2021年新高考数学模拟试卷(12).pdf

20212021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（1212）一选择题（共一选择题（共 8 8 小题，满分小题，满分 4040 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）1（5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（）A1，0，1，2C0，1B0，1，2Dx|1x2，或 x32（5分）已知直线x+y+20与圆x2+y2+2x2y+a0有公共点，则实数a的取值范围为（）A（，0B0，+）C0，2）D（，2）3（5 分）已知双曲线 C 的焦点在坐标轴上，中心在坐标原点，其一条渐近线与直线 x+2y+10 平行，则双曲线 C 的离心率 e（）A2B52C5D5或524（5 分）已知 5 件产品中有 2 件次品，其余 3 件为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件，至少有一件次品的概率为（）A0.4B0.61C0.7D0.85（5 分）函数()=(+1)的部分图象大致是（）ABCD6（5 分）目前世界上所能见到的最古老的数学文献是古埃及的莱因特纸草书书中记载了85 个数学问题，在书写第 79 题的位置上，作者画了一个台阶，台阶旁依次写着7、49、343、2401 和 16807 这 5 个数，在这些数的旁边依次写着图、猫、老鼠、大麦、量器等字样，除此之外就没有别的什么东西了由于这是书中唯一未明确给出答案的题目，后来，这个题目究竟是什么意思，成了一个有趣的谜你能发现这五个数的规律吗？如果还有第六个、第七个数，你认为第七个数的个位数字是（）A3B3C5D67（5 分）设 aR R，bR R则“ab”是“|a|b|”的（）第1 1页（共2121页）A充分而不必要条件C充分必要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件|(1)|，18（5 分）设函数f（x）=1，若函数y|3f（x）m|4 有 5 个零点，则1，1142实数 m 的取值范围为（）A(4，11)2B，+)52C，5211)2D，4)52二多选题（共二多选题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）9（5 分）已知(2+1)(0)的展开式中第 5 项与第七项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为 1024，则下列说法正确的是（）A展开式中奇数项的二项式系数和为256B展开式中第 6 项的系数最大C展开式中存在常数项D展开式中含 x15项的系数为 4510（5 分）药理学中有如下内容：（1）半数致死量（LD50）表示在规定时间内，通过指定感染途径，使一定体重或年龄的某种动物半数死亡所需最小细菌数或毒素量（2）半数有效量（ED50）在量反应中是指能引起 50%最大反应强度的药物剂量；在质反应中是指能引起 50%实验动物出现阳性反应的药物剂量（3）治疗指数（TI）为药物的安全性指标 通常将半数致死量（LD50）与半数有效量（ED50）的比值称为治疗指数基于以上内容，下列说法正确的是（）ALD50 越小，药物毒性越大BTI 越小，药物安全度越高C同一药物的 LD50 与 ED50 的比值越大，药物安全度越低D同一药物的 LD50 与 ED50 的比值越大，药物安全度越高11（5 分）若函数 f（x）4sinxsin2（增函数，则下列结论正确的是（）Af（x）是偶函数第2 2页（共2121页）2+）+cos2x1（0）在2，434上是Bf（x）的最小正周期 T=C 的最大值为322D 没有最小值12（5 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA底面 ABCD，PAAB，截面 BDE 与直线 PC 平行，与 PA 交于点 E，则下列判断正确的是（）AE 为 PA 的中点BPB 与 CD 所成的角为3CBD平面 PACD三棱锥 CBDE 与四棱锥 PABCD 的体积之比等于 1：4三填空题（共三填空题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）13（5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，首项为 1，且当 nN N*时，an+2+an2an+1恒成立，若 12a5S5+S9，则a1014（5 分）西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有种涂色方法15（5 分）对定义域内任意实数 a，b，都有（f a+b）（f a）（f b）的一个函数（f x）16（5 分）三棱锥PABC 中，PA平面 ABC，BAC=3，AP3，AB=23，Q 是 BC第3 3页（共2121页）2边上的动点，且直线 PQ 与面 ABC 所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积3为四解答题（共四解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分）分）17（10 