【河南省商丘】2017学年高考三模数学年(理科)试题.pdf

1/14 河南河南省省商丘商丘市市 2017 年年高考高考三三模模数学（数学（理理科）试卷科）试卷 答答 案案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）15CCCDD 610DBCAB 1112BD 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）1362 1492 1532 16 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17解：（1）证明：由已知得122nnnaa，得1112211222nnnnnnnnnaaabb，11nnbb，又11a，11b，bn是首项为 1，公差为 1 的等差数列（2）：由（）知，12nnnabn，12nnan，131321nnan 012213 1 23 223 3 2.3(1)232nnnSnnn ，两边乘以 2，得12123 1 23 22.3(1)2322nnnSnnn ，两式相减得1213(122.3(212)3(1)2)322nnnnnnSnnnnnn ，3(1)23nnSnn 18解：（1）根据题意，计算1(258911)75x，1(1210887)95y，2/14 iii 122ii 12875 790.562955 77nnx ynxybxnx ，9(0.56)712.92aybx，y 关于 x 的回归直线方程0.5612.92yx；（2）12x 时，0.56 12 12.926.2y，预测该店明天的营业额为 6200 元；（3）由题意，平均数为7，方差为210，所以 XN（7，10），所以11(0.610.2)(0.67)(710.2)0.9545+0.6827=0.818622PXPXPX 19解：（）证明：连结 B1C 交 BC1于点 E，连结 DE 则 E 是 B1C 的中点，又 D 为 A1B1，所以11DEAC，且1DEBC D面，11ACBC D，11ACBC D平面；（）取 AC 的中点 O，连结 A1O，点 A1在面 ABC 上的射影在 AC 上，且11A AAC A1O面 ABC，则可建立如图的空间直角坐标系 Oxyz，设1AOa 2ACBC，ACB=120，则 B（2，3，0），C（1，0，0），C1（2，0，a），D（32，32，a）(1,3,0)BC，1(0,3,)BCa，113(,0)22C D 设(,)nc y z为面 BC1D 的法向量，113013022n BCyazn C Dxy，取ya，则(3,3)naa，由 BC 与平面 BC1D 所成角的正弦值为155，即23315|cos,|52 43aan BCa，可得3a 三棱柱 ABCA1B1C1的高3 3/14 20解：（）由抛物线 C：2(0)ynx n在第一象限内的点 P（2，t）到焦点的距离为52得5242n，所以2n，故抛物线方程为22yx，P（2，2）所以曲线 C 在第一象限的图象对应的函数解析式为2yx，则12yx 故曲线 C 在点 P 处的切线斜率11222k，切线方程为：12(2)2yx 令0y 得2x ，所以点 Q（2，0）故线段2OQ （）由题意知 l1：2x ，因为 l2与 l1相交，所以0m 设 l2：xmyb，令2x ，得2bym，故2(2,)bEm 设 A（x1，y1），B（x2，y2），由22xmybyx消去 x 得：2220ymyb 则122yym，122y yb 直线 PA 的斜率为1121112222222yyyxy，同理直线 PB 的斜率为222y，直线 PE 的斜率为22+4bm 因为直线 PA，PE，PB 的斜率依次成等差数列 所以1222222224bmyy 即22222bbmbm 因为 l2不经过点 Q，所以2b 所以222mbm，即2b 故 l2：2xmy，即 l2恒过定点（2，0）4/14 21解：（1）当2a 时，()ln4f xxx，则1()4(0)fxxx，(1)4f，(1)3f，函数 f（x）的图象在1x 处的切线方程为(4)3(1)yx ，即310 xy （2）不等式()2f x，即ln22xax，2ln2axx，0 x，ln22xax恒成立，令ln2()xxx（0 x），则23ln()xxx，当30ex时，()0 x，（x）单调递增，当3ex 时，()0 x，（x）单调递减，当3ex 时，（x）取得极大值，也为最大值，故3max31()(e)ex，由312ea，得312ea，实数 a 的取值范围是31,)2e（3）证明：由2211()()2ln22g xf xxxaxx，得2121()2xaxg xxaxx，当11a 时，()0g x，g（x）单调递增无极值点，不符合题意；当1a 或1a 时，令()0g x，设2210 xax 的两根为 x0和 x，x0为函数 g（x）的极大值点，00 xx，由01xx，020 xxa，知1a，001x，又由0001()20g xxax，得20012xax，3200000000()1ln(01)2xxx f xaxxxx=+1，令3()ln122xxh xxx，(0,1)x，则231()ln22xh xx，令231()ln22xxx，(0,1)x，则211 3()3xxxxx，当303x时，()0 