即2611xx（7 分）-3-/16 解得2x，故222,3,3ABBDBCBDCD（8 分）如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则3636(0,0,0),(3,0,0),(0,6,0),(,0),(,0,)2233DBCEA，所以3636(,0),(,0,)2233DEDA 由（）知平面 BAD 的法向量(0,1,0)n（9 分）设平面 ADE 的法向量(,)mx y z 由0,0m DEm DA得3602236033xyxz 令6x，得3,3yz ，所以(6,3,3)m（10 分）所以1cos,2|n mn mnm （11 分）由图可知二面角BADE的平面角为锐角，所以二面角BADE的余弦值为12（12 分）19解：（）数据整理如下表：健康状况 健康 基本健康 不健康尚能自理 不能自理 80 岁及以上 20 45 20 15 80 岁以下 200 225 50 25 从图表中知不能自理的 80 岁及以上长者占比为：15315258，故抽取 16 人中不能自理的 80 岁及以上长者人数为316=6880 岁以下长者人数为 10 人（）在 600 人中 80 岁及以上长者在老人中占比为：152045201=6006，-4-/16 用样本估计总体，80 岁及以上长者共有166=116万，80 岁及以上长者占户籍人口的百分比为11100%2.75%400（）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为 X 元，4147595185171255(0),(120),(200),(220)5560060056006005600600P xP xP xP x,1153(300)5600600P x，则随机变量 X 的分布列为：X 0 120 200 220 300 P 45 95600 17600 5600 3600 4951753(X)0120200220300285600600600600E，全市老人的总预算为4828 1266 102.2176 10元 政府执行此计划的年度预算约为 22176 亿元 20解：（）圆22:270M xyy的圆心为(0,1)M，半径为2 2 点(0,1)N在圆 M 内，因为动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切，所以动圆 P 与圆 M 内切设动圆 P 半径为 r，则2 2|rPM 因为动圆 P 经过点 N，所以|rPN，|2 2|PMPNMN，所以曲线 E 是 M，N 为焦点，长轴长为2 2的椭圆 由2,1ac，得221 1b ，所以曲线 E 的方程为2212yx（4 分）（）直线 BC 斜率为 0 时，不合题意 设1122(,),(,)B x yC xy，直线:BC xtym，联立方程组2212xtymyx得2222121222422(12)4220,1212mtmtymtymyyy ytt，又1 24k k，知1212124(1)(1)4(1)(1)y yxxtymtym 22121244(1)()4(1)t y ymt yym -5-/16 代入得222222224(14)4(1)4(1)1212mmttmmtt 又1m，化简得222(1)(14)2(4)2(1)(12)mtmtmt，解得3m，故直线 BC 过定点(3,0)（8 分）由0，解得24t，2212222144422|92392(4)244ABCtSyyttt（当且仅当2172t 时取等号）综上，ABC面积的最大值为23（12 分）21解：（）法 1：函数()lnxaf xx的定义域为(0,)由()lnxaf xx，得221()axafxxxx（1 分）因为0a，则(0,)xa时，()0fx；(,)xa时，()0fx 所以函数()f x在(0,)a上单调递减，在(,)a 上单调递增（2 分）当xa时，min()ln1f xa（3 分）当ln1 0a，即10ea 时，又(1)ln10faa，则函数()f x有零点（4 分）所以实数 a 的取值范围为1(0,e 法 2：函数()lnxaf xx的定义域为(0,)由()lnxaf xx，得lnaxx（1 分）令()lng xxx，则()(ln1)g xx 当1(0,)ex时，()0g x；当1(,)ex时，()0g x 所以函数()g x在1(0,)e上单调递增，在1(,)e上单调递减（2 分）故1ex 时，函数()g x取得最大值1111()lneeeeg（3 分）因而函数()lnxaf xx有零点，则1(,)e（4 分）所以实数 a 的取值范围为1(0,e（）证明：令()lnh xxxa，则()ln1h xx -6-/16 当10ex 时，()0h x；当1ex时，()0h x 所以函数()h x在10ex 上单调递减，在1(,)e上单调递增 当1ex 时，min1h()exa（6 分）于是，当2ea时，11()eeh xa（7 分）令()exxx，则()eee(1)xxxxxx 当01x 时，()0fx；当1x时，()0fx 所以函数()x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减 当1x 时，max1()ex（8 分）于是，当0 x时，1()ex（9 分）显然，不等式、中的等号不能同时成立 故当0 x，2ea时，lnexxxax（10 分）因为1b，所以ln0b 所以lnlnln(ln)lnbbbab e（11 分）所以1ln(ln)lnabbb，即1(ln)fbb（12 分）22解：（）因为2 cos()104，所以cossin10 由cos,sinxy，得10 xy（3 分）因为244xtyt 消去 t 得24yx，所以直线 l 和曲线 C 的普通方程分别为10 xy 和24yx（4 分）（）点 M 的直角坐标为(1,0)，点 M 在直线 l 上，设直线 l 的参数方程：21222xtyt（t 为参数），A，B 对应的参数为12,t t 24 280tt，-7-/16 121 24 2,8ttt t，（7 分）2121 2121 21 2()4|1132321|8ttt