分）已知数列an为等比数列，a24，4a8，a10，2a9成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若an为正项等比数列，设=，求bn的前 n 项和 Sn+118（12 分）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 10b2cosB6abcosC+3（b2+c2a2）（）求 cosB；（）设=25，=3，求ABC 的周长19（12 分）如图，在四棱锥PABCD 中，PD平面 ABCD，ABCD 是平行四边形，ACABAD2，AC、BD 交于点 O，E 是 PB 上一点（1）求证：ACDE；（2）已知二面角 APBD 的余弦值为，若 E 为 PB 的中点，求 EC 与平面 PAB 所成431角的正弦值20（12 分）垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，进一步物尽其用、保护环境为进一步帮助市民进行垃圾分类，某公司研制了家用垃圾分类机器人，自动对垃圾进行分类该公司研究部门从流水线上随机抽取100 个垃圾分类机器人（以下简称产品），统计其性能指数，制成下面的频数分布表并绘制了频率分布直方图：性能指数50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）100，110第4 4页（共2121页）产品数量4m2025n17产品分为三类性能指数在50，70）的是基本型，在70，90）的是提高型，在90，110的是全能型，性能指数越高，产品的垃圾分类效率和准确程度越高为提高人们的环保意识和更快推广产品，公司微利出售基本型、提高型、全能型这三类产品的销售利润分别为每件 1，3，5（单位：元）以这100 件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率（1）求 m，n 的值并求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解月营销费用 x（单位：万元）对月销售量 y（单位：万件）的影响，对近 10 个月的月营销费用 xi和月销售量 yi（i1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）数据做了初步处理，并进一步整理得到表101101101()()16.824.8711210()0.411.6410表中 uilnxi，vilnyi，10101，101根据散点图可判定axb可以作为月销售量 y（万件）关于月营销费用 x（万元）的回归方程（i）建立 y 关于 x 的回归方程；（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品的月收益达到最大（精确到整数，收益销售利润营销费用，e20678，7 1.9，1.9413）3参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），其回归直线 v+u 的第5 5页（共2121页）=1()()斜率和截距的最小二乘估计分别=1()2，=221（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为：2+22=1（ab0）M 是椭圆 C 内一点，直线 AB 过点 M 与椭圆 C 相交于点 A、B，且满足 AMMB（1）如图 1，若 M 为椭圆 C 的右焦点，椭圆 C 的离心率为率 k（k0）；（2）如图 2，若 M 的坐标为（1，1），直线 PQ 过点 M 与椭圆相交于点 P、Q，且满足PMMQ，直线 BQ 的斜率为4，求椭圆 C 的离心率32，2，求直线 AB 的斜222（12 分）已知函数 f（x）ex（lnxx），g（x）ex（x2+lnxa1x）（e 为自然对数的底数，a 为常数）（1）记函数 f（x）的导函数为 f（x），在区间（1，e）上解方程 f（x）0；（2）设函数 f（x）的最大值为 f（x）max，求证：f（x）max0；（3）记 F（x）g（x）f（x），当 F（x）有两个极值点 x1，x2（x1x2）时，总有 eF（x2）t（2+x1）（e2+1），求此时实数 t 的值第6 6页（共2121页）20212021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（1212）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 8 8 小题，满分小题，满分 4040 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）1（5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（）A1，0，1，2C0，1B0，1，2Dx|1x2，或 x3【解答】解：Ax|1x2，B1，0，1，2，3，AB0，1，2故选：B2（5分）已知直线x+y+20与圆x2+y2+2x2y+a0有公共点，则实数a的取值范围为（）A（，0B0，+）C0，2）D（，2）【解答】解：依题意可知，直线与圆相交或相切圆 