x，当313x时，()0 x，5/14 max33()()ln033x，()0h x，h（x）在（0，1）上单调递减，()(1)0h xh，2000()10 x f xax 选做题：（选修选做题：（选修 44：坐标系与参数方程）（请考生在第：坐标系与参数方程）（请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果两两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分）（共题都做，则按照所做的第一题给分）（共 1 小题，满分小题，满分 10 分）分）22解：（1）直线 l：，3s i n()32，展开可得：133(sincos)222m，化为直角坐标方程：33yxm，3m 时，化为：33 30yx，曲线 C：13cos3sinxy，利用平方关系化为：22(1)3xy 圆心 C（1，0）到直线 l 的距离|33 3|32dr，因此直线 l 与曲线 C 相切（2）曲线 C 上存在到直线 l 的距离等于32的点，圆心 C（1，0）到直线 l 的距离|33|3322md，解得24m 实数 m 的范围是2，4（选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲）23解：（1）函数()|2|1|2(1)|3f xxxxx，故函数()|2|1|f xxx的最小值为 3，此时，21x （2）函数21,2()|2|1|3,2121,1xxf xxxxxx ，而函数1yax 表示过点（0，1），斜率为a 的一条直线，如图所示：当直线1yax 过点 A（1，3）时，31a ，2a ，当直线1yax 过点 B（2，3）时，321a，1a，故当集合(|)10 x f xax R，函数()1f xax 恒成立，即 f（x）的图象恒位于直线1yax 的上方，数形结合可得要求的 a 的范围为（2，1）6/14 7/14 河南河南省省商丘市商丘市 2017 年年高考高考三三模模数学（数学（理理科）试卷科）试卷 解解 析析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】先分别求出集合 A，B，从而求出 CRA，由此能求出（RA）B【解答】解：集合 A=x|3x+31=x|x3，B=x|x24x120=x|x2 或 x6，CRA=x|x3，（RA）B=3，2）（6，+）故选：C 2【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z，得到 z 的坐标得答案【解答】解：，z=，复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（1，2），在第三象限 故选：C 3【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差【分析】先由 XB（10，0.6），得均值 E（X）=6，方差 D（X）=2.4，然后由 X+Y=10 得 Y=X+10，再根据公式求解即可【解答】解：由题意 XB（10，0.6），知随机变量 X 服从二项分布，n=10，p=0.6，则均值 E（X）=np=6，方差 D（X）=npq=2.4，又X+Y=10，Y=X+10，E（Y）=E（X）+10=6+10=4，D（Y）=D（X）=2.4 故选：C 4【考点】KF：圆锥曲线的共同特征；K3：椭圆的标准方程；KC：双曲线的简单性质【分析】由题意，双曲线 x2y2=1 的渐近线方程为 y=x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，可得（2，2）在椭圆 C：+=1利用，即可求得椭圆方程【解答】解：由题意，双曲线 x2y2=1 的渐近线方程为 y=x 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，故边长为 4，8/14 （2，2）在椭圆 C：+=1（ab0）上 又 a2=4b2 a2=20，b2=5 椭圆方程为：+=1 故选 D 5【考点】EF：程序框图【分析】根据程序框图转化为几何概型进行计算即可【解答】解：程序框图对应的区域的面积为 1，则“恭喜中奖！满足条件为 y，平面区域的面积 S=dx=，则能输出“恭喜中奖！”的概率为，故选：D 6【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GQ：两角和与差的正弦函数【分析】由已知利用诱导公式可求 cos（+）=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解【解答】解：=cos（+），=cos2（+）=2cos2（+）1=21=故选：D 7【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成利用体积求出 x【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成由题意得：（5.4x）31+（2）2x=12.6，x=1.6 故选：B 8【考点】7C：简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，推出 a 