tttMAMBt tt t（10 分）23解：（1）依题意得()|2|1|4g xxx 当1x时，原不等式化为：2(1)4xx，解得12x；当01x 时，原不等式化为：2(1)4xx，解得0 x 1 当0 x时，原不等式化为：2(1)4xx，解得203x 综上可得，不等式的解集为2|23xx ；（4 分）（2）()(2)|2|2|()f xg xxxaaR 2a时，322,2()22,2322,xa xf xxaxaxa xa ；2a 时，36,2()36,2xxf xxx；2a时，322,()22,2322,2xa xaf xxaaxxa x；所以()f x的最小值为(2)f或()f a；则()1(2)1f af，即|2|12|2|1aa所以|2|1a，解得1a或3a（10 分）河南省河南省 2017 年中原名校高考模拟理科数学试卷年中原名校高考模拟理科数学试卷（八）（八）解解 析析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1【考点】1E：交集及其运算【分析】化简集合 A、B，根据交集的定义写出 AB 即可 -8-/16 【解答】解：集合 A=y|y=y|yR=（，+），B=x|y=ln（x1）=x|x10=x|x1=（1，+）；AB=（1，+）故选：C【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题 2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义、纯虚数的定义即可得出【解答】解：（12i）z=1+ai，（1+2i）（12i）z=（1+2i）（1+ai），5z=12a+（2+a）i，即 z=+i，z 为纯虚数，则=0，0，解得 a=故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】根据逆否命题，充分必要条件，正态分布，任意命题的定义判断即可【解答】解：A 中命题“若 x23x+2=0，则 x=2”的逆否命题为“若 x2，则 x23x+20”显然正确；B 中“a=2”能得出“函数 f（x）=logax 在区间（0，+）上为增函数”，但反之不一定，故是充分不必要条件，故正确；C 中：随机变量 xN（1，4），正态曲线的对称轴是 x=1，P（x0）=P（x2）P（x0）=m，P（0 x2）=1mm=12m，为真命题，故正确；D 中若命题 P：nN，2n1000，则P：nN，2n1000，故错误 故选 D【点评】本题考查了逆否命题，充分必要条件，正态分布，任意命题的定义，属于基础题型，应牢记 4【考点】8M：等差数列与等比数列的综合【分析】由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得 a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时 n 的值【解答】解：由 a5是 a2与 a6的等比中项，可得 a52=a2a6，由等差数列an的公差 d 为 2，即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），解得 a1=11，-9-/16 an=a1+（n1）d=11+2（n1）=2n13，由 a10，a20，a60，a70，可得该数列的前 n 项和 Sn取最小值时，n=6 故选：B【点评】等差数列与等比数列是高考考查的基本类型，本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，以及等差数列的单调性和前 n 项和的最小值，属于中档题 5【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成即可得出【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成 由题意得：（54x）31+（）2x=135，x=12 故选：D【点评】本题考查了圆柱与长方体的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6【考点】3N：奇偶性与单调性的综合【分析】确定函数 f（x）=x3+x 是奇函数、增函数，再将不等式转化为具体不等式，即可求实数 m 的取值范围【解答】解：f（x）=x3+x，f（x）=x3x=f（x），函数 f（x）=x3+x 是奇函数 f（msin）+f（1m）0，f（msin）f（m1）f（x）=3x2+10，函数 f（x）=x3+x 是增函数 msinm1 m（sin1）1，1sin10 m1 故选 A【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题 7【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】由题意可知 E 是 PF 的中点，OE 为FFP 的中位线，根据三角形中位线定理及双曲线的定义，即可求得 a 与 b 的关系，即可求得双曲线的离心率【解答】解：双曲线焦点在 x 轴上，焦点 F（c，0），则|OF|=c，|OE|=a，|EF|=b，则 E 是 PF 的中点，OE 为FFP 的中位线，则|PF|=2 丨 EF 丨=2b，|PF|=2a，由双曲线的定义：|PF|PF|=2a，则 b=2a，-10-/16 双曲线的离心率 e=故选 B 【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查数形结合思想，属于中档题 8【考点】EF：程序框图【分析】由题目要求可知：该程序的作用是求样本 x1，x2，x10平均数，循环体的功能是累加各样本的值，故应为：S=S+xn【解答】解：由题目要求可知：该程序的作用是求样本 x1，x2，x10平均数，循环体的功能是累加各样本的值，故应为：S=S+xn 故选 D【点评】程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误 