x2+y2+2x2y+a0 即为（x+1）2+（y1）22a由|112|22，解得 a0实数 a 的取值范围为（，0故选：A3（5 分）已知双曲线 C 的焦点在坐标轴上，中心在坐标原点，其一条渐近线与直线 x+2y+10 平行，则双曲线 C 的离心率 e（）A25B2C5【解答】解：根据渐近线与直线x+2y+10 平行可得渐近线方程为y，25D或5215当双曲线的焦点在 x 轴上时，=22=21=2，解得 e=11212，同理，当焦点在 y 轴上时，=22=21=，解得 e=5，故选：D4（5 分）已知 5 件产品中有 2 件次品，其余 3 件为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件，至少有一件次品的概率为（）A0.4B0.6C0.7D0.8【解答】解：记 5 件产品的编号分别为 1，2，3，a，b，其中 1，2，3 为合格品，从 5 件产品中选 2 件的事件的结果有 12，13，1a，1b，23，2a，2b，3a，3b，ab 共 10第7 7页（共2121页）种，满足条件的基本事件有 1a，1b，2a，2b，3a，3b，ab 共 7 种，故所求的概率为=10=0.7故选：C5（5 分）函数()=(+1)的部分图象大致是（）17ABC1D2【解答】解：当 x时，0+，+1=1+1 1+，所以 f（x）0+，排除 C，D；因为 x+时，+，+1=1+1 1+，所以 f（x）+，因此排除 B，故选：A6（5 分）目前世界上所能见到的最古老的数学文献是古埃及的莱因特纸草书书中记载了85 个数学问题，在书写第 79 题的位置上，作者画了一个台阶，台阶旁依次写着7、49、343、2401 和 16807 这 5 个数，在这些数的旁边依次写着图、猫、老鼠、大麦、量器等字样，除此之外就没有别的什么东西了由于这是书中唯一未明确给出答案的题目，后来，这个题目究竟是什么意思，成了一个有趣的谜你能发现这五个数的规律吗？如果还有第六个、第七个数，你认为第七个数的个位数字是（）A3B3C5D612【解答】解：由题 7、49、343、2401 和 16807；可得这些数组成的是首项为7，公比为 7 的等比数列；故第七个数为：1680772823543；其个位数字为 3；故选：B7（5 分）设 aR R，bR R则“ab”是“|a|b|”的（）第8 8页（共2121页）A充分而不必要条件C充分必要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【解答】解：若 ab，取 a1，b2，则|a|b|，则“ab”是“|a|b|”不充分条件；若|a|b|，取 a2，b1，则 ab，则“|a|b|”是ab”不必要条件；则 aR R，bR R“ab”是“|a|b|”的既不充分也不必要条件，故选：D|(1)|，18（5 分）设函数f（x）=1，若函数y|3f（x）m|4 有 5 个零点，则1，1124实数 m 的取值范围为（）A(4，2)11B2，+)5C2，2)511D2，4)5【解答】解：作出函数 f（x）的图象如右所示，令|3f（x）m|40，41032411解得()=3，则+41，解得 4m2，23故选：A二多选题（共二多选题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）9（5 分）已知(2+)(0)的展开式中第 5 项与第七项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为 1024，则下列说法正确的是（）A展开式中奇数项的二项式系数和为256B展开式中第 6 项的系数最大C展开式中存在常数项D展开式中含 x15项的系数为 45【解答】解：因为(2+)(0)的展开式中第 5 项与第七项的二项数系数相等；64=n10；11第9 9页（共2121页）展开式的各项系数之和为1024，（a+1）101024；a0；a11010 r原二项式为：（x2+）；其展开式的通项公式为：Tr+1=10（x2）()=10 x112052；展开式中奇数项的二项式系数和为：1024521；故 A 错；21因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11 项，故展开式中第6 项的系数最大，B 对；令 20r0r8，即展开式中存在常数项，C 对；2令 202r15r2，10=45，D 对；525故选：BCD10（5 分）药理学中有如下内容：（1）半数致死量（LD50）表示在规定时间内，通过指定感染途径，使一定体重或年龄的某种动物半数死亡所需最小细菌数或毒素量（2）半数有效量（ED50）在量反应中是指能引起 50%最大反应强度的药物剂量；在质反应中是指能引起 50%实验动物出现阳性反应的药物剂量（3）治疗指数（TI）为药物的安全性指标 通常将半数致死量（LD50）与半数有效量（ED50）的比值称为治疗指数基于以上内容，下列说法正确的是（）ALD50 越小，药物毒性越大BTI 越小，药物安全度越高C同一药物的 LD50 与 ED50 的比值越大，药物安全度越低D同一药物的 LD50 与 ED50 的比值越大，药物安全度越高【解答】解：根据题目提供的药理学内容可以判断，LD50 