的表达式，利用不等式的几何意义，求解范围即可 9/14 【解答】解：实数 x，y 满足的可行域如图：可知 x1，由 axy+1a=0，可得：a=，它的几何意义是可行域内的点与 D（1，1）连线的斜率，由图形可知连线的斜率的最大值为 KBD=最小值大于与直线 x+y=0 平行时的斜率 可得 a（1，故选：C 9【考点】HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】由周期求出，由最值以及特殊点求 A、B，由五点法作图求出 的值，可得 f（x）的解析式；利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得 m 的最小值【解答】解：根据函数 f（x）=Asin（x+）+B（A0，0，|）的部分图象，可得 y 轴右侧第一条对称轴为 x=，故=，=2 x=时函数取得最小值，故有 2+=，=再根据 BA=3，且 Asin（2+）+B=+B=0，A=2，B=1，即 f（x）=2sin（2x+）1 将函数 f（x）的图象向左平移 m（m0）个单位后，得到 y=g（x）=2sin（2x+2m+）1 的图象，根据得到的函数 g（x）图象关于点（，1）对称，可得 2+2m+=k，kZ，m=，则 m 的最小值是，故选：A 10【考点】3O：函数的图象【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性即可判断 10/14 【解答】解：y=f（x+1）的图象关于直线 x=1 对称，函数 y=f（x）的图象关于 y 轴对称，是偶函数 当 x（0，+）时，f（x）=|log2x|，b=f（4）=f（4），a=f（）=|log2|=|log23|=f（3），f（x）=log2x，在（0，+）为增函数，f（4）f（3）f（2），cab，故选：B 11【考点】7C：简单线性规划；7D：简单线性规划的应用；9R：平面向量数量积的运算【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令 t=，将 m+n1，2的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得 t 的取值范围，又由=t，分析可得答案【解答】解：根据题意，向量，=（3m+n，m3n），则=，令 t=，则=t，而 m+n1，2，即 1m+n2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：t2，又由=t，故2；故选：B 11/14 12【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】求导数，可得（，e）上函数单调递减，（0，），（e，+）上函数单调递增，即可判断【解答】解：f（x）=lnx+（x0 且 x1），f（x）=0，x=e，或 x=当 x（0，）时，f（x）0，；当 x（，1），x（1，e）时，f（x）0；当 x（e，+）时，f（x）0 故 x=和 x=e 分别是函数 f（x）的极大值点和极小值点，而函数 f（x）在（，e）上单调递减，故 A、B错误；当 0 x1 时，lnx0，f（x）0，不满足不等式，故 C 错误；只要 x0e，f（x）在（x0，+）上时增函数，故 D 正确 故选：D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的焦点坐标，列出方程求解 m，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：点 F（3，0）是双曲线 3x2my2=3m（m0）的一个焦点，可得：，解得 m=6，可得 a=，c=3 双曲线的离心率为：=给答案为：14【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体【分析】说明CDB 是直角三角形，ACD 是直角三角形，球的直径就是 CD，求出 CD，即可求出球的体积【解答】解：ABBC，ABC 的外接圆的直径为 AC，AC=，12/14 由 DA面 ABC 得 DAAC，DABC，CDB 是直角三角形，ACD 是直角三角形，CD 为球的直径，CD=3，球的半径 R=，V球=R3=故答案为：15【考点】HP：正弦定理【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinAcosB=sinAsinB，结合 sinA0，可求 tanB=，得解 B=，由余弦定理，基本不等式可得 3ac，设 AC 边上的高为 h，利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：sinC=sin（A+B）=（sinA+cosA）sinB，sinAcosB+cosAsinB=sinAsinB+cosAsinB，sinAcosB=sinAsinB，A 为三角形内角，sinA0，cosB=sinB，可得：tanB=，B=，b=，由余弦定理 b2=a2+c22accosB，可得：3=a2+c2ac2acac=ac，（当且仅当 a=c 时等号成立），SABC=acsinB=，（当且仅当 a=c 时等号成立），设 AC 边上的高为 