9【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】由题意，抛物线的准线方程为 y=1，M（2，3），P 的横坐标为 2，设直线方程为 y=kx+1，与抛物线 x2=4y 联立，可得 x24kx4=0，利用韦达定理，求出 k，即可得出结论、【解答】解：由题意，抛物线的准线方程为 y=1，M（2，3），P 的横坐标为 2，设直线方程为 y=kx+1，与抛物线 x2=4y 联立，可得 x24kx4=0，4=4k，k=，直线 l 的方程为 y=x+1 故选 B【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查韦达定理，属于中档题 -11-/16 10【考点】H2：正弦函数的图象【分析】根据直线 y=1 与函数 f（x）=2sin2x 的图象相交于点 P（x1，y1），Q（x2，y2），求解 x1，x2的值，利用定积分即可求解线段 PQ 与函数 f（x）的图象所围成的图形面积【解答】解：函数 f（x）=2sin2x，周期 T=，令 2sin2x=1，解得：x=或，直线 y=1 与函数 f（x）=2sin2x 的图象相交于点从左向右依次是，|x1x2|=令 x1=，x2=，可得：线段 PQ 与函数 f（x）的图象所围成的图形面积 S=22=故选 A【点评】本题考查了本题给出正弦型三角函数的图象与直线 y=1 的图象相交于点问题的运用以及定积分的求法 11【考点】3O：函数的图象【分析】由已知，得到方程 m=lnx+3xx2在，2上有解，构造函数 f（x）=lnx+3xx2，求出它的值域，得到 m 的范围即可【解答】解：由已知，得到方程 x2+m=ln+3xm=lnx+3xx2在，2上有解 设 f（x）=lnx+3xx2，求导得：f（x）=+32x=，x2，令 f（x）=0，解得 x=或 x=1，当 f（x）0 时，x1 函数单调递增，当 f（x）0 时，1x2 函数单调减，在 x=1 有唯一的极值点，f（）=ln2+，f（2）=ln2+2，f（x）极大值=f（1）=2，且知 f（2）f（），故方程 m=lnx+3xx2在，2上有解等价于 2ln2m2 -12-/16 从而 m 的取值范围为2ln2，2 故选：D【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程 x2+m=ln+3xm=lnx+3xx2在上有解 12【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】由题意设 g（x）=（x+1）f（x），求出 g（x）后由条件判断出符号，由导数与函数单调性的关系判断出 g（x）在（，1）上递增，由条件和图象平移判断出：函数 f（x1）的图象关于点（0，0）中心对称，由奇函数的图象可得：函数 f（x1）是奇函数，令 h（x）=g（x1）=xf（x1），判断出 h（x）的奇偶性和单调性，再等价转化不等式，求出不等式的解集【解答】解：由题意设 g（x）=（x+1）f（x），则 g（x）=f（x）+（x+1）f（x），当 x1 时，（x+1）f（x）+（x+1）f（x）0，当 x1 时，f（x）+（x+1）f（x）0，则 g（x）在（，1）上递增，函数 f（x）的定义域为 R，其图象关于点（1，0）中心对称，函数 f（x1）的图象关于点（0，0）中心对称，则函数 f（x1）是奇函数，令 h（x）=g（x1）=xf（x1），h（x）是 R 上的偶函数，且在（，0）递增，由偶函数的性质得：函数 h（x）在（0，+）上递减，h（1）=f（0），不等式 xf（x1）f（0）化为：h（x）h（1），即|x|1，解得1x1，不等式的解集是（1，1），故选 C【点评】本题考查导数与单调性的关系，偶函数的定义以及性质，函数图象的平移变换，以及函数单调性的应用，考查转化思想，构造法，化简、变形能力 二、填空题 13【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义【分析】求出的夹角，计算，对=+k，两边平方，列出方程解出 k【解答】解：设，夹角为，则sin=，sin=1，=0=+k，2=2+k22+k=1，=1，又 k0，解得 k=故答案为：【点评】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，求出的夹角是解题关键 -13-/16 14【考点】DC：二项式定理的应用【分析】根据（x23x+2）5=（x1）5（x2）5=（1x）5（2x）5，把（1x）5和（2x）5分别按照二项式定理展开，可得（x23x+2）5二项展开式中 x2的系数【解答】解：（x23x+2）5=（x1）5（x2）5=（1x）5（2x）5=（1x+x2x3+x4x5）（3216x+8x24x3+2x4x5），故展开式中 x2的系数为 8+（5）（165）+32=800，故答案为：800【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题 15【考点】7C：简单线性规划【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线 y=x，作出最优解，代入方程求解 a 可得结论，然后求 z的最大值【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图），目标函数 z=3x2y 可化为 y=xz，平移直线 y=x 可知，当直线经过点 C（2，1）时，截距取最大值，z 最小，（2，1）在直线 y=a 上所以 a=2，所以直线 z=3x2y 经过图中 A（5，1）时在 y 轴截距最小，z 最大为 35（2）=17；故答案为：17 【点评】本题考查简单线性规划，准确作图、利用目标函数的几何意义求最值是解决问题的关键，属中档题 16【考点】8E：数列的求和 -14-/16 【分析】a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2）an+sin2，可得 a3=a1+1=2，a4=2a2=4，a2k1=a2k3+1，a2k=2a2k2，（kN*，k2）因此数列a2k1成等差数列，数列a2k成等比数列利用等差数列与等比数列的前n 