越小，毒性越大，同一药物的 LD50 与 ED50 的比值越大，药物安全性度越高故选：AD11（5 分）若函数 f（x）4sinxsin2（增函数，则下列结论正确的是（）第1010页（共2121页）2+）+cos2x1（0）在2，434上是Af（x）是偶函数Bf（x）的最小正周期 T=C 的最大值为322D 没有最小值【解答】解：f（x）4sinxsin2（2+）+cos2x12sinx，4 322包含原点的增区间为2，又 f（x）在2，上是增函数，所以3，2442所以 03所以 f（x）是奇函数，最小正周期T=，的最大值是，没有最小值3故选：BCD12（5 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA底面 ABCD，PAAB，截面 BDE 与直线 PC 平行，与 PA 交于点 E，则下列判断正确的是（）222AE 为 PA 的中点BPB 与 CD 所成的角为3CBD平面 PACD三棱锥 CBDE 与四棱锥 PABCD 的体积之比等于 1：4【解答】解：在 A 中，连结 AC，交 BD 于点 F，连结 EF，则平面 PAC平面 BDEEF，PC平面 BDE，EF平面 BDE，PC平面 PAC，EFPC，四边形 ABCD 是正方形，AFFC，AEEP，故 A 正确；在 B 中，CDAB，PBA（或其补角）为 PB 与 CD 所成角，PA平面 ABCD，AB平面 ABCD，PAAB，第1111页（共2121页）在 RtPAB 中，PAAB，PAB=，PB 与 CD 所成角为，故 C 错误；44在 C 中，四边形 ABCD 为正方形，ACBD，PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，PABD，PAACA，BD平面 PAC，故 C 正确；在 D 中，设 ABPAx，则=11111 2 =2 =3，33311VCBDEVEBCD=3 =3222=123VCBDC：VPABCD=故选：ACD1313：=1：4故 D 正确1231三填空题（共三填空题（共 4 4 小题，满分小题，满分 2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分）13（5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，首项为 1，且当 nN N*时，an+2+an2an+1恒成立，若 12a5S5+S9，则a1010【解答】解：由题意可知，数列an是首项为 1 的等差数列，设公差为d，12a5S5+S9，12（1+4d）5+10d+9+36d，解得：d1，an1+（n1）1n，a1010，故答案为：1014（5 分）西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有 420种涂色方法第1212页（共2121页）【解答】解：根据题意，依次分析5 个省的涂色方法的数目：对于新疆有 5 种涂色的方法，对于青海有 4 种涂色方法，对于西藏有 3 种涂色方法，对于四川与甘肃：若西藏与甘肃颜色相同，则有3 种涂色方法，若西藏与甘肃颜色不相同，则甘肃有2 种涂色方法，四川有 2 种涂色方法，则西藏与甘肃的涂色方法有3+227 种，则共有 5437420 种涂色方法；故答案为：42015（5 分）对定义域内任意实数 a，b，都有 f（a+b）f（a）f（b）的一个函数 f（x）2x【解答】解：满足“对定义域内任意实数a，b，都有 f（a+b）f（a）f（b）”的函数模型，则可为 f（x）2x故答案为：2x16（5 分）三棱锥PABC 中，PA平面 ABC，BAC=3，AP3，AB=23，Q 是 BC边上的动点，且直线 PQ 与面 ABC 所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为3257【解答】解：连接 AQ，PA平面 ABC，AQP 为直线 PQ 与面 ABC 的所成角，当它最大值时，则 tanAQP=也最大，PA 不变，所以 AQ 最小，而 QBC，当且仅当 AQBC，所以AQP=3，tan3=，PA3，AQ=3，在三角形 ABQ 中，BQ2AB2AQ2（23）2（3）29，BQ3，BAQ=3，第1313页（共2121页）又=，CAQ=，在直角三角形 AQC 中 tanCAQ=，CQ3，6所以 r23，2=3，32233BCBQ+CQ6，设三角形 ABC 的外接圆半径为r，则 2r=设三棱锥外接球的半径为R，则 R2r2+（所以外接球的表面积 S4R257，故答案为：579）212+4=4，257四解答题（共四解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分）分）17（10 分）已知数列an为等比数列，a24，4a8，a10，2a9成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若an为正项等比数列，设=，求bn的前 n 项和 Sn+1【解答】解：（1）数列an为公比为 q 的等比数列，a24，4a8，a10，2a9成等差数列，可得 2a104a8+2a9，即 2a2q84a2q6+2a2q7，即为 q2q20，解得 q2 或 q1，当 q1 