h，则bhmax=hmax=解得：hmax=故答案为：16【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】，（x24x）（x+）9的展开式中 x2项是（x+）9的中的一次项与4x 积，即可求出系数加以判断；，有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，表示有 1%的可能性使推断出现错误，不表示有 99%的可能患有肺病，也不表示在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病，故可得结论，“增函数”的否定不是“减函数”；、当 a=0 时，满足条件；当 a0 时，必须满足 f（1）=a20，a0，0a2【解答】解：对于，（x24x）（x+）9的展开式中 x2项是（x+）9的中的一次项与4x 积，即4x，系数为504，故错；对于，有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，即有 1%的可能性使推断出现错误，不表示有 99%的可能患有肺病，也不表示在 100 个吸烟的人中必有 99 人患肺病，故不正确；13/14 对于，已知命题“若函数 f（x）=exmx 在（0，+）上是增函数，则 m1”的逆否命题是“若 m1，则函数 f（x）=exmx 在（0，+）上不是增函数”，故错；对于，不等式 ax2（2a3）x10 对x1 恒成立的充要条件是：当 a=0 时，满足条件；当 a0 时，必须满足 f（1）=a20，a0，0a2 不等式 ax2（2a3）x10 对x1 恒成立的充要条件是 0a2 成立，故正确 故答案为：三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17【考点】8I：数列与函数的综合【分析】（1）根据数列的递推公式可得bn是首项为 1，公差为 1 的等差数列（2）先化简 3an1=3n2n11，利用利用错位相减求和法求解 18【考点】BK：线性回归方程【分析】（1）求出回归系数，即可求 y 关于 x 的回归直线方程=x+；（2）x=12 时，=0.5612+12.92=6.2，即可预测该店明天的营业额；（3）XN（7，10），P（0.6X10.2）=P（0.6X7）+P（7X10.2）=19【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定【分析】（）连结 B1C 交 BC1于点 E，连结 DEDEA1C，得 A1C平面 BC1D；（）取 AC 的中点 O，连结 A1O，点 A1在面 ABC 上的射影在 AC 上，且 A1A=A1C 则 A1O面 ABC，则可建立如图的空间直角坐标系 Oxyz，设 A1O=a求出面 BC1D 的法向量，由 BC 与平面 BC1D 所成角的正弦值为，即|cos|=|=，可得 a=20【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】（）求出抛物线方程，曲线 C 在点 P 处的切线方程，得出 Q 的坐标，即可求线段 OQ 的长；（）求出直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，直线PE的斜率为，因为直线 PA，PE，PB 的斜率依次成等差数列，得出 2mb+2=2m，即 b=2，即可得出结论 21【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，计算 f（1），f（1），求出切线方程即可；（2）由 x0，得到恒成立，令（x0），根据函数的单调性求出 a 的范围即可；（3）求出函数 g（x）的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，根据函数的极值得到 a 的表达式，令，x（0，1），根据函数的单调性证明即可 选做题：（选修选做题：（选修 44：坐标系与参数方程）（请考生在第：坐标系与参数方程）（请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果两题都做，则按两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分）（共照所做的第一题给分）（共 1 小题，满分小题，满分 10 分）分）22【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程 14/14 【分析】（1）分别化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离 d 与半径比较即可得出结论（2）曲线 C 上存在到直线 l 的距离等于的点，可得圆心 C（1，0）到直线 l 的距离 d=r+，解出即可得出（选修（选修 45：不等式选讲）：不等式选讲）23【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法【分析】（1）利用绝对值三角不等式，求得 f（x）的最小值及取得最小值时 x 的取值范围（2）当集合x|f（x）+ax10=R，函数 f（x）ax+1 恒成立，即 f（x）的图象恒位于直线 y=ax+1的上方，数形结合求得 a 的范围