项和公式即可得出【解答】解：a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2）an+sin2，a3=a1+1=2，a4=2a2=4，a2k1=a2k3+1，a2k=2a2k2，（kN*，k2）数列a2k1成等差数列，数列a2k成等比数列 该数列的前 21 项和为=（a1+a3+a21）+（a2+a4+a20）=（1+2+11）+（2+22+210）=+=66+2112=212 故答案为：2112【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理【分析】（）在APC 中，由余弦定理得 AP24AP+4=0，解得 AP=2，可得APC 是等边三角形，即可得解（）法 1：由已知可求APB=120 利用三角形面积公式可求 PB=3进而利用余弦定理可求 AB，在APB 中，由正弦定理可求 sinBAP=的值 法 2：作 ADBC，垂足为 D，可求：，利用三角形面积公式可求 PB，进而可求 BD，AB，利用三角函数的定义可求，利用两角差的正弦函数公式可求 sinBAP=sin（BAD30）的值【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦定理，三角函数的定义，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了转化思想，属于中档题 18【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定【分析】（）证明 DCABADAB 即可得 AB平面 ADC（）由（）知 AB平面 ADC，即二面角 CABD 的平面角为CAD 二面角 CABD 的平面角的正切值为，解得AB，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，求出平面BAD的法向量，平面 ADE 的法向量，即可得二面角 BADE 的余弦值 -15-/16 【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，即面面角的求法，属于中档题 19【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】（）数据整理如下表：健康状况 健康 基本健康 不健康尚能自理 不能自理 80 岁及以上 20 45 20 15 80 岁以下 200 225 50 25 利用频率计算公式即可得出（）在 600 人中 80 岁及以上长者在老人中占比为：，用样本估计总体，80 岁及以上长者共有万，即可得出 80 岁及以上长者占户籍人口的百分比（）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为 X 元，P（X=0）=，P（X=120）=，P（X=200）=，P（X=220）=，P（X=300）=，及其数学期望【点评】本题考查了频率计算公式、随机变量分布列的性质及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20【考点】J3：轨迹方程【分析】（1）利用圆与圆的位置关系，得出曲线 E 是 M，N 为焦点，长轴长为的椭圆，即可求曲线 E的方程；（2）联立方程组得（1+2t2）y2+4mty+2m22=0，利用韦达定理，结合 k1k2=4，得出直线 BC过定点（3，0），表示出面积，即可求ABC 面积的最大值【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查韦达定理，属于中档题 21【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（）法一：求出函数 f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出 f（x）的最小值，从而求出 a 的范围即可；法二：求出 a=xlnx，令 g（x）=xlnx，根据函数的单调性求出 g（x）的最大值，从而求出 a 的范围即可；（）令 h（x）=xlnx+a，通过讨论 a 的范围，根据函数的单调性证明即可【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道综合题 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程 22【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】（）直线 l 的极坐标方程化为 cossin1=0，由 x=cos，y=sin，能求出直线 l 的普通方程；曲线 C 的参数方程消去参数能求出曲线 C 的普通方程 -16-/16 （）点 M 的直角坐标为（1，0），点 M 在直线 l 上，求出直线 l 的参数方程，得到，由此利用韦达定理能求出的值【点评】本小题主要考查参数方程、极坐标等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题 选修 4-5：不等式选讲 23【考点】3R：函数恒成立问题；R5：绝对值不等式的解法【分析】（1）由题意可得 g（x）=|x|+2|x1|4，讨论当 x1 时，当 0 x1 时，当 x0 时，去掉绝对值，解不等式即可得到所求解集；（2）求得 f（x）=g（x2）=|x2|+2|xa|（aR），讨论 a=2，a2，a2，运用分段函数求出 f（x），所以 f（x）的最小值为 f（2）或 f（a），由恒成立思想可得 a 的不等式，解不等式即可得到所求范围【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用零点分区间方法去绝对值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论思想方法，以及转化为求最小值，考查化简整理的运算能力，属于中档题