时，ana2qn 24（1）n；1当 q2 时，ana2qn 242n 22n；（2）an为正项等比数列，可得an2n，=111=+1=（）2n+1，[phone]bn为首项为，公比为 的等比数列，118(14)114则的前 n 项和 Sn=6（111）418（12 分）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 10b2cosB6abcosC+3（b2+c2a2）第1414页（共2121页）（）求 cosB；（）设=25，=3，求ABC 的周长2+2【解答】解：（）10b cosB6abcosC+3（b+c a）=6+3(2+22222222)=62，=5（）=3，accosB3，ac5，b2a2+c22accosB，=25，20=(+)2 2，a+c6，ABC 的周长=+=6+2519（12 分）如图，在四棱锥PABCD 中，PD平面 ABCD，ABCD 是平行四边形，ACABAD2，AC、BD 交于点 O，E 是 PB 上一点（1）求证：ACDE；（2）已知二面角 APBD 的余弦值为，若 E 为 PB 的中点，求 EC 与平面 PAB 所成43653角的正弦值【解答】（1）证明：PD平面 ABCD，PDAC，又四边形 ABCD 为菱形，BDAC，又 BDPDD，AC平面 PBD，DE平面 PBD，ACDE；第1515页（共2121页）（2）解：连 OE，在PBD，OEPD，OE平面 ABCD分别以，为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系设 PDt，则 A（1，0，0），(0，3，0)，C（1，0，0），(0，0，)，(0，3，)由（1）知，平面 PBD 的一个法向量为1=(1，0，0)，设平面 PAB 的一个法向量为2=(，)，2由22 =+3=0，令 y1，则2=(3，1，)，=3+=03423二面角 APBD 的余弦值为，|1，2|=34+212=，解得 t3，34设 EC 与平面 PAB 所成角为，=(1，0，2)，2=(3，1，3)，=|，2|=323|33|1+94+443=1322343=3131320（12 分）垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，进一步物尽其用、保护环境为进一步帮助市民进行垃圾分类，某公司研制了家用垃圾分类机器人，自动对垃圾进行分类该公司研究部门从流水线上随机抽取100 个垃圾分类机器人（以下简称产品），统计其性能指数，制成下面的频数分布表并绘制了频率分布直方图：性能指数50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）100，110第1616页（共2121页）产品数量4m2025n17产品分为三类性能指数在50，70）的是基本型，在70，90）的是提高型，在90，110的是全能型，性能指数越高，产品的垃圾分类效率和准确程度越高为提高人们的环保意识和更快推广产品，公司微利出售基本型、提高型、全能型这三类产品的销售利润分别为每件 1，3，5（单位：元）以这100 件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率（1）求 m，n 的值并求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解月营销费用 x（单位：万元）对月销售量 y（单位：万件）的影响，对近 10 个月的月营销费用 xi和月销售量 yi（i1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）数据做了初步处理，并进一步整理得到表101101101()()16.824.8711210()0.411.6410表中 uilnxi，vilnyi，10101，101根据散点图可判定axb可以作为月销售量 y（万件）关于月营销费用 x（万元）的回归方程（i）建立 y 关于 x 的回归方程；（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品的月收益达到最大（精确到整数，收益销售利润营销费用，e20678，7 1.9，1.9413）3参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），其回归直线 v+u 的第1717页（共2121页）=1()()斜率和截距的最小二乘估计分别=1()2，=【解答】解：（1）根据频率分布直方图，m0.0111010011，n0.0231010023，设每件产品的销售利润为X 元，则 X1，3，5，其中 P（X1）0.15，P（X3）0.45，P（X5）0.4，所以随机变量的分布列如下：XP10.1530.4550.4E（X）10.15+30.45+50.43.5，故每件产品的平均销售利润为3.5 元；（2）（i）由 yaxb得 lnyln（axb）lna+blnx，令 ulnx，vlny，clna，则 vc+bu，由=10=1()()102=1()=1.64=4，0.411c=24.87116.80=2.067，104101故 vc+bu2.067+4u，=2.067+4=(2.067 4)，因为 e2.0678，所以=84；（ii）设月收益为 z 万元，则设 t=14，则1zyE（X）x284111x，zf（t）28tt4，3所以 f（t）284t34（7t3），t=7 1.9，当 t（1.9，+）时，函数 f（t）递减；当 t（0，1.9）时，f（t）递增；故当 t1.9 时，即 x13 时，z 由最大值约为 40，所以该公司应投入 13 万元营销费，才能使得该产品的月收益达到最大约为40 万元21（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为：22+22=1（ab0）M 是椭圆 C 内一点，直线 AB 过点 M 与椭圆 C 相交于点 A、B，且满足 AMMB（1）如图 1，若 M 为椭圆 C 的右焦点，椭圆 C 的离心率为第1818页（共2121页）2，2，求直线 AB 的斜2率 k（k0）；（2）如图 2，若 M 的坐标为（1，1），直线 PQ 过点 M 与椭圆相交于点 P、Q，且满足PMMQ，直线 BQ 的斜率为4，求椭圆 C 的离心率3【解答】解：（1）设椭圆的右焦点为M（c，0），直线AB 的方程 xmy+c，A（x1，y1），B（x2，y2），=+联立22，消去 y，整理得：（a2+b2m2）y2+2b2mcyb40，2+2=1则 y1+y2=22+22 2，y1y2=22+24，1=(2)由=，即（cx1，y1）（x2c，y2），则，所以 y11=2y2，y2=2(1)(2+2)22 2，y1=22(1)(2+2)2 2，=42代入得：解得：=22(1)222(1)(2+2)2 2(1)(2+2)22+2，42(1)（*）2，由椭圆 C 的离心率为代入（*），即=所以=1422，2，即 a=2b=2c，2，22222=，8 14277即 k=2；（2）AMMB，PMMQ，可得=，且AMPBMQ，可得AMPBMQ，可得APMBQM，即有 APBQ，且 BQ 的中点和 AP 的中点，与 M 共线，设 BQ 的方程为 y=4x+t，联立椭圆方程 b2x2+a2y2a2b2，可得（b2+16a2）x22ta2x+a2t2a2b20，第1919页（共2121页）393可得 BQ 的中点的横坐标为1621629212216292，代入直线 BQ 的方程可得 BQ 的中点的纵坐标为，2=1222416 92即有2，消去 t 可得 y=32x，=16216 92将 M（1，1）代入上式，可得1则 e=12=2222=，4322（12 分）已知函数 f（x）ex（lnxx），g（x）ex（x2+lnxa1x）（e 为自然对数的底数，a 为常数）（1）记函数 f（x）的导函数为 f（x），在区间（1，e）上解方程 f（x）0；（2）设函数 f（x）的最大值为 f（x）max，求证：f（x）max0；（3）记 F（x）g（x）f（x），当 F（x）有两个极值点 x1，x2（x1x2）时，总有 eF（x2）t（2+x1）（e21），求此时实数 t 的值1【解答】解：（1）由题意得，f（x）ex（lnxx1），令（x）lnxx1，x（1，e），则 f（x）ex（x），因为（x）=210 恒成立，所以（x）在（1，e）上单调递减，21当 x（1，e）时，（x）（1）10，所以在区间（1，e）上，方程 f（x）0 无解（2）证明：函数 f（x）的定义域为（0，+），f（x）ex（lnxx1），令 h（x）lnxx1，易知 h（x）在（0，+）上单调递减，又 h（111）e232121e240，h（1）10，2所以存在 x1（0，1），使得h（x1）0，且当x（0，x1）时，h（x）0，即f（x）当 x（x1，+）时，h（x）0，即 f（x）0，第2020页（共2121页）所以 f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，+）上单调递减，所以 f（x）maxf（x1）e1（lnx1x1），11由 h（x1）0，得 lnx1x1+10，即 lnx1x11，11所以 f（x1）e1（1），x1（1112，1），令 r（x）ex（1），x（则 r（x）ex（所以 r（x）在（12112，1），1+1）0，恒成立，12，1）上单调递增，所以 r（x）r（1）0，f（x）max0（3）有题意可得，F（x）（x2a1）ex，则 F（x）（x2+2xa1）ex，根据题意，知方程 x2+2xa10，有两个不同的实数根x1，x2（x1x2），所以 4+4（a+1）0，即 a2，且 x1+x22，x1x2a1，x11x2由 eF（x2）t（2+x1）（e可得 e（x22a1）e22+1），2t（2+x1）（e+1），又 x22a12x2，2+x1x2，所以上式可转化为 x22ee2t（e22+1）0，对任意的 x21 恒成立2当 x20 时，不等式 x22eet（e2+1）0 恒成立，tR R；2当 x2（1，0）时，不等式 2eet（e22+1）0 恒成立，即 t2恒成立；+121令函数 m（x）=+1=2e（1+1），显然 m（x）是 R 上的增函数，所以当 x（1，0）时，m（x）m（0）e，所以 te，当 x2（0，+）时，2ee1t（e221+1）0 恒成立，即 t1恒成立；+1由知当 x（0，+）时，m（x）m（0）e，所以 te所以 te第2121页（共2121页）